日照一模理数日照市届高三第一次模拟考试数学试题理及答案.docx
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日照一模理数日照市届高三第一次模拟考试数学试题理及答案
2015年高三模拟考试
理科数学
2015.03
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置:
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合
A.B.C.D.
2.已知复数是实数,则实数t等于
A.B.C.D.
3.已知命题,则
A.p是假命题:
B.p是假命题:
C.p是真命题:
D.p是真命题:
4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示,则其俯视图不可能为
①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.
中的
A.①②B.②③
C.③④D.①④
5.已知x,y满足的最大值是最小值的4倍,则的值是
A.B.
C.D.4
6.运行如右图所示的程序框图,则输出的结果S为
A.1008B.2015
C.1007D.
7.已知函数是函数的导函数,则的图象大致是
8.已知函数则满足的实数a的取值范围是
A.B.C.D.
9.在等腰三角形ABC中,AB=AC,D在线段AC上,AD=kAC(k为常数,且),BD=l为定长,则△ABC的面积最大值为
A.B.C.D.
10.已知定义域为R的奇函数的导函数为,当时,,若,则的大小关系正确的是
A.B.C.D.
第II卷(共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.若双曲线的离心率为2,则________.
12.设随机变量,则______.
13.如右图,在中,若_.
14.学校体育组新买2个同样篮球,3个同样排球,从中取出4个发放给高一4个班,每班1个,则共有______种不同的发放方法.
15.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为_________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.
16.(本小题满分12分)
已知函数的最大值为2,且最小正周期为.
(I)求函数的解析式及其对称轴方程;
(II)若的值.
17.(本小题满分12分)
在如图所示的空间几何体中,平面平面ABC,是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上.
(I)求证:
DE//平面ABC;
(II)求二面角的余弦值.
18.(本小题满分12分)
学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):
规定若满意度不低于98分,测评价该教师为“优秀”.
(I)求从这10人中随机选取3人,至多有1人评价该教师是“优秀”的概率;
(II)以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选3人,
记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)
已知数列中,
(I)求证:
数列是等比数列;
(II)若是数列的前n项和,求满足的所有正整数n.
20.(本小题满分13分)
已知函数,其中e为自然对数的底数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)若对任意,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(III)试探究当时,方程的解的个数,并说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知椭圆,其中为左、右焦点,O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时,原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为.
(I)求椭圆C的方程;
(II)以OP,OQ为邻边做平行四边形OQNP,当平行四边形OQNP面积为时,求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值;
(III)若抛物线为焦点,在抛物线C2上任取一点S(S不是原点O),以OS为直径作圆,交抛物线C2于另一点R,求该圆面积最小时点S的坐标.
2015年高三模拟考试
理科数学参考答案与评分标准2015.03
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
DABBBDADCA
1.解析:
答案D,.故选D.
2.解析:
答案A,求出z1·的虚部,令其为0.∵复数z1=3+4i,z2=t+i,
∴z1•=(3t+4)+(4t﹣3)i,∵z1•是实数,∴4t﹣3=0,∴t=.故选A.
3.解析:
答案B,由得即,显然无解,所以p是假命题,又由含量词命题的否定易得p:
.故选B.
4.解析:
答案B,若俯视图为正方形,则正视图中的边长3不成立;若俯视图为圆,则正视图中的边长3也不成立.
5.解析:
答案B,
先画出,满足的可行域如右图:
由 ,得B(1,1),由,得C(a,a),当直线过点B(1,1)时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点C(a,a)时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以a=,故选B.
6.解析:
答案D,
由程序框图可知.所以选D.
7.解析:
答案A,本题可用排除法,∵f(x)=x2+sin(+x),∴=x+cos(+x)=x﹣sinx.∴函数为奇函数,故B、D错误;又,故C错误;故选A.
8.解析:
答案D,当时,,解得,此时;
当时,,解得,此时.
故实数的取值范围是.故选D.
