备战九年级中考数学考点专题训练专题三十六分式方程.docx

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备战九年级中考数学考点专题训练专题三十六分式方程

备战2021中考数学考点专题训练——专题三十六：

分式方程

1．甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，乙车比甲车的速度每小时慢10千米，结果两辆车同时到达C城．设甲车的速度为每小时x千米．

（1）根据题意填写下表（用含x的代数式表示）：

行驶的路程（千米）

速度（千米/时）

所需时间（小时）

甲车

450

x

乙车

400

（2）求甲、乙两车的速度．

2．岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．

（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？

（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？

3．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．

（1）求两批水果共购进了多少千克？

（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？

（利润率＝

）

4．某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．

（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？

（2）经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌台灯？

5．某服装店用8000元购进一批衬衫，以58元/件的价格出售，很快售完，然后又用17600元购进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次每件多4元，服装店仍按原售价58元/件出售，并且全部售完．

（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？

（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？

求出盈利（或亏损）多少元？

6．近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．

（1）求D31的平均速度．

（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？

7．在2019年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：

若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．

（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？

（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：

租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？

请说明理由．

8．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用7小时，求特快列车的平均速度．

9．列方程解应用题：

2018年10月24日港珠澳大桥正式开通，它是中国建设史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海桥梁项目，体现了我国逢山开路、遇水架桥的奋斗精神，体现了我国综合国力、自主创新能力，体现了我国勇创世界一流的民族志气．港珠澳大桥全长55公里，跨越伶仃洋，东接香港特别行政区，西接广东省珠海市和澳门特别行政区，首次实现了珠海、澳门与香港的跨海陆路连接，极大地缩短了三地间的距离．通车前，小亮妈妈驾车从香港到珠海的陆路车程大约220公里，如果行驶的平均速度不变，港珠澳大桥通车后，小亮妈妈驾车从香港到珠海所用的行驶时间比原来缩短了2小时15分钟，求小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要多长时间．

10．某超市用2000元第一次购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金第二次购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次多300千克，超市二次均按每千克15元的价格全部售出．

（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？

（2）超市二次销售这种干果一共盈利多少元？

11．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？

12．2020年由于新冠肺炎爆发，为预防疫情专家提出了“勤洗手，戴口罩”的措施，口罩在市场上供不应求，生产口罩的主要材料是熔喷布．已知1吨熔喷布可以生产105万只医用一次性口罩，或者60万只KN95口罩．某生产熔喷布的企业要求在规定时间内完成100吨熔喷布的订单，为提高产量，现对生产车间进行改造，改造后每天比改造前多生产4吨熔喷布，结果在规定时间内多生产了40吨熔喷布．

（1）现有一批熔喷布，若全部用来生产医用一次性口罩则可以生产420万只，则这批熔喷布全部用来生产KN95口罩则可以生产　　万只；

（2）求该企业改造后熔喷布的日产量和企业要求规定的天数．

13．老百姓大药房准备购进KN95和一次性医用两种口罩．两种口罩的进价和售价如下表．如果用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量的4倍．

KN95口罩

一次性医用口罩

进价（元/个）

m+1

0.3m

售价（元/个）

5

1.2

（1）求m的值；

（2）某企业为复工复产做准备，从该药店购进KN95和一次性医用两种口罩共花7700元，若药店销售这批口罩获得2450元的利润，则购进KN95和一次性医用两种口罩各多少个？

14．如图，在边长为x米的正方形场地上，修建三条宽5米的甬道，其余部分种草．

（1）求草坪（阴影部分）的面积，（用含x的式子表示）；

（2）当x＝90时，草坪面积是　　平方米；

（3）在

（2）的条件下，由甲乙两组工人铺设草坪，乙组每天种草面积是甲组每天种草面积的1.5倍，甲乙两组共同完成一半后，剩余由甲组单独完成，结果前后共用14天完成种植．求甲、乙两组每天分别能种草多少平方米？

15．某校组织学生到相距80km的江阴黄山湖公园进行社会实践活动．上午8：

00学生乘长途汽车从学校出发．上午8：

30一位老师带着两名迟到的学生乘小轿车从学校出发，结果小轿车比长途汽车晚10分钟到达目的地．

（1）小汽车的行驶时间比长途汽车的行驶时间少　　小时；（请直接写出答案）

（2）已知小轿车的平均速度是长途汽车的1.5倍，求小轿车的速度．

16．随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了90km，运行时间减少了8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220km．高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．

（1）求高铁列车的平均时速；

（2）某日王先生要从甲市去距离大约780km的丙市参加14：

00召开的会议，如果他买到当日9：

20从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要1小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，它能否在开会之前20分钟赶到会议地点？

17．为了满足学生的物质需求，重庆市某重点中学到mama超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：

甲

乙

进价（元/袋）

m

m﹣2

售价（元/袋）

20

13

已知：

用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．

（1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于5200元，且不超5280元，问该mama超市有几种进货方案？

（3）在

（2）的条件下，该mama超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠a（2＜a＜7）元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该mama超市要获得最大利润应如何进货？

