一元一次方程概念及解 青釉网讲课讲稿.docx
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一元一次方程概念及解青釉网讲课讲稿
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方程史话
大约3600年前,古代埃及人写在纸草上的数学问题中,就涉及了含有未知数的等式。
基本概念
方程:
含有未知数的等式,即:
⒈方程中一定有一个或一个以上含有未知数2.方程式是等式,但等式不一定是方程
等式的基本性质1
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式。
用字母表示为:
若a=b,c为一个数或一个代数式。
则:
(1)a+c=b+c
(2)a-c=b-c
等式的基本性质2
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a(等式的对称性)。
(4)若a=b,b=c则a=c(等式的传递性)。
用字母表示为:
若a=b,c为一个数或一个代数式(不为0)。
则:
a×c=b×ca÷c=b÷c
思考:
mx=my所以x=y
3x=5x所以3=5
一元一次方程
只含有一个未知数,即“元”,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)。
合并同类项
⒈依据:
乘法分配律
⒉把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项
⒊合并时次数不变,只是系数相加减。
移项
⒈依据:
等式的性质一
⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。
⒊把方程一边某项移到另一边时,一定要变号{例如:
移项时将+改为-}。
性质
等式的性质一:
等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。
等式的性质二:
等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立。
等式的性质三:
等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:
等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立
一元一次方程概念及解
一.选择题(共27小题)
1.下列四个式子中,是方程的是( )
A.
1+2+3+4=10
B.
2x﹣3
C.
x=1
D.
2x﹣3>0
2.下列四个式子中,是方程的是( )
A.
π+1=1+π
B.
|1﹣2|=1
C.
2x﹣3
D.
x=0
3.下列说法中,正确的是( )
A.
代数式是方程
B.
方程是代数式
C.
等式是方程
D.
方程是等式
4.已知2+1=1+2,4﹣x=1,y2﹣1=3y+1,x+1,方程有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.(1999•烟台)下列方程,以﹣2为解的方程是( )
A.
3x﹣2=2x
B.
4x﹣1=2x+3
C.
5x﹣3=6x﹣2
D.
3x+1=2x﹣1
6.方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2,则a等于( )
A.
﹣8
B.
0
C.
2
D.
8
7.已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解,则a的值是( )
A.
﹣6
B.
﹣3
C.
﹣4
D.
﹣5
8.下列方程中,解是x=2的是( )
A.
2x=4
B.
x=4
C.
4x=2
D.
x=2
9.(2003•无锡)已知2x=3y(x≠0),则下列比例式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
11.下列运用等式的性质,变形正确的是( )
A.
若x=y,则x﹣5=y+5
B.
若a=b,则ac=bc
C.
若
,则2a=3b
D.
若x=y,则
12.下列说法正确的是( )
A.
如果ac=bc,那么a=b
B.
如果
,那么a=b
C.
如果a=b,那么
D.
如果
,那么x=﹣2y
13.下列各方程中,是一元一次方程的是( )
A.
3x+2y=5
B.
y2﹣6y+5=0
C.
x﹣3=
D.
3x﹣2=4x﹣7
14.(2008•十堰)把方程3x+
去分母正确的是( )
A.
18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1)
B.
3x+(2x﹣1)=3﹣(x+1)
C.
18x+(2x﹣1)=18﹣(x+1)
D.
3x+2(2x﹣1)=3﹣3(x+1)
15.(2008•郴州)方程2x+1=0的解是( )
A.
B.
C.
2
D.
﹣2
16.(2008•厦门)已知方程|x|=2,那么方程的解是( )
A.
x=2
B.
x=﹣2
C.
x1=2,x2=﹣2
D.
x=4
17.已知关于x的方程mx+2=2(m﹣x)的解满足|x﹣
|﹣1=0,则m的值是( )
A.
10或
B.
10或﹣
C.
﹣10或
D.
﹣10或﹣
18.若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数,则x的值为( )
A.
B.
C.
D.
﹣1
19.方程|2x﹣1|=4x+5的解是( )
A.
x=﹣3或x=﹣
B.
x=3或x=
C.
x=﹣
D.
x=﹣3
20.(2008•眉山)若方程3(2x﹣2)=2﹣3x的解与关于x的方程6﹣2k=2(x+3)的解相同,则k的值为( )
A.
B.
﹣
C.
D.
