人教版数学九年级下册《相似》单元测试题含答案.docx
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人教版数学九年级下册《相似》单元测试题含答案
人教版数学九年级下册
《相似》单元测试
一、选择题
下列说法中正确的是()
A.两个平行四边形一定相似
B.两个菱形一定相似
C.两个矩形一定相似
D.两个等腰直角三角形一定相似
已知
则
的值为()
A.
B.
C.2D.
下列各组数中,成比例的是()
A.-7,-5,14,5B.-6,-8,3,4C.3,5,9,12D.2,3,6,12
若a:
b:
c=3:
5:
7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于( )
A.-3
B.-5 C.-7 D.-15
如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,以下说法中错误的是( )
A.△ABC∽△A′B′C′
B.点C、点O、点C′三点在同一直线上
C.AO:
AA′=1:
2
D.AB∥A′B′
图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是()
A.点MB.点NC.点OD.点P
如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为()
A.1:
2B.1:
4C.1:
5D.1:
6
如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,
则△ODE与△AOB的面积比为( )
A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.1:
5
如图,在▱ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB的面积为
,则下列结论中正确的是( )
A.m=5B.m=4
C.m=3
D.m=10
如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.
下列结论:
①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED•BC=BO•BE.
其中正确结论的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
如图,在平行四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=AC,过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E,点F是垂足,连接BE、DF,DF交AC于点O.
则下列结论:
①四边形ABEC是正方形;
②CO:
BE=1:
3;
③DE=
BC;
④S四边形OCEF=S△AOD,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
若四边形ABCD与四边形A/B/C/D/的相似比为3∶2,那么四边形A/B/C/D/与四边形ABCD的相似比为
.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:
3,已知AB=4,则DE的长为.
如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1:
,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是.
如图1,小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架,如图2是晒衣架的侧面示意图,经测量:
OC=OD=126cm,OA=OB=56cm,且AB=32cm,则此时C,D两点间的距离是______cm.
如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP= .
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过B点的切线交AC的延长线于点D,E为弦AC的中点,AD=10,BD=6,若点P为直径AB上的一个动点,连接EP,当△AEP是直角三角形时,AP的长为 .
三、作图题
在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,位似比为2,画出△ABC的位似图形△A′B′C′;
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标.
四、解答题
已知a,b,c均不为0,且
,求
的值.
某同学将一张报纸对折后,发现对折后的半张报纸与整张报纸恰好相似,如图所示
求整张报纸的长和宽的比是多少?
如图,已知点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且AC=1,CD=2,DB=4.
求证:
△ACP∽△PDB.
如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:
△ADG≌△CDG.
(2)若CE=2EF,EG=4,求AG的长.
如图,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O外的一点,AM是⊙O的直径,∠PAC=∠ABC.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)连接PB与AC交于点D,与⊙O交于点E,F为BD上的一点,若M为
的中点,
且∠DCF=∠P,求证:
=
=
.
如图,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG·AB=12,求AC的长;
(3)在满足
(2)的条件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1,求⊙O的半径及sin∠ACE的值.
参考答案
D
B
B
D
C.
D
B
A.
D.
B.
答案为:
A.
解析:
连结DO.
∵AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,∴∠CBO=90°,
∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,
,∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上,∴CD是⊙O的切线;故①正确,
∵△COD≌△COB,∴CD=CB,
∵OD=OB,∴CO垂直平分DB,即CO⊥DB,故②正确;
∵AB为⊙O的直径,DC为⊙O的切线,∴∠EDO=∠ADB=90°,
∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°,∴∠ADE=∠BDO,
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠EDA=∠DBE,
∵∠E=∠E,∴△EDA∽△EBD,故③正确;
∵∠EDO=∠EBC=90°,∠E=∠E,∴△EOD∽△ECB,
∴
,∵OD=OB,∴ED•BC=BO•BE,故④正确;
故选:
A.
答案为:
D.