备战2021中考数学考点专题训练——专题三十六：

分式方程

参考答案

1．甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，乙车比甲车的速度每小时慢10千米，结果两辆车同时到达C城．设甲车的速度为每小时x千米．

（1）根据题意填写下表（用含x的代数式表示）：

行驶的路程（千米）

速度（千米/时）

所需时间（小时）

甲车

450

x

乙车

400

（2）求甲、乙两车的速度．

【答案】解：

（1）

行驶的路程（千米）

速度（千米/时）

所需时间（小时）

甲车

450

x

乙车

400

x﹣10

（2）依题意得：

，

解得x＝90，

经检验：

x＝90是原方程的解，且符合题意．

当x＝90时，x﹣10＝80，

答：

甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．

2．岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．

（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？

（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？

【答案】解：

（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据题意得：

+

＝

，

解得：

x＝15或x＝2，

经检验x＝15或x＝2都是原方程的根，但x＝2不符合题意．

答：

甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；

（2）根据题意得：

，

解得：

a≤4b≥9．

∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，

∴9≤b≤12又a＝10﹣

b，

∴b为3的倍数，

∴b＝9或b＝12．

当b＝9时，a＝4；

当b＝12时，a＝2

∴a＝4，b＝9或a＝2，b＝12．

方案一：

甲队作4个月，乙队作9个月；

方案二：

甲队作2个月，乙队作12个月；

3．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．

（1）求两批水果共购进了多少千克？

（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？

（利润率＝

）

【答案】解：

（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：

，

解得x＝200，

经检验x＝200是原方程的解，

∴x+2.5x＝700，

答：

这两批水果共购进700千克；

（2）设售价为每千克a元，则：

，

630a≥7500×1.26，

∴

，

∴a≥15，

答：

售价至少为每千克15元．

4．某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．

（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？

（2）经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌台灯？

【答案】解：

（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．

根据题意得

＝

×

，

解得x＝5．

经检验，x＝5是原方程的解．

所以x+20＝25．

答：

购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；

（2）设公司购买台灯的个数为a，则需要购买手电筒的个数是（2a+8），

由题意得25a+5（2a+8﹣a）≤670，

解得a≤21．

答：

该公司最多可购买21个该品牌的台灯．

5．某服装店用8000元购进一批衬衫，以58元/件的价格出售，很快售完，然后又用17600元购进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次每件多4元，服装店仍按原售价58元/件出售，并且全部售完．

（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？

（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？

求出盈利（或亏损）多少元？

【答案】解：

（1）解：

设第一次购进衬衫x件．

根据题意得：

+4＝

，

解得：

x＝200．

经检验：

x＝200是原方程的解，

答：

该服装店第一次购进衬衫200件；

（2）服装店这笔生意盈利＝58×（200+400）﹣（17600+8000）＝9200（元）＞0，

答：

该服装店这笔生意是盈利，盈利9200元．

6．近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．

（1）求D31的平均速度．

（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？

【答案】解：

（1）设D31的平均速度为x千米/时，则G377的平均速度为1.2x千米/时．

由题意：

﹣

＝1，

解得x＝250．

经检验：

x＝250，是分式方程的解．

答：

D31的平均速度250千米/时．

（2）G377的性价比＝

＝0.75

D31的性价比＝

＝0.94，

∵0.94＞0.75

∴为了G377的性价比达到D31的性价比，建议降低G377票价．

7．在2019年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：

若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．

（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？

（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：

租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？

请说明理由．

【答案】解：

（1）设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，

（

）×10＝1

解得，x＝15

经检验x＝15是原方程的解，

∴2x＝30

即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；

（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a﹣1500）元，

[a+（a﹣1500）]×10＝65000

解得，a＝4000

∴a﹣1500＝2500

当单独租甲车时，租金为：

15×4000＝60000，

当单独租乙车时，租金为：

30×2500＝75000，

∵60000＜65000＜75000，

∴单独租甲车租金最少．

8．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用7小时，求特快列车的平均速度．

【答案】解：

设特快列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度2.4x千米/小时，

由题意得，

﹣

＝7，

解得，x＝100，

经检验，x＝100是原方程的根，并且符合题意，

答：

特快列车的平均速度为100千米/小时．

9．列方程解应用题：

2018年10月24日港珠澳大桥正式开通，它是中国建设史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海桥梁项目，体现了我国逢山开路、遇水架桥的奋斗精神，体现了我国综合国力、自主创新能力，体现了我国勇创世界一流的民族志气．港珠澳大桥全长55公里，跨越伶仃洋，东接香港特别行政区，西接广东省珠海市和澳门特别行政区，首次实现了珠海、澳门与香港的跨海陆路连接，极大地缩短了三地间的距离．通车前，小亮妈妈驾车从香港到珠海的陆路车程大约220公里，如果行驶的平均速度不变，港珠澳大桥通车后，小亮妈妈驾车从香港到珠海所用的行驶时间比原来缩短了2小时15分钟，求小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要多长时间．

