二次函数在给定区间上的最值问题.docx

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二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题

【学前思考】

二次函数在闭区间上取得最值时的X,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点•因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：

抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我

们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.

【知识要点&例题精讲】

二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：

CaSel、给定区间确定，对称轴位置也确定

说明：

此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数

图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.

解法：

若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内

（i）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；

（ii）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.

例1、二次函数y=χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是.

例2、函数f（X）=-X2+4x-2在区间【0,3】上的最大值是最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f（χ）=χ2+χ+1的最大值是,最小值是

CaSen、给定区间确定，对称轴位置变化

说明：

此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.

解法：

若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求

二次函数y=aχ2∙bx∙c（a=O）在给定区间［p,q1上的最值，需对其对称轴与

给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a0的情形进行分析：

（i）若一AP,即对称轴在给定区间∣p,q1的左侧，贝U函数f（χ）在给定区间

2a

l-P,q］上单调递增，此时［f（X）］max=f（q），［f（X）］min=f（P）；

（ii）若^-―

2a2a

上单调递减，在［_2q］上单调递增，此时［f（X）］min=Cf），［f（x）］maχ=f（P）

2a2a

或f（q）,至于最大值究竟是f（p）还是f（q）,还需通过考察对称轴与给定区间

的中点的位置关系作进一步讨论：

若p<--<-^-q,则［f（x）］max=f（q）；若

2a2

导g,则［f（X）］max=f（P）；

22a

（iii）若-—q,即对称轴在给定区间∣p,q丨的右侧，则函数f（x）在给定区间

2a

lP,q1上单调递减，此时［f（x）］max=f（P）,［f（X）Imin=f（q）.

综上可知，当a0时,

b

f（q）,若

!

2：

f（p）,若-—-

L2a

[f（x）]min=廿（

通过同样的分析可得到：

当a：

：

0时,

f（p）,若

f（q）,若-2aq

f（P）,若

2a

[f（X）]max=

2a2a

f（q）,若-:

b>q

2a

例4、已知χ2<1且a_2,求函数f（χ）=x2∙ax•3的最值•

例5、求函数f（χ）=-χ（χ-a）在区间［-1,1］上的最大值.

例6求函数f（X）=χ2—2ax—I在区间Io,2］上的最大值和最小值.

2

例7、设函数f（χ^x2axb（a,b∙R）,当b=a1时，求函数f（χ）在区4

间1—1,1］上的最小值g（a）的解析式.

2

［解析］函数f（x）=χ2亠ax亠b=χ2亠ax亠a1=（x亠a）2T的图像是开口向上，对称轴为直线x-的抛物线

422

（i）若_?

：

.•/,即a、2

2

此时函数f（X）在［_1,1上单调递增

22

aa

于是g（a）=f（_1）=1.a1a亠2

44

（ii）若.1,即a门

此时函数f（x）在［一1,1上单调递减

22

aa

于是g（a）=f

（1）=1a1a2

44

（iii）若_1≤-∙a≤1,即_2≤a≤2

上单调递减，在［—a,1］上单调递增

2

—2—__

此时函数f（X）在［/,_勺

于是g（a）=f（—日）=1

2

C2aa亠2,a?

2

i4

综上可知，g（a）=1,-2乞a乞2

2

:

七+2,a£-2

4

例8、已知函数f（χ）=χ2mx—1,若对于任意的X［m,m1］,都有f（x）：

：

0成立，则实数m的取值范围是.

CaSeM、给定区间变化，对称轴位置确定

说明：

此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数•解决此类

问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、

内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值•解法：

若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：

变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标•解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.

例9、已知函数f（x>=（x-1f∙1定义在区间∣t,t■1（rR）上，求f（x）的最小值.

例10、已知函数f（x）=x2-2x∙3,当XFlt,t'1（LR）时，求f（x）的最大值.

CaSeIV、与二次函数最值问题有关的综合题型

利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题:

（1）求函数的最值或最值的取值范围；

（2）求函数的解析式；

（3）证明不等式；

（4）求参数的取值范围；

（5）探究参数是否存在；

例11、设函数fX=χ22ax-a-1，Xm∣0,21，a为常数.

（I）求fX的最小值g（a）的解析式；

（II）在（I）中，是否存在最小的整数m,使得g（a）-m辽0对于任意aR均成立.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（I）函数fXl=X2∙2ax-a-1=（x∙a）2-a2-a-1的图像是开口向

