山东省临沂市河东区学年八年级上学期期末数学试题及答案.docx
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山东省临沂市河东区学年八年级上学期期末数学试题及答案
山东省临沂市河东区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.如图的面积关系,可以得到的恒等式是( )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2
2.如图,已知
为
边
的中点,
在
上,将
沿着
折叠,使
点落在
上的
处.若
,则
等于()
A.65
B.
C.
D.
3.已知点P(a,3),Q(−2,b)关于y轴对称,则
()
A.
B.
C.
D.
4.到△ABC的三个顶点距离相等的点是()
A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点D.三条边的垂直平分线的交点
5.对于非零实数
,规定
,若
,则
的值为
A.
B.
C.
D.
6.已知关于x的方程
有增根,则a的值为( )
A.4B.5C.6D.﹣5
7.如图,在
的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的
为格点三角形,在图中与
成轴对称的格点三角形可以画出()
A.6个B.5个C.4个D.3个
8.已知
,则
等于()
A.3B.
C.
D.4
9.如图,过边长为4的等边
的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为()
A.
B.2C.
D.
10.已知
,则
的值等于()
A.1B.﹣1C.-2D.
11.已知对任意实数
,式子
都有意义,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
12.已知实数a,b满足
,则
的值为()
A.0或2B.0或-2C.-2D.0
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,C所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有()
A.6个B.7个
C.8个D.9个
14.如图,
为
的角平分线,
,过
作
于
,
交
的延长线于
,则下列结论:
①
;②
;③
;④
其中正确结论的序号有()
A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④
二、填空题
15.在
中,AB=a,BC=b,
的高AD与高CE的比是____
16.已知等腰
的一底角∠B=15°,且斜边AB=6cm,则
的面积为__
17.如果
,则
的值为________.
18.若关于x的方程
+
=3的解为正数,则m的取值范围是______.
19.计算:
15(
+1)(
)(
)(
)=_____
三、解答题
20.计算:
(1)
(2)
.
21.
(1)已知直角
,∠C=90°,∠B=30°,求证:
AB=2AC.
(2)如图,AD是
的角平分线,DE,DF分别是
ABD和
ACD的高,求证:
AD垂直平分EF.
22.设
.
(1)化简M;
(2)当a=3时,记此时M的值为f(3);当a=4时,记此时M的值为f(4);…….解关于x的不等式
.
23.如图,在△ABC中,D为BC的中点,过D点的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥GF,并交AB于点E,连接EG,EF.
(1)求证:
BG=CF.
(2)请你猜想BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
24.受疫情影响,口罩需求量猛增,某商场用4000元购进一批口罩后,供不应求,商场用8800元购进第二批这种口罩,所购数量是第一批数量的2倍,但单价贵了0.2元.
(1)求该商场购进的第二批口罩的单价;
(2)商场销售这种口罩时,每只定价为3元,最后2000只按7.5折销售,很快售完,在这两笔生意中商场共获利多少元?
25.如图1,在
中,∠A=120°,∠C=20°,BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证:
BD=CD.
(2)如图2,若∠BAC的角平分线AE交BC于点E,求证:
AB+BE=AC.
(3)如图3,若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,则
(2)中的结论是否成立?
若成立,给出证明,若不成立,写出正确的结论.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
分别求出两个图形的面积,再根据两图形的面积相等即可得到恒等式.
【详解】
解:
如图:
图甲面积=(a+b)(a-b)
图乙面积=a(a-b+b)-b
b=
两图形的面积相等,
关于a、b的恒等式为:
(a+b)(a-b)=
.
故选B.
【点睛】
点评:
本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键.
2.C
【解析】
【分析】
先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF,根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD,再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解.
【详解】
解:
∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来,
∴AD=DF,
∵D是AB边的中点,
∴AD=BD,
∴BD=DF,
∴∠B=∠BFD,
∵∠B=70°,
∴∠BDF=180°−∠B−∠BFD=180°−70°−70°=40°.
故答案为:
C.
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质,以及等边对等角的性质,熟知折叠的性质是解答此题的关键.
3.C
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值,然后可得答案.
【详解】
解:
∵点P(a,3)、Q(-2,b)关于y轴对称,
∴a=2,b=3,
∴
,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标,关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点:
横坐标互为相反数,纵坐标不变.
4.D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线上的点到线段两端的的距离相等进行判断即可.
【详解】
解:
∵垂直平分线上的点到线段两端的的距离相等
∴到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点
故选D.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质.解题的关键在于对垂直平分线性质的熟练掌握.
5.A
【解析】
【详解】
试题分析:
∵
,∴
.
又∵
,∴
.
解这个分式方程并检验,得
.故选A.
6.D
【解析】
【分析】
首先最简公分母为0,求出增根,化分式方程为整式方程,把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
【详解】
解:
∵方程有增根,
∴x﹣5=0,
∴x=5,
,
去分母得:
x=3(x﹣5)﹣a,
x=3x﹣15﹣a,
把x=5代入整式方程解得a=﹣5,
故选:
D.
