江苏数学高考真题.docx

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江苏数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时

间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

锥体的体积V

1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

3

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．．

置．上．．

1.已知集合A

{0,1,2,8}，B

{1,1,6,8}，那么AB▲．

2.若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．

5.函数

f（x）log2x

1

的定义域为▲．

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为

▲．

7.已知函数y

sin（2x

）（）

22

的图象关于直线x

对称，则的值是▲．

3

x2y2

8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

221（a

ab

0,b

0）的右焦点

F（c,0）

到一条渐近

线的距离为3c，则其离心率的值是▲．

2

cosx,0

x2,

9.函数f（x）满足f（x4）f（x）（xR），且在区间（2,2]上，

f（x）

2

|x1|,-2

2

则

x0,

f（f（15））的值为

▲．

10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．

11.

3

2

若函数

f（x）2xax

1（aR）在（0,）内有且只有一个零点，则

f（x）在[1,1]上的

最大值与最小值的和为▲．

12.在平面直角坐标系xOy中，A为直线

l:

y

2x上在第一象限内的点，

B（5,0）

，以AB为

直径的圆C与直线l交于另一点D．若

ABCD

0，则点A的横坐标为▲．

13.在

△ABC

中，角

A,B,C所对的边分别为

a,b,c，

ABC

120

，ABC的平分线交AC

*

n*

于点D，且BD1，则4ac的最小值为▲．

14．已知集合A

{x|x

2n1,nN}，B

{x|x

2

nN}．将AB的所有元素从小到

大依次排列构成一个数列{an}．记

Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn

12an

1成立的

n的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在平行六面体

ABCDA1B1C1D1中，

AA1

AB,AB1

B1C1．

求证：

（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1平面A1BC．

16．（本小题满分14分）

已知,为锐角，

tan

4，cos（）5．

35

（1）求cos2的值；

（2）求tan（）的值．

17．（本小题满分14分）

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40，点P到MN的距离为50．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为

△CDP

，要求

A,B均在线段MN上，

C,D均在圆弧上．设OC

与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin的

取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、

乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:

3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（本小题满分16分）

（3,）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1

2

，焦点

F1（3,0）,F2（3,0）

，圆O的直径为

F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于求直线l的方程．

A,B两点．若

△OAB

的面积为26，

7

19．（本小题满分16分）

记f（x）,g

（x）

分别为函数

f（x）,g（x）

的导函数．若存在

x0R，满足

f（x0）

g（x0）且

f（x0）

g（x0），则称

x0为函数

f（x）

与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：

函数

f（x）

x与g（x）

x22x

2不存在“S点”；

（2）若函数

f（x）

ax2

1与g（x）lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数

f（x）

x2a，

g（x）

bexx

．对任意a

0，判断是否存在

b0，使函

数f（x）与g（x）在区间（0,）内存在“S点”，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设{an}是首项为

a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为

b1，公比为q的等比数列．

*

（1）设a1

0,b1

1,q

2，若

|an

bn|

b1对n

1,2,3,4

均成立，求d的取值范围；

（2）若

a1b1

0,m

N,q

（1,m2]

，证明：

存在dR，使得

|anbn|

b1对

n2,3,,m

1均成立，并求d的取值范围（用

b1,m,q表示）．

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：

本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．

1．{1，8}2．23．904．8

5．[2，+∞）6．3

10

7．π

6

8．2

24

9．10．

23

11．–312．3

13．914．27

二、解答题

15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．

证明：

（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C．

（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B．

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．

因为AB1平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．

解：

（1）因为

tan

4，tan

3

sin

cos

，所以

sin

4cos．

3

因为sin2

cos2

1，所以

cos29，

25

因此，

cos22cos2

17．

25

（2）因为

为锐角，所以

（0,π）．

又因为

cos（）

5，所以

5

sin（）1cos2（）

25，

5

因此tan（）2．

因为tan

4，所以

tan2

2tan24，

31tan27

因此，

tan（）tan[2（）]

tan2tan（）2．

1+tan2tan（）11

17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．

解：

（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40coθs（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为1

