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两角和与差公式.docx
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两角和与差公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础知识・自主学习
n知识梳理
i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(a—3=cosacos3+sin«sin3(C(a3)
cos(a+3=cos_acos_3—sin_ocsin…3(C(a+^)
sin(a—3=sin_ocos_3—cos_asin_3(S(a—3)
sin(a+3=sin_ocos_3+cos_asin_3(S(a+3)
tana—tan3十
tan(a—3=:
;(T(a—3))
1+tanatan3
一tana+tan3,十
tan(a+3=~I?
"(T(a+3))
1—tanatan3
2•二倍角公式
sin2a=2sin_久cos_a;
2.22・2
cos2a=cosa—sina=2cosa—1=1一2sina;
-2tana
tan2a=.
1—tana
逆用和变形
3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:
如公式的正用、
用等.如T(引可变形为
tana±an3=tan(a±®(1?
tan_atan__®,
tana+tan3tana—tan3,
tanaan3=1—=—「
“tan(a+3)tan(a—3)
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)
(1)存在实数a,3,使等式sin(a+3)=sina+sin3成立.(V)
⑵在锐角厶ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(X)
3),且对任意
(3)公式tan(a+3)=tana+tan3可以变形为tana+tan3=tan(a+3)(1—tanaan
1—tanaan3
角a,3都成立.(X)
⑷存在实数a,使tan2a=2tana(V)
⑸设sin2a=—sina,a€(才,n,则tan2a=,3.(V)
考点自测
1.(2013浙江)已知
a€R,Sina+2COSa=冷0,贝Vtan2a等于()
4
A・3
33
B.4C—4
答案
解析
'•Sina+2cos
10
a=〒,
.2:
•sina+4sinocosa+4cos
25
ia=2・
化简得:
4sin2a=—3cos2a,
sin2a3,,•an2a=co?
2r—7故选C.
Sina+cosa1,
=2贝ytan2a等于()
a—COSa
4
D.4
答案
解析
sina+cosa由
sina—cosa
1tana+11
1等式左边分子、分母同除cosa得,=~,解得tana=—3,
2tana—12
则tan
2a=^f=3・
1—tana4
3.(2013课标全国n)设B为第二象限角,若
tan(0+:
=?
,贝Vsin0+cos0=
答案
10
5
解析
'•tan
•an0=—3
3sin0=—cos0,即
Isin20+cos20=1,
且B为第二象限角,
解得sin0=£°,
cos
_3何
0=—10.
•'sin0+cosA—4.(2014课标全国n)函数f(x)=sin(x+2册—2sin$cos(x+妨的最大值为
答案1
解析・.f(x)=sin(x+2册—2sin(j)cos(x+册
=sin[(x+册+册—2sin(jcos(x+妨
=sin(x+©cos0+cos(x+©sin2singos(x+⑥
=sin(x+©cos©—cos(x+©sin©
=sin[(x+©—©=sinx,
••f(x)的最大值为1.
题型分类・深度剖析
题型一三角函数公式的基本应用
tan(a+B)的值为()
例1
(1)设tana,tanB是方程x2—3x+2=0的两根,
C.1D.3
nnn、1
⑵右o c°s(: —弓=F,则cos(a+f)等于() A. 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由根与系数的关系可知 tana+tanB=3,tandanf=2. tana+tanB3 •'tan(a+f)===—3. 1—tandanB1—2 故选A. (2)cos(a+ nnB =cos[(4+a)—(4—2)] n、zn3n、.,nB =cosq+acos(4—2)+sin£+a)sin(4—呂). n ••0va<2, nn3n则右+av&, •■sin(: +a=欝. 则n 则4422, n卫6则sin(4-2)=苜. 故曲+护1丿押冷=攀故选C. 思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、 差、倍、互补、互余等关系. 解析 ntana+11 (1): tan(a+-)==1, 41—tana7 •'tan 3sina a=—4=COsa, •'COSa=-|sina F..