排列组合二项式定理与概率统计.docx
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排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计
重点知识回顾
1.排列与组合
⑴分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理和分步有关,分类计数原理与分类有关
求共有多少种方法的
⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,
⑶排列与组合的主要公式
An=n!
=n(n—1)(n—2)
2•1.
②组合数公式:
cm
n!
n(n
1)
(nm1)(m m! (nm)! m (m 1)21 ③组合数性质: ①cm ㈡m(m ②c0c;cn2c;2n ③CnCn c4 Cn c1c3 CnCn 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a+b)n=C0an +cnan—1 r b+…+Cnanrbr +… +c nbn,其中各项系数就是组合数cn ,展开式共有n+1项,第 r— r+1项是Tr+1=Cnanrbr. ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项Tr+1=cnan—rbr(r=0,1,…叫)做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 1在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即cn=cnr(r=0,1,2,…,n). Cn2=Cn2 项和第n3项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 2 3所有二项式系数和等于2n,即C0+c1+C2+…+cn=2n. 4奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和, 即Cn+cn+…=cn+cn+…=2n1. 3.概率 (1)事件与基本事件: 随机事件: 在条件ST,可能发生也可能不发生的事件事件诒宀击”不可能事件: 在条件ST,一定不会发生的事件 确定事件 必然事件: 在条件ST,一定会发生的事件 基本事件: 试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件;一次试验等可能的产生一个基本事件;任意两个基本事件都是互斥的;试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示. (2)频率与概率: 随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动,且随着试验次数的不断增加而变化,摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数,不随具体的实验次数的变化而变化. (3) 互斥事件与对立事件: 几何概型: 每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例. 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的,但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个,而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个. (5)古典概型与几何概型的概率计算公式: 古典概型的概率计算公式: P(A) A包含的基本事件的个数基本事件的总数 几何概型的概率计算公式: P(A) 构成事件A的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积) 两种概型概率的求法都是“求比例” ,但具体公式中的分子、分母不同. (6)概率基本性质与公式 1事件A的概率P(A)的范围为: 0 2互斥事件A与B的概率加法公式: P(AUB)P(A)P(B). 3对立事件A与B的概率加法公式: P(A)P(B)1. (7)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) =CnPk(1—P)nk.实际上,它就是二项式[(1—p)+p]n的展开式的第k+1项• (8)独立重复试验与二项分布 1•一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验•注意这里强调了三点: (1)相同条 件; (2)多次重复;(3)各次之间相互独立; 2.二项分布的概念: 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)C: pk(1p)nk,(k0,1,2,L,n)•此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 三、考点剖析 考点一: 排列组合 1、解排列组合题的基本思路: 1将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合应用题的关键一步 2对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法; 3是用“直接法”还是用“间接法”解组合题,其前提是“正难则反”; 2、解排列组合题的基本方法: 1优限法: 元素分析法: 先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法: 先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2排异法: 对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。 3分类处理: 某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类计数原理得出结论;注意: 分类不重复不遗漏。 4分步处理: 对某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决;在解题过程中, 常常要既要分类,以要分步,其原则是先分类,再分步。 5插空法: 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 6捆绑法: 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后 再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列。 7穷举法: 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;这种方法常用于方法数比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现,难度属中等。 例1、12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是() A.B.C8XC.D.CsA2 例2、12.如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种一种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法种数为 (A)96(B)84 (C)60(D)48 例3、某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成•如果第一棒火炬手只能从 甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有种.(用 数字作答) 考点二: 二项式定理 【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题。 对二项式定理的考查主要有以下两种题型: 1、求二项展开式中的指定项问题: 方法主要是运用二项式展开的通项公式; 2、求二项展开式中的多个系数的和: 此类问题多用赋值法;要注意二项式系数与项的系数的区别;【命题规律】 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现,多为课本例题、习题迁移的改编题,难度不大,重点考 查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。 