导数大题练习带答案.docx
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导数大题练习带答案
1已知f(x)=xlnx—ax,g(x)=—x2—2,
(I)对一切x€(o,+旳,f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(n)当a=—1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值;(川)证明:
对一切x€(0,+旳,都有lnx+1>
12
4-成立.
eex
2
2、已知函数f(x)alnx2(a0).(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线
x
与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;(n)若对于x(0,)都有f(x)>2(a—
1)成立,试求a的取值范围;(川)记g(x)=f(x)+x—b(b€R).当a=1时,函数g(x)在区间[e—1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
3.设函数f(x)=lnx+(x—a)2,a€R.(I)若a=0,求函数f(x)在[1,e]上的最小值;
1
(n)若函数f(x)在[寸,2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围;
(川)求函数f(x)的极值点.
12
4、已知函数f(x)—ax(2a1)x2lnx(aR).
2
(I)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行,求a的值;(n)求f(x)的单
调区间;(川)设g(x)x22x,若对任意人(0,2],均存在沁(0,2],使得
f(xjg(X2),求a的取值范围.
2
5、已知函数fx2alnx2(a0)
x
(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(n)若对于任意x0,都有fx2(a1)成立,试求a的取值范围;
(川)记g(x)=f(x)+x—b(b€R).当a=1时,函数g(x)在区间e1,e上有两个零点,
求实数b的取值范围.
1
(1)若函数在区间(a,a1)(其中a0)上存在极值,求实数a的取值范围;
2
⑵如果当x1时,不等式f(x)恒成立,求实数k的取值范围.
x1
(n)当a
1时,f(x)
xlnxx,
f(x)
lnx2,
由f(x)0得x
1
2・e
6分
①当0
1评
m—时,e
在x[m,—)上f
e
(x)0,在x
1
(2,me
3]上f(x)0
因此,
f(x)在x
1
2处取得极小值,
e
也是最小值.
fmin(x)
1
~~2.
e
即Fmin(X)F
(1)
由于f(m)0,f(m3)
(m3)[ln(m3)1]
0
3,所以a3.……4分
1
②当m—时,f'(x)0,因此f(x)在[口,m3]上单调递增,
e
所以fmin(x)f(m)m(lnm1),
fmax(x)f(m3)(m3)[ln(m3)1]……9分
(川)证明:
问题等价于证明
xlnxx三e
2
2(x(0,
e
)),10分
由(n)知a
1时,
f(x)xlnx
x的最小值是
11
2,当且仅当x2时取
ee
得,……11分
x
设G(x)二
e
2(x
e
(0,)),则G
/、1x
(x)x1
e
易知
1
Gmax(X)G
(1)—,当且仅当X1时取到,12分
e
心11
但—,从而可知对一切x(0,),
ee
12
都有lnx1x成立13分
eex
2a
2、解:
(I)直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,+8),因为f'(x)—
xx
a2x
所以f'
(1)—-1,所以a=1.所以f(x)—Inx2.f'(x)一—.由
11xx
f'(x)0解得x>0;由f'(x)0解得0VxV2.所以f(X)的单调增区间是(2,+8),
单调减区间是(0,2).……4分
2aax22
(n)f'(x)22,由f'(x)0解得x;由f'(x)0解得
xxxa
222、、2
0x.所以f(x)在区间(一,)上单调递增,在区间(0,—)上单调递减.所以当x—
aaaa
时,函数f(x)取得最小值,yminf
(2).因为对于x(0,)都有f(x)2(a1)成立,
所以f
(2)2(a1)即可
a
a
由aln2a解得0a-.所
22
.贝Ualn22(a
2a
1).
a
e
2
以a的取值范围是(0,—).
e
a
……8分
(川)依题得g(x)-
X
lnxx2b,则g'(x)
2X
x2
2.由g'(x)
X
0解得x>1;
由g'(x)0解得0vxv1.所以函数g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+8)为g(e1)0
增函数.又因为函数g(x)在区间[e一1,e]上有两个零点,所以g(e)0.解得
g
(1)0
22
1be1.所以b的取值范围是(1,e1].13
ee
分
3•解:
(I)f(x)的定义域为(0,+8).1分
1
因为f'(x)2x0,所以f(x)在[1,e]上是增函数,
x
当x=1时,f(X)取得最小值f
(1)=1.