・22 乂・Sina+COSa=1,•-S^a=25. n3 又=€(2,n,/sina=5. cos100sin20 2sin10「sin10 cos10°2sin20 2sin10° cos10°2sin30。 一10° 2sin10° cos10°2sin30c6s10+2cos30s°10 2sin10° 题型二三角函数公式的灵活应用 例2 (1)sin(65°x)cos(x—20°)+cos(65°—x)cos(110°—x)的值为() A.2 b¥ C.1 ⑶求值: cos15半sin15 cos15—sin15 1 答案 (1)B⑵? cos2x(3),3 解析 (1)原式=sin(65°x)cos(x—20°+cos(65°x)cos[90°—(x—20°]=sin(65°x)cos(x— 20°+cos(65-x)sin(x—20—sin[(65-x)+(x—20—=sin45缚故选B. 『222 (2cosx—1)=cos22x nnn 4sin]—xcos4—x2sin2x 2c’ cos2x1==-cos2x. 2cos2x2 1+tan15°tan45丰tan15 (3)原式== 1—tan15°1—tan45tan15 =tan(45牛15°)=■.3. 思维升华运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用 及变形,如tana+tan3=tan(a+3(1—tanatan3和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 答案 (1)cosa (2)3 2a八・aaa.a (2cos2+2sintcost)(cos,一sin^解析⑴原式=——22222 寸4cos2a a 因为aqo,n,所以cosyo, 2aaaaa 2cos2+2sin^cos^-cos2—sin§所以原式= a 2cos^ =.3, 所以tanA+tanC+,3tanAtanC 题型三三角函数公式运用中角的变换 1 又Ttan(a—3)=—3<0, n 2 xH0W10 •■sin(a—3)=—肓,cos(a—3)=^^. 34 '.a为锐角,sina=5,「・COSa=5. •'cos3=cos[a—(a—®]=cosa;os(a—3+sin久sin(a—3)=X远+x(—血)=更 n 4 2 510+5'10)50. /、1+cos2 2ini ⑵因为cosa+4= (n 1 “所 +cosa+21—sin2a a—3 2=( 3a“ a+^)-(^+3等. 踉踪训缚 ■3 (1)设a、3都是锐角,且cosa=£5,sin(a+3=3贝"cos3等于() 55 A技5 A.25 B.5 3或 C.25或 D.f唏 5525 (2)已知( cos(a-6)+sina=g\/3,贝Usin(a+77)的值是 答案(1 4 )A (2)-4 5 解析(1 )依题意得sina='1—cos2a=, COS(a+3 3=±1—sinia+3=±5. 又a,3 均为锐角,所以0cos(a+3)• 因为5>- 54 >—— 55, 所以cos 4 ;(a+®=—5. 于是cos ;3=cos[(a+3)—a =COS(a- 卜3cosa+sin(a+3sina 一4X 5 叵3X2萌疵 5+5525. (2)'-Cos( n4 a—6)+sina=5」3, •鱼 --2cos 3.4;.- a+^sina=5冯3, .3(2cos 3.\4Q a+2sina=5.3, 3sin(6- 卜a=43, ・zn 「sin(6+ “)=5, •*sin(a+ 7nn、4 孕=-siPi©-a=—5. 高频小考点 高考中的三角函数求值、化简问题 2cos2#-sin0-1 典例: ⑴若tan20=—22,n<0<2n,则 —n 2sinB+4 n (2)(2014课标全国I)设a€(0,^),3€(0, n 2),且tan 1+sin3,、 a=盂頁则() A.3a—3=2 B.2a— n 3=2 D・2a+ n C.3a+3=2 ⑶(2012大纲全国)已知a为第二象限角, sina+cos a=_33,^cos2a等于() A•-于B--专晡D^ a与sinacosa的联系. ⑶可以利用sin2a+cos2a=1寻求sina±cos ⑷利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化. “,cos0—sin01—tan0 解析 (1)原式==: sin0+cos01+tan0 2tan0 又tan20=—=—22,即2tan20—tan0-.2=0, 1—tan20 n •'2<0n: .an 1 0=—.2, 故原式= 丄 —=3+22. 1—.2 '■'n<2<2n, 1+si口sina1+sinB ⑵由tana='得= cospcosacosp 即sino(cosp=cosa+cosainp —nnn_亠n •■-a—pq-2,2),2—aC(0,2), •••由Sin(a—p=sin(2—a),得a—P=2—a, cn •'2a—p=夕 n3 •2kn+2 3 •4kn+n<2x<4kn+2n(k®), •2a为第三象限角, •「a为第二象限角,••sina>0,cosa<0, •Sina—cosa= P(sina—cosa$ =1—2sin acosa= 15 3 sina+COSa=令,由3 sina—COSa=于, .3+15sina= 6 得 3一15 COsa=6 •'COS2a=2COSa—1=—~~. 