【点睛】
本题考查了分式方程的增根,熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为
的未知数的值是解本题的关键.
7.A
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.
【详解】
解:
符合题意的三角形如图所示:
分三类
对称轴为横向:
对称轴为纵向:
对称轴为斜向:
满足要求的图形有6个.
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形,关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义.
8.D
【解析】
【分析】
先求
的平方,再求其算术平方根即可.
【详解】
解:
∵
,
∴
,
∵
>0,
∴
=4,
故选D.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形求值,以及算术平方根的定义,熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
9.B
【解析】
【分析】
过P作
,交AC于M,则
也是等边三角形,在等边三角形
中,PE是AM上的高,根据等边三角形三线合一的性质知
,根据全等三角形的判定可得
,则
,由线段间的数量关系可得DE的长正好是AC的一半,由此得解.
【详解】
解:
过P作
,交AC于M,
∵
是等边三角形,
∴
,
,
∴
是等边三角形,
又∵
,
∴
,
∵
,
∴
,
,
∵
,
,
∴
,
在
和
中,
,
∴
,
∴
,
∴
,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形.
10.C
【解析】
【分析】
先将原式变形为
,再根据完全平方公式,可得
,从而得到
,进而得到
,即可求解.
【详解】
解:
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
解得:
,
∴
.
故选:
C
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键.
11.A
【解析】
【分析】
把分母配方为
,根据对任意实数
,式子
都有意义,列出不等式
即可.
【详解】
解:
,
,对任意实数
,式子
都有意义,
,
解得
.
故选:
.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件、配方法,解题关键是运用配方法把分母变形,再根据题意,列出不等式求解.
12.A
【解析】
【分析】
根据
,可得
,从而得到
,进而得到
或
,即可求解.
【详解】
解:
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,即
,
∴
,
∴
,
∴
或
∴
或
,
∴当
时,
,
∴
,
当
时,
,
∴
,
∴
的值为0或2.
故选:
A
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质,分式的化简求值,因式分解,熟练掌握分式的基本性质,利用完全平方公式和平方差公式得到
是解题的关键.
13.C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定,“在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称:
在同一三角形中,等边对等角)”分三种情况解答即可.
【详解】
解:
如图,
①以A为圆心,AB为半径画圆,交直线AC有二点M1,M2,交BC有一点M3,(此时AB=AM);
②以B为圆心,BA为半径画圆,交直线BC有二点M5,M4,交AC有一点M6(此时BM=BA).
③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB),交直线BC于点M8;
∴符合条件的点有8个.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定;构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来,思考要全面,做到不重不漏.
14.A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
,再利用“
”证明
和
全等,根据全等三角形对应边相等可得
,利用“
”证明
和
全等,根据全等三角形对应边相等可得
,然后求出
;根据全等三角形对应角相等可得
,利用“8字型”证明
;
,再根据全等三角形对应角相等可得
,然后求出
.
【详解】
解:
平分
,
,
,
,
在
和
中,
,
,故①正确;
,
在
和
中,
,
,
,
,故②正确;
,
,
设
交
于O,
,
,故③正确;
,
,
,
,
,
,故④正确;
综上所述,正确的结论有①②③④共4个.
故选:
.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键,难点在于需要二次证明三角形全等.
15.
##a:
b
【解析】
【分析】
根据题意可得
,即可求解.
【详解】
解:
根据题意得:
,
∵AB=a,BC=b,
∴
,
∴
.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了三角形的性质,根据题意得到
是解题的关键.
16.
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D,利用等腰三角形的性质求出∠CAD=30°,再利用含30°直角三角形的性质求出CD,即可求解.
【详解】
如图,过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=15°,
∴∠CAD=∠ACB+∠B=15°+15°=30°,
∴CD=
AC=
6=3cm,
∴
cm2,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及含30°直角三角形的性质、三角形面积,正确作出辅助线是解题关键.
17.
【解析】
【分析】
由
根据完全平方公式的变形
,求出
,然后将所求分式的分子、分母同时除以x2,最后利用整体代入法求值即可.
【详解】
解:
∵
,
∴
=
,
=
,
=7;
∴
,
,
,
,
=
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查的是求分式的值,掌握完全平方公式和分式的基本性质,解题的关键是熟练整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形.
18.m<
且m≠
【解析】
【详解】
去分母得:
x+m-3m=3(x-3)
去括号得x+m-3m=3x-9
移项,整理得:
x=
∵x>0,且x≠3
∴
>0,且
≠3
解得:
m<
且m≠
.
19.
【解析】
【分析】
首先将原式变形(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1),利用平方差公式求解,即可求得答案.
【详解】
解:
15(
+1)(
)(
)(
),
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1),
=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1),
=(216-1)(216+1)(232+1),
=(232-1)(232+1),
=264-1.