解析:
①∵∠BAC=90°,AB=AC,∴BF=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DE,∴∠BAF=∠CEF,
∵∠AFB=∠CFE,∴△ABF≌△ECF(AAS),∴AB=CE,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴四边形ABEC是正方形,故此题结论正确;
②∵OC∥AD,∴△OCF∽△OAD,∴OC:
OA=CF:
AD=CF:
BC=1:
2,
∴OC:
AC=1:
3,∵AC=BE,∴OC:
BE=1:
3,故此小题结论正确;
③∵AB=CD=EC,∴DE=2AB,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴AB=
BC,
∴DE=2×
,故此小题结论正确;
④∵△OCF∽△OAD,∴
,∴
,
∵OC:
AC=1:
3,∴3S△OCF=S△ACF,∵S△ACF=S△CEF,
∴
,
∴
,故此小题结论正确.
答案为:
2:
3;
答案为:
6.
答案为:
(
,
).
答案为:
72.
答案为:
.
答案为:
4和2.56.
解析:
∵过B点的切线交AC的延长线于点D,∴AB⊥BD,
∴AB=
=
=8,当∠AEP=90°时,
∵AE=EC,∴EP经过圆心O,∴AP=AO=4;
当∠APE=90°时,则EP∥BD,∴
=
,
∵DB2=CD•AD,∴CD=
=
=3.6,∴AC=10﹣3.6=6.4,
∴AE=3.2,∴
=
,∴AP=2.56.
综上AP的长为4和2.56.
解:
(1)如图所示:
△A′B′C′即为所求;
(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为:
A′(3,6),B′(5,2),C′(11,4).
解:
设
=k,
则
①
②
③
由
①+③得,2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②+④,得4b=9k,
∴b=
,分别代入①,④得,a=
c
=
.
∴
.
略
证明:
∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,
∴∠PCA=∠PDB=120°,
∵AC=1,BD=4,
∴
,
=
,
∴
=
,
∴△ACP∽△PDB.
解:
解:
(1)连接CM.
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,
∴∠PAC=∠M.
∵AM为直径,
∴∠M+∠MAC=90°,
∴∠PAC+∠MAC=90°,即∠MAP=90°,
∴MA⊥AP,
∴PA是⊙O的切线
(2)连接AE.∵M为
中点,AM为⊙O的直径,
∴AM⊥BC.
∵AM⊥AP,
∴AP∥BC,
∴△ADP∽△CDB,
∴
=
.
∵AP∥BC,
∴∠P=∠CBD.
∵∠CBD=∠CAE,
∴∠P=∠CAE.
∵∠P=∠DCF,
∴∠DCF=∠CAE.
又∵∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,
∴
=
,
∴
=
=
.
(1)证明:
如图,连接CD,
∵AD是⊙O的直径.
∴∠ACD=90°.
∴∠CAD+∠ADC=90°.
又∵∠PAC=∠PBA,
∠ADC=∠PBA,∴∠PAC=∠ADC.
∴∠CAD+∠PAC=90°.
∴PA⊥DA.而AD是⊙O的直径,
∴PA是⊙O的切线.
(2)解:
由
(1)知,PA⊥AD,
又∵CF⊥AD,
∴CF∥PA.∴∠GCA=∠PAC.
又∵∠PAC=∠PBA,
∴∠GCA=∠PBA.
而∠CAG=∠BAC,
∴△CAG∽△BAC.
∴
=
,
即AC2=AG·AB.
∵AG·AB=12,
∴AC2=12.∴AC=2
.
(3)解:
设AF=x,∵AF∶FD=1∶2,
∴FD=2x.∴AD=AF+FD=3x.
在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,
∴AC2=AF·AD,即3x2=12,
解得x=2或x=-2(舍去).
∴AF=2,AD=6.∴⊙O的半径为3.
在Rt△AFG中,AF=2,GF=1,
根据勾股定理得AG=
=
=
,由
(2)知AG·AB=12,
∴AB=
=
.连接BD,如图.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=
,
AD=6,AB=
,∴sin∠ADB=
.
∵∠ACE=∠ADB,
∴sin∠ACE=
.
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