﹣
21.如果方程2x+1=3的解也是方程2﹣
=0的解,那么a的值是( )
A.
7
B.
5
C.
3
D.
以上都不对
22.下列方程中与方程2x﹣3=x+2的解相同的是( )
A.
2x﹣1=x
B.
x﹣3=2
C.
3x=x+5
D.
x+3=2
23.(2012•铜仁地区)铜仁市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是( )
A.
5(x+21﹣1)=6(x﹣1)
B.
5(x+21)=6(x﹣1)
C.
5(x+21﹣1)=6x
D.
5(x+21)=6x
24.(2012•台湾)小华带x元去买甜点,若全买红豆汤圆刚好可买30杯,若全买豆花刚好可买40杯.已知豆花每杯比红豆汤圆便宜10元,依题意可列出下列哪一个方程式?
( )
A.
B.
C.
D.
25.(2011•铜仁地区)小明从家里骑自行车到学校,每小时骑15km,可早到10分钟,每小时骑12km就会迟到5分钟.问他家到学校的路程是多少km?
设他家到学校的路程是xkm,则据题意列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
26.(2011•山西)“五一”节期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为2080元.设该电器的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.
x(1+30%)×80%=2080
B.
x•30%•80%=2080
C.
2080×30%×80%=x
D.
x•30%=2080×80%
27.(2010•台湾)小芬买15份礼物,共花了900元,已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支,若每包饼干的售价为x元,则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式( )
A.
15(2x+20)=900
B.
15x+20×2=900
C.
15(x+20×2)=900
D.
15×x×2+20=900
二.解答题(共3小题)
28.(2010•淄博)解方程6(x﹣5)=﹣24.
29.(2008•永春县)附加题:
1.解方程:
3x+1=7;
2.如图,在△ABC中,∠B=35°,∠C=65°,求∠A的度数.
30.已知关于x的方程6x+a=12与方程3x+1=7的解相同,求a的值.
一元一次方程概念及解
参考答案与试题解析
一.选择题(共27小题)
1.下列四个式子中,是方程的是( )
A.
1+2+3+4=10
B.
2x﹣3
C.
x=1
D.
2x﹣3>0
考点:
方程的定义。
分析:
方程就是含有未知数的等式,根据定义即可判断选项的正确性.
解答:
解:
A、不含未知数,故错误;
B、不是等式,故错误;
C、是方程,正确.
D、不是等式,故错误.
故选C.
点评:
本题主要考查了方程的定义,含有未知数的等式是方程,是需要熟记的内容.
2.下列四个式子中,是方程的是( )
A.
π+1=1+π
B.
|1﹣2|=1
C.
2x﹣3
D.
x=0
考点:
方程的定义。
1097869
分析:
方程就是含有未知数的等式,根据此定义可得出正确答案.
解答:
解:
A、π是常数,不是未知数,所以π+1=1+π不是方程.
B、|1﹣2|=1不含未知数,不是方程.
C、2x﹣3不是等式,不是方程.
D、x=0是含有未知数的等式,是方程.
故选D.
点评:
本题主要考查方程的定义,判断时关键要抓住特点:
含未知数,是等式.
3.下列说法中,正确的是( )
A.
代数式是方程
B.
方程是代数式
C.
等式是方程
D.
方程是等式
考点:
方程的定义。
1097869
分析:
含有未知数的等式叫方程,等式是用等号连接的,表示相等关系的式子,代数式一定不是等式,等式不一定含有未知数也不一定是方程.
解答:
解:
方程的定义是指含有未知数的等式,
A、代数式不是等式,故不是方程;
B、方程不是代数式,故B错误;
C、等式不一定含有未知数,也不一定是方程;
D、方程一定是等式,正确;
故选D.
点评:
本题主要考查方程的概念,含有未知数的等式叫方程,要熟练掌握方程的定义.
4.已知2+1=1+2,4﹣x=1,y2﹣1=3y+1,x+1,方程有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
方程的定义。
1097869
分析:
含有未知数的等式叫方程,据此可得出正确答案.
解答:
解:
2+1=1+2中不含有未知数,所以它不是方程;
4﹣x=1中x是未知数,式子又是等式,所以它是方程;
y2﹣1=3y+1中y是未知数,式子又是等式,所以它是方程;
x+1是代数式,不是等式,所以它不是方程;
综上所述,方程的个数是2个;
故选B.