上，对称轴为直线X=-a的抛物线

（i）若-a：

：

：

0,即a0

此时函数f（x）的对称轴x=「a不在区间∣0,21上，f（X）在区间∣0,2]上单调递增于是g（a）

（ii）若—a2,即a：

：

：

-2

此时函数f（x）的对称轴X=-a不在区间∣0,21上，f（x）在区间1.0,2]上单调递减于是g（a）=[f（χ）]min=f

（2）=44a-a-1=3a3

（iii）若0_—a乞2,即一2乞a乞0

此时函数f（x）的对称轴x=-a在区间∣0,2上，f（x）在区间IO^aI上单调递

减，在区间∣-a,2I上单调递增

于是g（a）=[f（x）]min=f（-a）—a2-a-1

-a-1,a0

综上可知，g（a）=-a2「a-1厂2乞a乞0

I3a+3,a£—2

（II）要使g（a）-m<0对于任意的a∙R均成立，只需m_［g（a）］max,-a∙R下求［g（a）］maχ

—11—

由函数g（a）的图像可见，g（a）在（_二，一_］上单调递增，在［_—,•：

：

）上单调递减

22

III3

［g（a）］max弋（一；）一（一；）2一

（二）一仁盲

4

于是m__3

4

又mZ

故m的最小值为O

例12、已知函数f（x）=χ2-2aχ∙b（a,b∙R）,记M是If（X）I在区间［0,1］上的最大值.

（I）当b=0且M=2时，求a的值；

1

（U）若M<-,证明0乞a^1.

2

【解析】（I）函数f（x）=x2-2ax■b=（x-a）2-a2b的图像是开口向上，对称轴为直线X=a的抛物线

而函数f（x）的图像是将函数f（x）在X轴上方的图像保持不变、把它在X轴下方的图像翻折上去得到的

（I）当b=0时，函数f（x）=X2-2ax=（x-a）2-a2

（i）若a<0

此时函数f（x）的对称轴x=a不在区间［0,1］上，f（x）在区间［0,1］上单调递增于是M=［∣f（x）］max=maχ{∣f（0）」f（1卩=max{。

1—2a∣}=1—2a=2

—13

=T-2a=2或1-2a--2,即a=…（舍去a=）

22

（ii）若a1

此时函数f（x）的对称轴x=a不在区间［0,1］上，f（x）在区间［0,1］上单调递减于是M=［∣f（x）］max=maχ{∣f（0）」f

（1）}=maxS,1—2a∣}=1—2a=2

3ι

=■1-2a=2或1-2a--2，即a（舍去a=

22

（iii）若OmaEI

此时函数f（x）的对称轴x=a在区间［0,1］上，f（x）在区间IO,a］上单调递减，在

区间la,1］上单调递增于是M=[f（x）]max=maxV（a）,f

（1）}=max{a,1—2a}=2

当a2=2时，<2[0,1],舍去

当1—2a∣=2时，1—2a=2或1_2a=_2=⅛a=—或a=3,均舍去

22

综上可知，a---或a=—

22

1+b—f

（1）1+f（0）—f

（1）If（O）—f

（1）

…a=——

2222

又7MJ

2

于是有-1Ef（0）-f

（1）E1

例13、（2015浙江高考）已知函数f（x）=x2∙aχ∙b（a，b∙R）,记M（a,b）是f（x）在区间∣-1,1上的最大值.

（1）证明：

当a兰2时，M（a,b）32；

（2）当a，b满足M（a,b）辽2时，求a-b的最大值.

【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的

最值问题.解决此类问题的关键是正确理解“M（a,b）是f（x）在区间∣-1,11上的

最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。

2

【解析】

（1）函数f（x）=χ∙ax∙b=（x∙a）2-ab的图像是开口向上，对称

24

轴为直线x=--的抛物线

2

而函数f（x）的图像是将函数f（x）在X轴上方的图像保持不变、把它在X轴下方的图像翻折上去得到的

7»2，即a兰2或a≤—2

.----1或--_1

22

此时函数f（X）的对称轴X=--不在区间∣-1,11上

2

于是函数f（x）在区间1-1,1]上单调

故M（a,b）=[f（x）]max=maχ{f

（1）,f（-1）}=max"+a+b,1-a+b}

1

Kg（1+a+b+∣1—a+b）

1

■■■■：

∣（1ab）-（1-ab）

=12a=a≥2

2

于是a∣+∣b=max{a+b,a—b}=3

又当a=2,b=_1时，冋+冋=3,且If（x）∣=X2+2x_1在区间[—1,1]上的最大值为2,即M（2,—1）=2

故I^Hlbl的最大值为3例14、已知函数f（X）=-x2∙2bx∙c,设函数g（x）=∣f（x）∣在区间［-1,1］上的最大值为M.

（I）若b=2,求M的值；

（U）若M亠k对任意的b,C恒成立，试求k的最大值.

【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解“M是|f（x）∣

在区间〔-1,11上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识.

