空间解析几何习题答案解析015111.docx

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空间解析几何习题答案解析015111

、计算题与证明题

1．已知|a|1,|b|4,|c|5,并且abc0．计算abbcca．解：

因为|a|1,|b|4,|c|5,并且abc0

所以a与b同向，且ab与c反向

因此ab0，bc0，ca0

所以abbcca0

2．已知|ab|3,|ab|4,求|a||b|．

解：

|ab|abcos3

（1）

|ab|absin4

（2）

（1）222得ab225

所以ab5

4．已知向量x与a（,1,5,2）共线,且满足ax3,求向量x的坐标．

解：

设x的坐标为x,y,z，又a1,5,2

1）

则axx5y2z3

又x与a共线，则xa0

ijxy15

2y5ziz2xj5xyk0

所以2y5z2z2x25xy20

即29x25y226z220yz4xz10xy0

（2）

又x与a共线，x与a夹角为0或

cos01

xa

x2y2z2125222

整理得

22yz

联立1、2、3解出向量x的坐标为

1,1,1

10,2,5

6．已知点A（3,8,7）,B（1,2,3）求线段AB的中垂面的方程．

解：

因为A3,8,7,B（1,2,3）

AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为Mx,y,z，则由MAMB得

x32y82z72x12y22z32

化简得2x3y5z270

这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a,b,c具有相同的模,且两两所成的角相等,若a,b的坐标分别为（1,1,0）和（0,1,1）,求向量c的坐标．

解：

abcr且它们两两所成的角相等，设为

则有ab1011011

则cos

设向量c的坐标为x,y,z

cx2y2z2r1212022

3）

所以x2y2z22

8．已知点A（3,6,1）,B（2,4,1）,C（0,2,3）,D（2,0,3），

（1）求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积．

（2）求三棱锥ABCD的体积．

（3）求BCD的面积．

（4）求点A到平面BCD的距离．

解：

因为A3，0，1，B2,4,1,C0,2,3,D2,0,3

所以AB1,10,0

AC3,8,2

AD5,6,4

1）AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积

110

V38

56

0

231000012012176

4

2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥ABCD）的体积

VTSBCDH

T3BCD

88

3

311112

8222

1．求经过点A（3,2,1）和B（1,2,3）且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：

与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为

AxCzD0

（1）

把点A3，2，1和点B1，2，3代入上式得

3ACD0

（2）

A3CD0（3）

DD

由

（2），（3）得A,C

22

DD

代入

（1）得xzD0

22

消去D得所求的平面方程为

x2z0

xyz2．求到两平面:

3xy2z60和:

1距离相等的点的轨迹方程．

251

解；设动点为Mx,y,z，由点到平面的距离公式得

3zy2z65x2y10z10

3212225222102

14

所以3xy2z65x2y10z10

129

3．已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为2:

6:

5,求的

方程．

解：

设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为

xyz12k6k5k

化成一般式为15x5y6z30k0

又因点O0,0,0到平面的距离为120，则有

30k

120

1525262

求出k4286

所以，所求平面方程为15x5y6z1202860

5．已知两平面:

mx7y6z240与平面:

2x3my11z190相互垂直，求m的值．

解：

两平面的法矢分别为n1m,1,6，n22,3m,11，由n1⊥n2，得

2m21m660

6．已知四点A（0,0,0）,B（,2,5,3）,C（0,1,2）,D（2,0,7）,求三棱锥DABC中ABC

面上的高．

解：

已知四点A0,0,0,B2,5,3,C0,1,2,D2,0,7,则

DA2,0,7,DB0,5,4,DC2,1,9

由DA,DB,DC为邻边构成的平行六面体的体积为

207

VDA,DB,DC054

219

90007008

90708

28

由立体几何可知，三棱锥DABC的体积为

1114

VDABCV28

663

设D到平面ABC的高为H

则有

V1HS

VDABCHSABC

3

所以

3VDABC

H

SABC

又AB2,5,3,AC0,1,2

k

3

7i4j2k

2

:

4x2y7z140的距离为7,求点A的坐标．

解：

A在z轴上，故设A的坐标为（00z），由点到平面的距离公式，得

7z147

422272

所以7z1469

则z269

那么A点的坐标为A0,0,269

8．已知点．A在z轴上且到点B（0,2,1）与到平面:

6x2y3z9的距离相等,求点A的坐标。

解：

A在z轴上，故设A的坐标为0,0,z，由两点的距离公式和点到平面的距离

化简得40z274z2290

2

因为742440229311640方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

1．求经过点P（1,2,0）且与直线x1y1z1和xyz1都平行的平面的方

110110程．

解：

两已知直线的方向矢分别为v11，1，0，v21，1，0，平面与直线平行，则平面的法矢aA，B，C与直线垂直

由a⊥v1，有AB00

（1）

由a⊥v2，有AB00

（2）

联立

（1），

（2）求得A0,B0,只有C0

又因为平面经过点P1，2，0，代入平面一般方程得

0102C0D0

所以D0故所求平面方程Cz0，即z0，也就是xoy平面。

x1y3z

2．求通过点P（1，0，-2），而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直

421线的方程．

解：

设所求直线的方向矢为vm，n，p，直线与平面3x2z10平行，则v⊥n，有

1）

3mn2p0

直线与直线x1y3z相交，即共面

4

2

1

m

n

p

则有

4

2

1

0

11

30

02

所以7m

8n12

0

（2）

由

（1），（

2）

得

m

n

p

即m

n

p

12

23

31

4

50

31

812

127

78

取m4，n

50，p31，得求作的直线方程为

x1yz2

45031

x3y4z4

3．求通过点A（0,0,0）与直线的平面的方程．

211

解：

设通过点A（0,0,0）的平面方程为A（x0）B（y0）C（z0）0

即AxByCz0

（1）

x3y4z4

又直线在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直211

所以2ABC0

（2）

直线上的点3,4,4也在该平面上，则

3A4B4C0（3）

由

（1），

（2），（3）得知，将A,B,C作为未知数，有非零解的充要条件为

xyz

2110

344即8x5y11z0，这就是求作的平面方程。

x2yz1

4．求点P（1,1,0）到直线的距离．

110

解：

点A2,0,1在直线上，直线的方向矢v1,1,0

AP1,1,1,则AP与v的夹角为

APv110

cos0

APv1212121212

所以900

因此点P1,1,0到直线的距离为dAP1212123

3xy2z60

5．取何值时直线与z轴相交?

x4yz150

3xy2z60

解：

直线与z轴相交，则有交点坐标为0，0，z，

x4yz150

2z60

由直线方程得，求得5

z150

7．求过点（3,25）且与两平面x4z3和3x

yz1平行直线方程．

解：

与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，

则直线的方向矢垂直于这两平面法矢

所确定的平面，即直线的方向矢为

i

j

k

vn1n2

1

0

4

4i13jk

3

1

1

将已知点代入直线的标准方程得

x3

y

2

z5

4

13

1

联立

（2）,（3）,（4）得B

A5D

39

7

34

C2

34

代入

（1）式消去D并化简得求作的平面方程为

5x2y2z390

3．求顶点为O（0,0,0），轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点（3,2,1））的圆锥面的方程．

解：

设轨迹上任一点的坐标为Px，y，z，依题意，该圆锥面的轴线与平面xyz0垂

直，则轴线的方向矢为v1，1，1，又点O0,0,0与点3，2,1在锥面上过这两点的线的方向矢为

l13,2,1，点O（0,0,0）与点Px，y，z的方向矢为l2x,y,z，则有l1与v

的夹角和l2与v的夹角相等，即

x1y111312111

x2y2z2121212322212121212

化简得所求的圆锥面方程为

222

11x211y211z214xy14yz0

222

4．已知平面过z轴,且与球面x2y2z26x8y10z410相交得到一个半径为

2的圆,求该平面的方程．

解：

过z轴的平面为AxBy0

球面方程化为x32y42z529表示球心坐标为O3,4,5到截面圆的圆心的距离为d32225,如题三.4图所示

由点到平面的距离公式为

3A4B5

A2B2

化简得4A224BA11B20

解关于A的一元二次方

1）

程地

A24B24B24411B2

24

111

求出A11B,A211B

1222

111

分别代入

（1）式得BxBy0,BxBy0

22

3

消去B得所求平面方程为x2y或x3y

11

x1

为中心轴的圆柱面的方程．

y1

解:

如习题三.5所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为

5．求以z轴为母线,直线

22

1,1,半径为2,所以求作的圆柱面方程为x12y122

6．求以z轴为母线,经过点A（,4,2,2）以及B（6,3,7）的圆

柱面的方程

22

解:

设以z轴为母线的柱面方程为xa2yb2a

（1）

因为点A（,4,2,2）,B（6,3,7）在柱面上,则有

4a22b2R2

（2）

6a23b2R2

（3）

22

则a0b0

R2

（4）

5,R2225

4

64

x2852

8

52

y4

225

64

1表示的各是什么图形．

7．根据k的不同取值,说明（9k）x（4k）y2（1k）z2

（1）

解:

方程9kx24ky21kz21

①k9时,

（1）式不成立,不表示任何图形;

222

xyz

②4k9时,

（1）式变为2221,表示双叶双曲线;

a2b2c2

222

④k1时,

（1）式变为x2y2z21,表示椭球面;

a2b2c2

22

5k1时,

（1）式变为x2y21,表示母线平行于z轴的椭圆柱面;

a2b2

22

6k4时,

（1）式变为x2z21,表示双曲柱面;

a2b2

22

7k9时,

（1）式变为y2z21,不表示任何图形;

b2c2

1．已知|a|2,|b|7,|c|5,并且abc0．计算abbcca．

解:

|a|2,|b|7,|c|5,且abc0

则a与c同向，a、c均与b反向.

所以abbcca0

27cos180075cos180052cos00

143510

39

3．已知点A（0,1,4）,B（2,3,0）求线段AB的中垂面的方程．

解：

已知点A（0,1,4）,B（2,3,0），设AB的中垂面上任一点的坐标为Mx,y,z，由两点间的距离公式得x02y12z42x22y12z02

化简得xy2z10

4．已知平面与三个坐标轴的交点分别为A,B,C且OABC的体积为80,又在三个坐标轴上的截距之比为4:

5:

3,求的方程．

解：

设在三个坐标轴上的截距之比为a:

b:

c4:

5:

3k，则平面与三个坐标轴的交点为A4k,0,0,B0,5k,0,C0,0,3k

所以，k38,k2

因此，a4k8,b5k10,c3k6

平面的方程为xyz1

8106

5．已知两平面:

2xmyx110与平面:

mxyz1相互垂直,,求m的值．

解：

平面:

2xmyz110，n12,m,1

平面:

mxyz1，n2m,1,1

与垂直，则n1⊥n2，所以n1n20

即2mm10

1

所以m

3

x2yz10

6．取何值时直线与x轴相交?

x2y3z10

x2yz10

解：

直线与x轴相交，则交点坐标为x,0,0，代入直线方程为

x2y3z10

x10

（1）

x10

（2）

（1）+

（2）得1x0，而原点O0,0,0不在直线上，故x0，所以10,1

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x5y2z

8．一平面经过直线（即直线在平面上）l：

，且垂直于平面

314

xyz150，求该平面的方程．

解：

设求作的平面为AxByCzD0

（1）

直线x5y2z在该平面上，则有点5,2,0在平面上，且直线的方向矢v3,1,4314

与平面的法矢nA,B,C垂直

所以5A2BD0

（2）

3AB4C0（3）又平面与已知平面xyz110垂直，则它们的法矢垂直所以ABC0（4）

25

联立

（2）,（3）,（4）求出a25,b

8

代入

（1）式得所求的柱面方程为

a2b2c2