点评:
本题考查了方程的定义.含有未知数的等式叫做方程.方程有两个特征:
(1)方程是等式;
(2)方程中必须含有字母(未知数).
5.(1999•烟台)下列方程,以﹣2为解的方程是( )
A.
3x﹣2=2x
B.
4x﹣1=2x+3
C.
5x﹣3=6x﹣2
D.
3x+1=2x﹣1
考点:
方程的解。
1097869
专题:
计算题。
分析:
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值,即利用方程的解代替方程中的未知数,所得到的式子左右两边相等.
解答:
解:
A、将x=﹣2代入原方程.
左边=3×(﹣2)﹣2=﹣8,右边=2×(﹣2)=﹣4,
因为左边≠右边,所以x=﹣2不是原方程的解.
B、将x=﹣2代入原方程.
左边=4×(﹣2)﹣1=﹣9,右边=2×(﹣2)+3=﹣1,
因为左边≠右边,所以x=﹣2是原方程的解.
C、将x=﹣2代入原方程.
左边=5×(﹣2)﹣3=﹣13,右边=6×(﹣2)﹣2=﹣14,
因为左边≠右边,所以x=﹣2不是原方程的解.
D、将x=﹣2代入原方程.
左边=3×(﹣2)+1=﹣5,右边=2×(﹣2)﹣1=﹣5,
因为左边=右边,所以x=﹣2是原方程的解.
故选D.
点评:
解题的关键是根据方程的解的定义.
使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解.
6.方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2,则a等于( )
A.
﹣8
B.
0
C.
2
D.
8
考点:
方程的解。
1097869
分析:
方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.
解答:
解:
把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0,
得到:
﹣4+a﹣4=0
解得a=8.
故选D.
点评:
本题主要考查了方程解的定义,已知x=﹣2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程.
7.已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解,则a的值是( )
A.
﹣6
B.
﹣3
C.
﹣4
D.
﹣5
考点:
方程的解。
1097869
分析:
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.
解答:
解:
把x=2代入方程得:
6+a=0
解得:
a=﹣6.
故选A.
点评:
本题主要考查了方程解的定义,已知x=2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程.
8.下列方程中,解是x=2的是( )
A.
2x=4
B.
x=4
C.
4x=2
D.
x=2
考点:
方程的解。
1097869
分析:
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值.即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.因而本题的最简单的解法,就是把x=2代入各个式子检验一下.
解答:
解:
A、2×2=4,故A正确.
B、1≠4,故B错误.
C、8≠2,故C错误.
D、0.5≠2,故D错误.
故选A.
点评:
本题就是考查了方程解的定义,判断一个数是否是方程的解的方法是代入检验,看能否使方程的左右两边相等.
9.(2003•无锡)已知2x=3y(x≠0),则下列比例式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
等式的性质。
1097869
分析:
根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决.
解答:
解:
根据等式性质2,可判断出只有B选项正确,
故选B.
点评:
本题考查的是等式的性质:
等式性质1:
等式的两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等;
等式性质2:
等式的两边同乘(或除以)同一个数(除数不为0)结果仍相等.
10.已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
考点:
等式的性质。
1097869
分析:
利用等式的性质2:
等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式,可判断各选项正确与否.
解答:
解:
A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn,与原式相等;
B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn,与原式相等;
C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my,与原式不相等;
D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn,与原式相等;
故选C.
点评:
解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同.
11.下列运用等式的性质,变形正确的是( )
A.
若x=y,则x﹣5=y+5
B.
若a=b,则ac=bc
C.
若
,则2a=3b
D.
若x=y,则
考点:
等式的性质。
1097869
分析:
利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案.
解答:
解:
A、根据等式性质1,x=y两边同时加5得x+5=y+5;
B、根据等式性质2,等式两边都乘以c,即可得到ac=bc;
C、根据等式性质2,等式两边同时乘以2c应得2a=2b;
D、根据等式性质2,a≠0时,等式两边同时除以a,才可以得
=
.
故选B.
点评:
本题主要考查等式的性质.运用等式性质1必须注意等式两边所加上的(或减去的)必须是同一个数或整式;运用等式性质2必须注意等式两边所乘的(或除的)数或式子不为0,才能保证所得的结果仍是等式.
12.下列说法正确的是( )
A.
如果ac=bc,那么a=b
B.