2

×2×40cθo（s

40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．

令∠GOK=θ，则sinθ=1，θ∈（0，π

000）．

46

当θ∈[θ0，π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，2

所以sinθ的取值范围是[1

4

，1）．

答：

矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[1

4

，1）．

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π）．

2

设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π），

2

则f′（）cos2

sin2

sin（2sin2

sin1）（2sin1）（sin1）．

，

令f′（）=0，得θ=π

6

当θ∈（θ0，πf′（）>0，所以f（θ）为增函数；

）时，

6

当θ∈（π，π）时，

f′（）<0，所以f（θ）为减函数，

62

因此，当θ=π时，f（θ）取到最大值．

6

答：

当θ=

π

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

6

18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、

直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．

解：

（1）因为椭圆C的焦点为

F1（

3,0）,F2（3,0），

x2y21

可设椭圆C的方程为

221（ab

ab

0）．又点

（3,）在椭圆C上，2

311,

2

a4,

2

所以a24b2

，解得

22

ab3,

b1,

2

因此，椭圆C的方程为x

4

y21．

因为圆O的直径为

22

2

2

00

F1F2，所以其方程为xy3．

（2）①设直线l与圆O相切于

P（x

y）（x

0,y

0），则x

y3，

0000

所以直线l的方程为y

x0（xx）

y，即y

x0x3．

2

xy21,

由4

00

y0

，消去y，得

y0y0

yx0x3,y0y0

2

（4x0

22

y0）x

24x0x

2

364y0

0．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以（

2

24x0）

2

4（4x0

22

y0）（364y0）

22

48y0（x0

2）0．

因为x0,y0

0，所以x0

2,y01．

因此，点P的坐标为（2,1）．

②因为三角形OAB的面积为26

7

，所以

1ABOP

2

2642

7，从而AB7．

设A（x1,y1）,B（x2,y2），

由（*）得x

24x0

48y0

22

（x0

2），

1,222

2

2

2（4x0y0）

2

所以AB

（x1

x2）

（y1y2）

222

（1x0）

y2

48y0

（4x

（x0

2y

2）．

2）2

000

2

2

00

因为x

y3，

0

2

0

所以AB

16（x2

2）32，即

2x0

42

45x0

1000，

0

解得x2

（x2

0

5（x2

1）2

20

49

0

舍去），则y2

1

，因此P的坐标为（

10,

2）．

2222

综上，直线l的方程为y5x32．

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．

解：

（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得

2

xx2x

2，此方程组无解，

12x2

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．

（2）函数

（fx）

ax21，

g（x）lnx，

则f（x）

2ax，g（x）1．

x

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得

2

ax01lnx0

1，即

ax01lnx0

2

2

，（*）

2ax0

x0

2ax01

得lnx0

1，即

x0e

1

．

1

2，则a1e

2

2（e

2）22

e

当a时，x0

2

1

e2满足方程组（*），即

x0为f（x）与g（x）的“S”点．

因此，a的值为e．

2

（3）对任意a>0，设

h（x）

x33x2

axa．

因为h（0）

a0，h

（1）13aa

20，且h（x）的图象是不间断的，

所以存在

x0∈（0，1），使得

h（x0）0，令b

2x3

0

x

，则b>0．

函数f（x）

x2a，g（x）

bex

，

x

e0（1

x0）

则f′（x）2x

，g′（x）

bex（x

x2

1）．

由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得

x

2

xabe

x，即

bex（x1）

2x2

x2a

2xx

2x3

0

ex0（1

0

2x3

e

x

x0）x

ex（x1）

2

（**）

xe0（1x0）x

此时，

x0满足方程组（**），即

x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S

点”．

因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．

解：

（1）由条件知：

an

（n1）d,bn

2n1．

因为|an

bn|

b1对n=1，2，3，4均成立，

即|（n

1）d

2n1|

1对n=1，2，3，4均成立，

即11，1d3，32d5，73d9，得7d5．

因此，d的取值范围为

32

75

[,]．

32

（2）由条件知：

ab（n1）d,bbqn1．

n1n1

若存在d，使得

|an

bn|

b1（n=2，3，·，m+1）成立，

即|b（n1）dbqn1|b（n

2,3,,m

1），

111

即当n

2,3,,m

n1

1时，d满足q

2

bd

n1

qb．

11

n1n1

m

n

m

1

因为q（1,2]，则1qq2，

b

b

n1n1

从而q

20，q

0，对n

2,3,,m

1均成立．

1

1

n1n1

因此，取d=0时，

|an

bn|

b1对n

2,3,,m

1均成立．

n

1

下面讨论数列{q2}的最大值和数列

n1

q

{}的最小值（n2,3,,m

1）．

n1

①当2nm时，，

nn1

n（n1）

n（n1）

当1q

1

2m时，有qnqm

2，从而

n

n（q

n1n

q）q

20．

因此，当2nm

}

n1

n1

1时，数列{q

n

m

2

单调递增，

}

1

故数列{q

x

n

2的最大值为

x

1

q2．m

②设f

（x）

2（1

x），当x>0时，

f（x）

（ln21

xln2）20，

所以f（x）单调递减，从而f（x）

n

q

1

n1

当2nm时，n

q（n1）

2n（11）

1

f（）1，

qnnn

因此，当2

n1

nm1时，数列

n1

q

{}单调递减，

故数列

n1

q

m

q

n1

{}的最小值为．

n1m

b（qm2）bqm

因此，d的取值范围为[1,1]．

mm

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

A.[选修4—1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，

过P作圆O的切线，切点为C．若PC23，求BC的长．

B.[选修4—2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

23

已知矩阵A．

12

1

（1）求A的逆矩阵A；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P（3,1），求点P的坐标．

C.[选修4—4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，直线l的方程为

被曲线C截得的弦长．

sin（π

6

）2，曲线C的方程为4cos，求直线l

D.[选修4—5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2

y2z2的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

12n

st

23．（本小题满分10分）

设nN*

，对1，2，·，n的一个排列

iii，如果当s

则称（is,it）

是排列

i1i2

in的一个逆序，排列

i1i2

in的所有逆序的总个数称为其逆序

数．例如：

对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆

序数为2．记

fn（k）为1，2，·，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求

f3

（2）,

f4

（2）的值；

（2）求

fn

（2）（n

5）的表达式（用n表示）．

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

A.[选修4—1：

几何证明选讲]

本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：

连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．

2

又因为PC=23，OC=2，

2

所以OP=PC

O