故答案为:
.
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用.注意掌握平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
20.
(1)
(2)无解
【解析】
【分析】
(1)先算乘方和绝对值,再算加减;
(2)先去分母,给方程两边同时乘以(x+3)(x-3),再去括号,移项合并同类项,系数化1,求解即可,最后还要将解代入原方程中确定原方程是否有意义.
【详解】
解:
(1)原式=1+4−1−
=
;
(2)
两边都乘以
,
得:
,
解得
,
当
时,
,
所以原分式方程无解.
【点睛】
本题考查实数的混合运算,负整数指数幂,解分式方程,在解分式方程的过程中要注意检验确定其是否有意义.
21.
(1)见解析;
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)延长AC使CD=AC,连接BD,先证
ABC
BC(SAS),再证
ABD为等边三角形即可;
(2)AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高得出DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,再证Rt
ADE
ADF(HL),再根据线段垂直平分线判定定理即可得解.
【详解】
(1)证明:
延长AC使CD=AC,连接BD,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°
∴∠BCD=90°,∠A=90°-∠ABC=60°,
在△ABC和△DBC中
,
∴
ABC
BC(SAS),
∴∠A=∠D=60°,
∴
ABD为等边三角形,
∴AB=AD,
∴AB=2AC;
(2)证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,
∴△AED和△AFD均为直角三角形,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt
ADE
ADF(HL),
∴AE=AF,
又∵DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的判定,掌握全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的判定是解题关键.
22.
(1)
;
(2)x≤4
【解析】
【分析】
(1)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子;
(2)根据
,即可得到
,
,
,...,
,由此求解即可.
【详解】
解:
(1)
.
(2)∵
,
∴
,
,
,...,
∴
,
∴
即为
,
∴
,
解得:
.
【点睛】
本题考查分式化简、代数式求值和一元一次不等式,熟练掌握分式化简是解题的关键.
23.
(1)见解析;
(2)BE+CF>EF.见解析
【解析】
【分析】
(1)利用平行关系以及BC的中点,求证△CFD≌△BGD,进而证明BG=CF.
(2)在△BGE中,利用三边关系得到BG+BE>EG,利用△CFD≌△BGD,将不等式中的
、
用
、
替换,即可证明.
【详解】
(1)证明:
∵BG
AC,
∴∠C=∠GBD,
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
在△CFD和△BGD中
,
∴△CFD≌△BGD
,
∴BG=CF.
(2)解:
BE+CF>EF,
理由如下:
∵△CFD≌△BGD,
∴CF=BG,
在△BGE中,BG+BE>EG,
∵△CFD≌△BGD,
∴GD=DF,ED⊥GF,
∴EF=EG,
∴BE+CF>EF.
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系,通过题目所给条件,正确找到证明三角形全等的条件,进而应用全等三角形性质以及三边关系解题,是解决本题的关键.
24.
(1)2.2元
(2)3700元
【解析】
【分析】
(1)设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只,则第一批口罩的单价为
元/只,根据题意列出方程求解即可得;
(2)根据销售总价减去进价即为总利润求解即可.
(1)
解:
设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只,则第一批口罩的单价为
元/只,
依题意得:
,
解得:
,
经检验,
是原方程的解,且符合题意,
答:
该商场购进的第二批口罩的单价为2.2元;
(2)
解:
共获利:
(
,
答:
在这两笔生意中商场共获得3700元.
【点睛】
题目主要考查分式方程的应用,理解题意,列出分式方程求解是解题关键.
25.
(1)见解析
(2)见解析
(3)不成立,正确的结论是BE-AB=AC,见解析
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和可得
,利用角平分线得出
,由等角对等边即可证明;
(2)过点E作
交AC于点F,根据平行线的性质可得
,由等量代换、外角的性质及等角对等边可得
,
,依据全等三角形的判定和性质可得
,
,
,结合图形,由线段间的数量关系进行等量代换即可证明;
(3)
(2)中的结论不成立,正确的结论是
.过点A作
交BE于点F,由平行线的性质及等量代换可得
,根据等角对等边得出
,由角平分线可得
,结合图形根据各角之间的数量关系得出
,由等角对等边可得
,结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果.
(1)
证明:
∵
,
,
∴
,
∵BD平分
,
∴
,
∴
,
∴
;
(2)
证明:
如图:
过点E作
交AC于点F,
∴
,
∴
,
∴
,
,
∴
,
∵AE是
的平分线,
∴
,
在
和
中,
,
∴
,
∴
,
,
∴
,
∴
;
(3)
解:
(2)中的结论不成立,正确的结论是
.理由如下:
如图,过点A作
交BE于点F,
∴
,
∴
,
∴
,
∵AE是
的外角平分线,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,利用角平分线进行角度的计算,平行线的性质,三角形内角和定理等,理解题意,作出相应辅助线,综合运用这些知识点是解题关键.
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