9.解析:
答案C,如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设,,即整理得:
,即,∴.故选C.
10.解析:
答案A,利用条件构造函数h(x)=xf(x),∴h′(x)=f(x)+x•f′(x),∵y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数,当x>0时,h'(x)=f(x)+x•f′(x)>0,∴此时函数h(x)单调递增.∵a=f()=h(),b=﹣2f(﹣2)=2f
(2)=h
(2),c=(ln)f(ln)=h(ln)=h(﹣ln2)=h(ln2),又2>ln2>,∴b>c>a.故选A.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.;12.0.2;13.;14.10;15..
11.解析:
答案,由题意知=2,(a>0),由此可以求出a的值.
12.解析:
答案0.2,因为,所以正态分布曲线关于y轴对称,又因为,所以.
13.解析:
答案,
因为,所以=7.
14.解析:
答案10,分1个篮球个排球和2个篮球2个排球两种情况..
第(15)题图
15.解析:
答案,每次转动一个边长时,圆心角转
过60°,正方形有4边,所以需要转动12次,回到起点.在
这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的
2次,点走过的路径的
长度=+=.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.
16.解析:
(Ⅰ),
由题意知:
的周期为,由,知………………………………………………………2分
由最大值为2,故,又,
∴………………………………………………………………………………………………………4分
令,解得的对称轴为……………………………………6分
(Ⅱ)由知,即,
∴……………………………………………10分
………………………………………………………………12分
17.解析:
(Ⅰ)证明:
由题意知,,都是边长为2的等边三角形,取中点,连接,则,,
又∵平面⊥平面,∴⊥平面,作⊥平面,
那么,根据题意,点落在上,
∴,易求得,
∴四边形是平行四边形,∴,∴平面
…………6分
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,可知平面的一
个法向量为,,,,
设平面的一个法向量为,
则,可求得.………………9分
所以,
又由图知,所求二面角的平面角是锐角,
所以二面角的余弦值为.……12分
(18)解:
(Ⅰ)设表示所取3人中有个人评价该教师为“优秀”,至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件,则……………6分
(Ⅱ)的可能取值为0、1、2、3,
;;
;.
分布列为
……………10分
.……………12分
注:
用二项分布直接求解也可以.
19.解:
(Ⅰ)设,
因为==,
所以数列是以即为首项,以为公比的等比数列.………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即,
由,得,
所以,
……10分
显然当时,单调递减,
又当时,>0,当时,<0,所以当时,<0;
,
同理,当且仅当时,>0,
综上,满足的所有正整数为1和2.……………………………………………12分
20.解:
(Ⅰ)依题意得,
,
所以曲线在点处的切线方程为
………………………………………4分
(Ⅱ)等价于对任意,.
设,.
则
因为,所以,
所以,故在单调递增,
因此当时,函数取得最小值;
所以,即实数的取值范围是.10分
(Ⅲ)设,.
当时,,所以函数在上单调递减,故函数在至多只有一个零点,
又,而且函数在上是连续不断的,
因此,函数在上有且只有一个零点.13分
21.解析:
(Ⅰ)直线的倾斜角为,,直线的方程,
,,为椭圆上任一点,
==≥,,
当时,,,,
椭圆的方程..………………………5分
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,则,
由在椭圆上,则,而,则,
第(21)题图
知=.
当直线的斜率存在时,设直线为,代入
可得
,
即,
,即,
,,
化为,,
得到,,则,满足,
由前知,,
设M是ON与PQ的交点,则
,当且仅当,
即时等号成立,
综上可知的最大值为.
=2的最大值为5.………………………10分
(Ⅲ)因为以为直径的圆与相交于点,所以∠ORS=90°,即,
设S(,),R(,),=(-,-),=(,),
所以,
因为,,化简得,
所以,
当且仅当即=16,y2=±4时等号成立.
圆的直径|OS|=,
因为≥64,所以当=64即=±8时,,
所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8)..……………………14分
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