【解析】函数f（x^-x22bx^-（^b）2IbC的图像是开口向下，对称轴

为直线X=b的抛物线

而函数g（x）=f（x）∣的图像是将函数f（X）在X轴上方的图像保持不变、把它在X轴下方的图像翻折上去得到的

（1）当b=2时，函数f（x）=-X24XC=-（X-2）24c

此时其对称轴X=2不在区间［-1,1］上，f（x）在区间［-1,1］上单调递增

故M=[g（x）]max=[∣f（x）∣]max=maχ{∣f⑴，f（—1）卩=maχ{∣3+c∣,∣-5+申

3c,c1

5-C,21

（2）要使M_k对任意的b,C恒成立，只需k打M]min,一b,cR

下求M的最小值.

g（x）=|f（x）∣=_x2+2bx+c=_（x_b）2+b2+c

（i）若H1,即b■1或b：

：

-1

此时函数f（x）的对称轴X=b不在区间∣-1,11上

■函数f（x）在区间〔-1,11上单调

于是M=[g（x）]max=[∣f（x）∣]max=maχ{∣f

（1）,∣f（T）∣}=maχ{∣T+2b+c∣,∣T-2b+C>

1

c）=?

|4b=2b'>2

11

兰3（—1+2b+c+—1—2b+c）3空|（—1+2b+c）—（―1—2b十

（ii）若b：

≤1,即—1≤b≤1

此时函数f（x）的对称轴x=b在区间I-1,1］上

于是M=[g（X）]max

（1）,f（-1）,f（b）?

_1亠1

①当-^b0时，f

（1）：

：

：

f（一1）：

：

：

f（b）

此时M=max勺鮒）,|迤）卩冷（f

（1）+∣f（b））冷|f⑴-f（b）=耳（-1+2b+c）-（b2+c）

=1b2-2b+1

2

=-（b一1）2一丄，—b[-1,0）

22

（1）-f（b）

1

由（i）,（ii）可知，对任意的b,C,都有M_丄

又当—，W时,

2

g（X）=-X2+2在区间［-1,1】上的最大值为丄,即M

1

故M-k对任意的b，C恒成立的k的最大值为-.

【课后总结】

解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系的讨论•一般分为：

二次函数的对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值•建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。

须知：

函数图像就是指路明灯！

！

！

【习题精练】

B.与a有关，但与b无关

D.与a无关，但与b有关

是m,则M-m（）

A.与a有关，且与b有关

C.与a无关，且与b无关

2

[解析]函数f（x）=χ2∙ax∙b=（x-）2--∙b的图像是开口向上，对称轴为直线X__a的抛物线

242

（i）若一a：

:

-0,即a0

2

此时函数f（χ）在[0,1]上单调递增

于是M=[f（X）]max=f

（1）=1ab,m=[f（x）]m^=f（0^b

=M—m=1■a,与a有关，但与b无关

（ii）若一a.1,即a—2

2

此时函数f（χ）在[0,1]上单调递减

于是M=[f（χ）]max=f（0）=b,m=[f（X）]minrf

（1）=1ab

=■M「m1「a,与a有关，但与b无关

（iii）若0__a：

：

：

1=丄,即_1：

：

：

a乞0

222

此时函数f（χ）在[0,—a]上单调递减，在[-?

1]上单调递增，并且f（0）=b,f⑴=1-「a-「b，b=f（0）

22

2

_aa

于是M=[f（X）]maχ=f

（1）=1ab,m=[f（x）]mm=f（）b

24

2

=■M「m=aa■1,与a有关，但与b无关

4

（iv）若_一旦_1,即_2乞a乞-1

222

此时函数f（χ）在[0,-a]上单调递减,在[-a,1]上单调递增,并且f（0）=b,f

（1）=1abEb=f（0）

22

2

aa

于是M=[f（X）]maχ=f（0）=b,m=[f（X）]min=f（）b

24

2

=■M-m=—,与a有关，但与b无关

4

一1-a,aC-2

2

—,—2ι≤a兰—1

综上可知，M-m=24,与a有关，但与b无关

’+a+1,Tca兰0

4

1+a,a>0

4、已知函数f（x）=-X2+ax+b2-b+1（a,b^R）对任意的实数x，都有

f（1-X）=f（1∙x）成立.若当X∣-1,11时，f（x）0恒成立，则b的取值范围是

（）

A.-1：

b<0B.b2

C.b2或b：

-1D.b：

-15、已知一次函数y=ax+b（a^0）的图像不经过第一象限，且在区间［—2,1】上的最大值和最小值分别为1和-2,则函数y=χ1_ax+b在区间［-2,1］上的最

大值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

6设函数y=aχ2+4（a+1）x-3在［2,亦）上单调递减，则实数a的取值范围是13、已知一次函数f（χ）是R上的增函数，g（χ）=f（χ）（χ∙m）,且有f（f（x））=16x5.

（1）求f（χ）；

（2）若函数g（χ）在（1⅛o）上单调递增，求实数m的取值范围；

（3）若当XE[_1,3]时,g（χ）有最大值13,求实数m的值.

14、已知函数f（x）=χ2-4xa3，g（x）=mx5-2m.

（I）若方程f（x）=O在[-1,1]上有实数根，求实数a的取值范围；

（II）当a=0时，若对任意的Xr[1,4],总存在X2[1,4],使f（xj弋区）成

立，求实数m的取值范围；

（III）若函数y=f（χ）（χ∙[t,4]）的值域为区间D,是否存在常数t,使区间

D的长度为7-2t?

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：

区间

[p,q]的长度为q-P）.