为此,只要我们把握住二项式定理及其系数性质,会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决,就可顺利获解。 8 例4、设(1x)a0a-|XL 8 agx,则a°,a1,L且中奇数的个数为( 例6、在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中,含x4的项的系数是 (A)-15(B)85(C)-120(D)274 例7、若(x+')n的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中x4项的系数为 2x (A)6(B)7(C)8(D)9 考点三: 概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了 考查。 掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】 (1)概率统计试题的题量大致为2道,约占全卷总分的6%-10%,试题的难度为中等或中 等偏易。 (2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加 工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息贴近学生实际的问题。 这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原 排列组合二项式定理与概率统计 课后练习 一、选择题(每题5分,共60分) 1.某房间有四个门,甲要进、出这个房间,不同的走法有多少种? A.12 B .7C.16 D.64 2•若二项式 (.x 2n )n的展开式的第 x 5项是常数项,则自然数 n的值为 () A.6 B.10 C.12 D.15 3•一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为 () 7 3 1 1 A B. C. D. 8 8 8 3 4•要完成下列2项调查: 1从某社区125户高收入家庭,280户中等收入家庭,95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标; 2从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况. 应采用的抽样方法是() A•①用随机抽样法②用系统抽样法 B•①用分层抽样法②用随机抽样法 C•①用系统抽样法②用分层抽样法 D.①、②都用分层抽样法 5.设两个独立事件A和E都不发生的概率为件A发生的概率P(A)是 1 -,A发生E不发生的概率与E发生A不发生的概率相同,则事 9 () 2 1 1 2 A.-B. — C. — D.— 9 18 3 3 6.有一名冋学在书写英文单词“ error”时, 只是记不清字母的顺序, 那么他写错这个单词的概率为 () 119 9 19 1 A. B.— C. D.— 120 10 20 2 7•从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行。 则每人入选的概率 251 A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为D.都相等,且为— 100240 &(理科做)已知随机变量满足E=2,则E(2+3)=() A.4B.8C.7D.5 &(文科做)将容量为100的样本数据,按由小到大排列分成8组如表: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 14 15 13 12 9 第3组的频率和累积频率为() A.0.03和0.06B.1和1C.0.14和0.37D.3和6 14371437 9.将9个人(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为 A.70B.140C.280D.840 10.某人制定了一项旅游计划,从7个旅游城市中选择5个进行游览。 如果A、B为必选城市,并且在游览过 程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市(A、B两城市可以不相邻),则有不同的游览线路 () B.240种 D.600种 A.120种 C.480种 11.下表是高考本科第一批填报的志愿表,第一志愿1个,第二志愿4个(第二志愿4所学校为并列关系,不 存在先后),每所学校只能填2个专业。 现已选5所重点院校,每所院校有2个专业是你较为满意的选择。 如果规定填满表格,且学校没有重复,专业也没有重复,不同的填法有 、填空(每题4分,共16分) 13.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次摸出的 球恰好颜色不同的概率为 14•一个田径队,有男运动员56人,女运动员42人比赛后,立即用分层抽样的方法,从全体队员中抽出一个容 量为28的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽人. 15•有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛,决出了第一到第五的名次,A、B两位同学去问 成绩,老师对A说: “你没能得第一名”•又对B说: “你是第三名”,从这个问题分析,这五人的名次排列 共有种可能(用数字作答) 16•为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2001年至2003年使用纸质饭盒的 所有快餐公司进行了调查,根据下列图表提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个. 三、解答题(6小题,共74分) 17.(本题满分12分)甲、乙两支足球队90分钟踢成平局,加时赛30分钟后仍成平局。 现决定每队各派5名 队员,每人射一个点球来决定胜负,设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5。 (I)若不考虑乙队,求甲队仅有3名队员点球命中的概率; (n)求甲、乙两队各射完5个点球后,再次出现平局的概率。 231 18.(本题满分12分)在某次考试中,甲、乙、丙三人合格(互不影响)的概率分别是,,,考试结束 543 后, (1)出现3人都合格的概率是多少? (2)最容易出现几人合格的情况? 19.(本题满分12分)(理科做)皮划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速 度(m/s)的数据如下: 甲: 27,38,30,37,35,31.乙: 33,29,38,34,28,36.根据以上数据,试判 断他们谁更优秀 19.(本题满分12分)(文科做)已知甲、乙、丙三个车间一天内生产的产品分别是150件、130件、120件。 为了掌握各车间产品质量情况,从中取出一个容量为40的样本,该用什么抽样法? 简述抽样过程 20.(本题满分12分)甲口袋中有大小相同的白球3个,红球5个;乙口袋中有大小相同的白球4个,黑球8 个,从两个口袋中各摸出2个球,求: (I)甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率; (n)两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率. 21.(本小题满分12分)某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、2 件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通 过。 (I)求第一天通过检查的概率;(II)求前两天全部通过检查的概率; 21.(本题满分12分)为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平,让他们各向目标靶射击10次,其中甲击 中目标7次,乙击中目标6次。 若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次, 求: (I)甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少? ((II)(文科做)乙至少击中一次目标的概率是多少?
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