所以f(X)在[1,e]上的最小值为1.3分
n)解法一:
2
1c/、2x2ax1
f'(x)2(xa)
xx
设g(x)=2x2—2ax+1,4分
1
依题意,在区间[;,2]上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.……5分
注意到抛物线g(x)=2x2—2ax+1开口向上,所以只要
1
g
(2)>0,或g(?
)0即可
6分
9
由g⑵〉0,即8—4a+1>0,得a-,
4
113
由g
(2)0,即2a10,得a2,
9
所以a9,
4
9所以实数a的取值范围是(,).
4
山、斗12x22ax1
解法二:
f'(x)2(xa)
xx
1
依题意得,在区间[2,2]上存在子区间使不等式2x2—2ax+1>0成立.
又因为g'(x)
(川)因为f'(x)——2ax1,令h(x)=2x2—2ax+1
1显然,当aw0时,在(0,+R)上h(x)>0恒成立,f'(x)>0,此时函数f(x)没有
极值点;9分
2当a>0时,
(i)当0,即0a.2时,在(0,+1上h(x)>0恒成立,这时f'(x)>0,此
10分
时,函数f(x)没有极值点;
小值点.
②当0a1时,丄2,
2a
11
在区间(0,2)和(―,)上,f(x)0;在区间(2,—)上f(x)0,
aa
11
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(一,),单调递减区间是(2,—).
aa
6分
—1(x2)2
③当a—时,f(x)
22x
故f(x)的单调递增区间是(0,).7分
11
④当a时,02,
2a
在区间(0丄)和(2,)上,f(x)0;在区间(-,2)上f(x)0,
aa
故f(x)的单调递增区间是(0,-)和(2,),单调递减区间是
a
1
(-,2).8分
a
(川)由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.
9分
由已知,g(x)max0,由(II)可知,
1
①当a时,
2
f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max
f
(2)2a2(2a1)2ln2
2a22ln2,
所以,2a
22ln20,解得aln2
1
1,故ln21a—.…
2
•…10分
②当a-时,f(x)在(0,-]上单调递增,在[丄,2]上单调递减,
2aa
故f(x)maxf
(1)2—2lna.
a2a
111
由a-可知lnaln-曲1,2lna2,2lna2,
所以,221na0,f(x)max0,
综上所述,aln21.12分
因为f(x)
5、(I)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为0,
~2—,所以f1
xx
所以fX2Inx2,f
x
由fx0解得x>2;
0解得0vxv2
所以f(x)得单调增区间是
2,
,单调减区间是
0,2
(n)f'(x)
ax
由fx0解得x
2
2_
x
2;由f
a
x0解得0
2
所以f(x)在区间(三,
a
)上单调递增,在区间
所以当x-时,
a
函数f(x)取得最小值ymin
a
2、
(0,—)上单调递减
a
f(3
a
因为对于任意x
0,都有fx2(a1)成立,
1)即可
22
则aln2
2a
2
所以f()2(a
a
2
2(a1),由aIna解得
a
所以a得取值范围是
(0,-)
e
(川)依题意得
2g(x)
x
lnx2b,则g(x)
x2
0解得x>1,由gx0解得0vxv1
g(e1)0
2所以g(e)0解得1be1
eg
(1)0
所以b得取值范围是
(1,-e
1]
12分
e
6、解:
(1)因为f(x)1lnx,
x0,则
f(x)
ln2x,-1分
x
x
当0x1时,f(x)
0;当x
1时,
f(x)0.
•f(x)在(0,1)上单调
递增;在
(1,
)上单调递减,
•••函数f(x)在x1处取得极大值.3分
•••函数f(x)在区间
1
(a,a)(其中a0)上存在极值,
2
a1,
1a-
解得
1,
2
(2)不等式
,即为(x1)(1Inx)k,
记g(x)
(x
1)(1
x
令h(x)
x
Inx,
•[h(x)]
min
h
(1)
•-[g(x)]
min
g
(1)
f(x)
10,从而g(x)
2,•••k2.
则h'(x)1-
x
业•g(x)
x
[(x1)(1Inx)]x(x1)(1Inx)
xInx
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