3 cos17 sinf30°+17°—sin17cOs30(4)原式= sin30cOs17+cos30s°17—sin17cOs30cos17° 答案 (1)3+22 (2)B(3)A(4)C 温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式. (2)三角求值 要注意角的变换,掌握常见的配角技巧. 思想方法-感悟提高 方法与技巧 1.巧用公式变形: 和差角公式变形: tanx±any=tan(x±y)(1? tanxtany);倍角公式变形: 降幕公式cos2a= 1+cos2a 2 sina= 1—cos2a 2 配方变形: 1±;ina= 2a 1+cosa=2cos2, 2a 1—cosa=2sin2・ 次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. J2 2.在(0,n范围内,Sin(a+所对应的角a+B不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值 练出高分 组专项基础训练 (时间: 30分钟) 2 1.已知tan(a+3=5,tan n1 4=4, 那么tan a才丿等于() a.^8 18 b.13c.22d.6 22226 答案 2.若 0€ n [4, n 2], sin20=,贝Vsin0等于( 8 3 4 7 3 代3 B.4 C -4 d・4 答案 D ) 解析由sin20=討7和sin20+cos20=1得 2 (sin0+cos0)= 3一V73 同理,sin0-cos0=丁,.30=2 3.已知tana=4,则 2 1+cos2a+8sin sin2a a的值为( A.4.3 65 D. 答案B 222 1+cos2a+8sina2cosa+8sina解析= sin2a2sinacosa cos40 -n 已知cos(x—6)=— 4.(2013重庆)4cos50-tan40等于() A.2 2+, B.2 C.3 D.22—1 答案 C 解析 4cos50°—tan40° 4sin40cos40—sin40 cos40° 2sin80-sin40°2sin50°+30°—sin40 解析 cosx+cos(x— 3)= 1血.3 cosx+? cosx+~sinx=? cosx+ 1 cosx+§sinx)=,3 宁sinx= n cos(x—6)=—1・ 1—cos90°+10°1+sin10°1 21+sin10°21+sin10°2. 7.已知aB均为锐角,且cos(a+3=sin(a—B),贝Utana=答案1 解析根据已知条件: cosacos3—sinasin=sinacoscosasin3 cosBcosa—sina)+sinBcosa—sina)=0, 即(cos3+sin3(cosa—sina)=0. 又a、3为锐角,则sin+cosB>0, •'cosa—sina=0,—tana=1. Vptan12—3 8.4cos212°—2sin12 答案—4,3 解析 原式= -3 cos12 2o 22cos12°—1sin12 2.3*sin12—"^cos12° cos12° 2cos24s°n12° 2,3sin—48°—2,3sin48 2cos24sin12c6s12=sin24cbs24 —2,3sin48 ^sin48 =—43. 9.已知 1+sina ;1—sina 1—sina 41+sina 2tan a, 试确定使等式成立的 a的取值集合. |1+sina|1—sina| 1+sina—1+sina —|cosa 2sina —|cosa, 2sina2sina 所以一一2tana——. |COsaCOsa 所以sina—0或|cosa=—cosa>0. n3n 故a的取值集合为{aa—kn或2kn+^ 」i'n'n.aav6 10.已知a2,n,且sin2+cos2—芬. (1)求cosa的值; ⑵若sin(a—®=—3,沃牙,n求cosB的值. 解⑴因为sin0°+cos扌一于, 1 两边同时平方,得sina—2. nn ⑵因为2 nnn 所以一n<—仟—,故一2 34 又sin(a—B—一匚,得cos(a—B—. 55 cosB—cos[a—(a—®]—cosacos(a—B)+sin久sin(a—B)--今-5+八3--害 B组专项能力提升 (时间: 25分钟) 2 n1n 11.已知tan(a+4)—2,且—2 2sina+sin2a 则厂等于( cosa—4| 鉱C一血D也 10.105 答案A ntana+111 解析由tan(a+-)==;,得tana=_;. 41—tana123 n
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