立体几何第五讲 垂直的性质和证明学生.docx
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立体几何第五讲垂直的性质和证明学生
第五讲垂直的判定与性质
[玩前必备]
1.直线与平面垂直
图形
条件
结论
判定
a⊥b,b⊂α(b为α内的任意直线)
a⊥α
a⊥m,a⊥n,m、n⊂α,m∩n=O
a⊥α
a∥b,a⊥α
b⊥α
性质
a⊥α,b⊂α
a⊥b
a⊥α,b⊥α
a∥b
2.两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
(3)平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
[玩转典例]
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
[玩转跟踪]
1.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.
求证:
(1)CD⊥PD;
(2)EF⊥平面PCD.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=
DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
[玩转跟踪]
1.(2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:
(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.(2020·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
求证:
(1)AF∥平面PEC;
(2)平面PEC⊥平面PCD.
题型三 直线、平面垂直的综合应用
例3 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
[玩转跟踪]
1.(江西)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=
,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:
BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
题型四 垂直的探索性综合应用
例4 如图,在三棱台ABCDEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:
DF∥a;
(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?
若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.
[玩转跟踪]
1.(2020·郑州模拟)如图,已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:
MN∥平面AA′C′C;
(2)设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论.
[玩转练习]
1.已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是( )
A.b⊥βB.b∥β
C.b⊂βD.b⊂β或b∥β
2.已知空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
3.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边BC、CD的中点,H是EF的中点.现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体,使B、C、D三点重合于点G,则下列结论中成立的是________.(填序号)
①AG⊥平面EFG;②AH⊥平面EFG;
③GF⊥平面AEF;④GH⊥平面AEF.
4.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:
(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.
5.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4B.3
C.2D.1
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个结论:
①点H是△A1BD的中心;
②AH垂直于平面CB1D1;
③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确结论的序号是________.
7.如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:
AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,
求证NQ⊥PB.
8.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C1.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
9.(2020·淄博模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:
PA∥平面EDB;
(2)证明:
PB⊥平面EFD.
10.(2016·全国乙卷)
如图,已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:
G是AB的中点;
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
11.(2015·新课标全国卷Ⅰ)
如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)证明:
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积为
,求该三棱锥的侧面积.
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