如果
,那么a=b
C.
如果a=b,那么
D.
如果
,那么x=﹣2y
考点:
等式的性质。
1097869
分析:
利用等式的性质即可解决问题.
解答:
解:
A、根据等式性质2,需加条件c≠0;
B、根据等式性质2,
两边都乘以c,即可得到a=b;
C、根据等式性质2,当c≠0时
成立;
D、根据等式性质2,
两边都乘以﹣3,应得到x=﹣18y;
故选B.
点评:
本题主要考查了等式的基本性质.
等式性质1:
等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立;
等式性质2:
等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母,等式仍成立.
13.下列各方程中,是一元一次方程的是( )
A.
3x+2y=5
B.
y2﹣6y+5=0
C.
x﹣3=
D.
3x﹣2=4x﹣7
考点:
一元一次方程的定义。
1097869
分析:
只含有一个未知数(元),并且未知数的最高次数是1(次)的方程叫做一元一次方程,对定义的理解是:
一元一次方程首先是整式方程,即等号左右两边的式子都是整式,另外把整式方程化简后,只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次).
解答:
解:
A、含有两个次数为1的未知数,是二元一次方程;
B、未知项的最高次数为2,是一元二次方程;
C、分母中含有未知数,是分式方程;
D、符合一元一次方程的定义.
故选D.
点评:
判断一元一次方程的定义要分为两步:
(1)判断是否是整式方程;
(2)对整式方程化简,化简后判断是否只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次).
14.(2008•十堰)把方程3x+
去分母正确的是( )
A.
18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1)
B.
3x+(2x﹣1)=3﹣(x+1)
C.
18x+(2x﹣1)=18﹣(x+1)
D.
3x+2(2x﹣1)=3﹣3(x+1)
考点:
解一元一次方程。
1097869
分析:
同时乘以各分母的最小公倍数,去除分母可得出答案.
解答:
解:
去分母得:
18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1).
故选A.
点评:
本题考查了解一元一次方程的步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1,在去分母时一定要注意:
不要漏乘方程的每一项.
15.(2008•郴州)方程2x+1=0的解是( )
A.
B.
C.
2
D.
﹣2
考点:
解一元一次方程。
1097869
专题:
计算题。
分析:
先移项,再系数化1,可求出x的值.
解答:
解:
移项得:
2x=﹣1,
系数化1得:
x=﹣
.
故选B.
点评:
解一元一次方程的一般步骤是去分母,去括号,移项,合并同类项,移项时要变号,最后系数化1.
16.(2008•厦门)已知方程|x|=2,那么方程的解是( )
A.
x=2
B.
x=﹣2
C.
x1=2,x2=﹣2
D.
x=4
考点:
含绝对值符号的一元一次方程。
1097869
专题:
计算题。
分析:
绝对值方程要转化为整式方程,因为|x|=±x,所以得方程x=±2,解即可.
解答:
解:
因为|x|=±x,所以方程|x|=2化为整式方程为:
x=2和﹣x=2,
解得x1=2,x2=﹣2,
故选C.
点评:
考查绝对值方程的解法,绝对值方程要转化为整式方程来求解.要注意|x|=±x,所以方程有两个解.
17.已知关于x的方程mx+2=2(m﹣x)的解满足|x﹣
|﹣1=0,则m的值是( )
A.
10或
B.
10或﹣
C.
﹣10或
D.
﹣10或﹣
考点:
含绝对值符号的一元一次方程。
1097869
专题:
计算题。
分析:
解此题分两步:
(1)求出|x﹣
|﹣1=0的解;
(2)把求出的解代入方程mx+2=2(m﹣x),把未知数转化成已知数,方程也同时转化为关于未知系数的方程,解方程即可.
解答:
解:
先由|x﹣
|﹣1=0,
得出x=
或﹣
;
再将x=
和x=﹣
分别代入mx+2=2(m﹣x),
求出m=10或
故选A.
点评:
解答本题时要格外注意,|x﹣
|﹣1=0的解有两个.解出x的值后,则可把已知解代入方程的未知数中,使未知数转化为已知数,从而建立起未知系数的方程,通过未知系数的方程求出未知数系数,这种解题方法叫做待定系数法,是数学中的一个重要方法,以后在函数的学习中将大量用到这种方法.
18.若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数,则x的值为( )
A
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