50平面向量测试.docx
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50平面向量测试
单元检测五 平面向量
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各式中不能化简为的是( ).
A.++
B.+++
C.-+
D.+-
2.若a与b-c都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的( ).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知|a|=2,|b|=1,a与b夹角为60°,若ma+3b与2a-mb垂直,则m的值为( ).
A.0B.6或-6
C.1或-6D.6或-1
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( ).
A.B.
C.(3,2)D.(1,3)
5.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是( ).
A.=+
B.=-
C.=+
D.=+
6.在Rt△ABC中,AB=4,AC=2,M是斜边BC的中点,则向量在向量方向上的投影是( ).
A.1B.-1
C.D.-
7.若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(+)·=0,则△ABC一定是( ).
A.等腰直角三角形
B.非等腰直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
8.已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线3x-4y+m=0上存在点P满足·=0,则实数m的取值范围是( ).
A.(-∞,-5]∪[5,+∞)
B.(-∞,-25]∪[25,+∞)
C.[-25,25]
D.[-5,5]
9.已知向量m,n满足m=(2,0),n=.在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC边的中点,则||等于( ).
A.2B.4
C.6D.8
10.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(cosA,sinA),n=(1,),若m∥n,且acosB+bcosA=csinC,则角B等于( ).
A.B.
C.D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=4,且a,b,c两两夹角均为120°,则|a+b+c|= .
12.设向量a与b的夹角为θ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cosθ= .
13.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= .
14.设向量a,b满足:
|a|=1,a·b=,|a+b|=2,则|b|= .
15.已知向量m=(1,1),n=,设向量=(cosα,sinα)(α∈[0,π])且m⊥(-n),则tanα= .
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(12分)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),是否能以a,b为平面内所有向量的一组基底?
若能,试将向量c用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由.
17.(12分)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10.
(1)求D点坐标;
(2)若D点在第二象限,用,表示;
(3)=(m,2),若3+与垂直,求坐标.
18.(12分)已知角A,B,C是△ABC的三个内角,若向量m=,n=,且m·n=.
(1)求tanAtanB的值;
(2)求的最大值.
19.(12分)已知点M(1+cos2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),设y=·(O为坐标原点).
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x),并求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值,并求此时f(x)在上的最小值.
20.(13分)已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为π,且m·n=-1.
(1)求向量n;
(2)若向量n与向量q=(1,0)的夹角为,向量p=,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|n+p|的取值范围.
21.(14分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个动点,O是坐标原点,向量,满足|+|=|-|,设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(1)证明线段AB是圆C的直径;
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.
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参考答案
一、选择题
1.D 解析:
+-=2+.
2.C 解析:
由a·b=a·c
得a·(b-c)=0,
又a与b-c都是非零向量,
∴a⊥(b-c).
又由a⊥(b-c)得a·(b-c)=0,即a·b=a·c.
故a·b=a·c是a⊥(b-c)的充分必要条件.
3.D 解析:
由题意知(ma+3b)·(2a-mb)=0,∴m=6或-1.
4.A 解析:
设D(x,y),∵=(4,3),=(x,y-2),且=2,
∴解得
5.D 解析:
排除法.如题图,=+,故A正确.
而=-,故B正确.
==(+)=+.故C正确.
6.D 解析:
如图所示,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立直角坐标系,则M(2,1),=(2,1),=(-4,2),向量在向量方向上的投影是==-.
7.C 解析:
∵(+)·=0,
∴(+)·(-)=0,
∴-=0,即||=||,又A,B,C成等差数列,
∴B=60°,从而C=60°,A=60°,
∴△ABC为等边三角形.
8.D 解析:
设P(x,y),则=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
·=(-1-x)(1-x)+(-y)·(-y)=x2+y2-1=0.
∴x2+y2=1,因此P的轨迹为单位圆,又P点在直线3x-4y+m=0上.
∴原点到直线的距离d=≤1,
∴|m|≤5.
∴-5≤m≤5,∴实数m的取值范围是[-5,5].
9.A 解析:
由D为BC边的中点,得||=|(+)|,∵(+)=(4m-4n)=2m-2n=(1,-),
∴||=2,故选A.
10.A 解析:
∵m∥n,则有cosA·-sinA·1=0,即tanA=,A=60°.
又∵acosB+bcosA=csinC,
∴a·+b·=csinC.
整理,得sinC=1,即C=90°.
又A+B+C=180°,A=60°,C=90°,故B=30°.
二、填空题
11. 解析:
|a+b+c|2
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120°
=1+4+16+2×1×2×+2×2×4×+2×1×4×=21-2-8-4=11-4=7.
∴|a+b+c|=.
12. 解析:
∵a=(3,3),2b-a=(-1,1),
∴b=(1,2),则cosθ===.
13. 解析:
∵=+=+=+(+)=(1-)+.
∴·=[(1-)+]·=(1-)·+
==.
14.2 解析:
∵|a+b|=2,
∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=8.
又∵|a|=1,a·b=,
∴b2=4,|b|=2.
15.- 解析:
由题意得
-n=,
∵m⊥(-n),
∴m·(-n)=cosα+sinα-=0,
即cosα+sinα=,
两边平方得cosαsinα=-.
∴==-,
整理得12tan2α+25tanα+12=0,
解得tanα=-或tanα=-.
由cosαsinα=-,α∈[0,π]
可得α∈,又cosα+sinα=,
∴|cosα|<|sinα|.
∴||>1.即|tanα|>1
故tanα=-.
三、解答题
16.解:
∵a=(3,-2),b=(-2,1),
3×1-(-2)×(-2)=-1≠0,
∴a与b不共线,故一定能以a,b作为平面内所有向量的一组基底.
设c=λa+μb,即
(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ)=(3λ-2μ,-2λ+μ).
∴解得
∴c=a-2b.
17.解:
(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).
由题得
即
∴或
∴D点坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).
∴=(-1,3).∵=(-2,1),
设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
∴∴
∴=-+.
(3)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),
∴(3+)·=0.
∴m+14=0.∴m=-14.
∴=(-14,2).
18.解:
(1)m·n=-cos(A+B)+cos2=-cosAcosB+sinAsinB=,
∴cosAcosB=9sinAsinB,
得tanAtanB=.
(2)∵tanAtanB=>0,∴A,B均是锐角,即其正切值均为正.
tan(A+B)==(tanA+tanB)≥·2=,当且仅当tanA=tanB=时,取得等号.
==tanC
=-tan(A+B)≤-,
∴所求最大值为-.
19.解:
(1)依题意得
=(1+cos2x,1),
=(1,sin2x+a)
∴y=1+cos2x+sin2x+a
=2sin+1+a.
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)若x∈,
则∈,
∴-≤sin≤1.
此时ymax=2+1+a=4,
∴a=1,ymin=-1+1+1=1.
20.解:
(1)设n=(x,y),由m·n=-1,有x+y=-1.①
又m与n夹角为π,
有m·n=|m|n|cosπ,
∴|n|=1,有x2+y2=1.②
由①②解得或
即n=(-1,0),或n=(0,-1).
(2)由n与q垂直知n=(0,-1).
由2B=A+C知B=,A+C=π,0 若n=(0,-1),则 n+p=(cosA,2cos2-1)=(cosA,cosC), ∴|n+p|2=cos2A+cos2C =+ =1+ =1+cos,
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