【答案】解：

设小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要x小时，则现在驾车从香港到珠海需要（x﹣

）小时，

根据题意得：

＝

，

解得：

x＝3，

经检验，x＝3是所列分式方程的解，且符合题意．

答：

小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要3小时．

10．某超市用2000元第一次购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金第二次购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次多300千克，超市二次均按每千克15元的价格全部售出．

（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？

（2）超市二次销售这种干果一共盈利多少元？

【答案】解：

（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，

根据题意得：

﹣

＝300，

解得：

x＝10，

经检验，x＝10是方程的解．

答：

该种干果的第一次进价是每千克10元．

（2）（1+20%）×10＝12（元/千克），

（15﹣10）×

+（15﹣12）×

＝2500（元）．

答：

超市销售这种干果共盈利2500元．

11．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？

【答案】解：

设原计划每天烧煤x吨，

由题意可得：

，

解得：

x1＝3，x2＝﹣1（不合题意舍去），

经检验：

x＝3是原方程的解，

答：

原计划每天烧煤3吨．

12．2020年由于新冠肺炎爆发，为预防疫情专家提出了“勤洗手，戴口罩”的措施，口罩在市场上供不应求，生产口罩的主要材料是熔喷布．已知1吨熔喷布可以生产105万只医用一次性口罩，或者60万只KN95口罩．某生产熔喷布的企业要求在规定时间内完成100吨熔喷布的订单，为提高产量，现对生产车间进行改造，改造后每天比改造前多生产4吨熔喷布，结果在规定时间内多生产了40吨熔喷布．

（1）现有一批熔喷布，若全部用来生产医用一次性口罩则可以生产420万只，则这批熔喷布全部用来生产KN95口罩则可以生产　　万只；

（2）求该企业改造后熔喷布的日产量和企业要求规定的天数．

【答案】解：

（1）

×60＝240万只，

故答案为：

240；

（2）设：

企业规定的天数为x天，

由题意可得：

，

解得：

x＝10，

经检验x＝10是原方程的解，且符合题意，

∴改造后熔喷布的日产量为

＝14吨，

答：

企业改造后熔喷布的日产量为14吨，企业要求规定的天数为10天．

13．老百姓大药房准备购进KN95和一次性医用两种口罩．两种口罩的进价和售价如下表．如果用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量的4倍．

KN95口罩

一次性医用口罩

进价（元/个）

m+1

0.3m

售价（元/个）

5

1.2

（1）求m的值；

（2）某企业为复工复产做准备，从该药店购进KN95和一次性医用两种口罩共花7700元，若药店销售这批口罩获得2450元的利润，则购进KN95和一次性医用两种口罩各多少个？

【答案】解：

（1）由题意可得：

，

解得m＝3，

经检验，m＝3是原方程的解且符合题意，

（2）由

（1）可得m+1＝4，0.3m＝0.9，

设购进KN95口罩x个，一次性医用口罩y个，

由题意可得

，

解得：

，

答：

设购进KN95口罩350个，一次性医用口罩7000个．

14．如图，在边长为x米的正方形场地上，修建三条宽5米的甬道，其余部分种草．

（1）求草坪（阴影部分）的面积，（用含x的式子表示）；

（2）当x＝90时，草坪面积是　　平方米；

（3）在

（2）的条件下，由甲乙两组工人铺设草坪，乙组每天种草面积是甲组每天种草面积的1.5倍，甲乙两组共同完成一半后，剩余由甲组单独完成，结果前后共用14天完成种植．求甲、乙两组每天分别能种草多少平方米？

【答案】解：

（1）六块草坪可合成边长为（x﹣5×2）米的正方形，

∴草坪的面积＝（x﹣5×2）2＝（x﹣10）2平方米．

（2）当x＝90时，（x﹣10）2＝（90﹣10）2＝6400．

故答案为：

6400．

（3）设甲组每天能种草y平方米，则乙组每天能种草1.5y平方米，

依题意，得：

+

＝14，

解得：

y＝320，

经检验，y＝320是原方程的解，且符合题意，

∴1.5y＝480．

答：

甲组每天能种草320平方米，乙组每天能种草480平方米．

15．某校组织学生到相距80km的江阴黄山湖公园进行社会实践活动．上午8：

00学生乘长途汽车从学校出发．上午8：

30一位老师带着两名迟到的学生乘小轿车从学校出发，结果小轿车比长途汽车晚10分钟到达目的地．

（1）小汽车的行驶时间比长途汽车的行驶时间少　　小时；（请直接写出答案）

（2）已知小轿车的平均速度是长途汽车的1.5倍，求小轿车的速度．

【答案】解：

（1）由题意，得

﹣

＝

，

故答案为：

（2）设长途汽车的速度为xkm/时，则小汽车的速度为1.5xkm/时，由题意，得

，

解得：

x＝80，

经检验，x＝80是原方程的根，

∴小轿车的速度为：

80×1.5＝120km/时．

16．随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了90km，运行时间减少了8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220km．高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．

（1）求高铁列车的平均时速；

（2）某日王先生要从甲市去距离大约780km的丙市参加14：

00召开的会议，如果他买到当日9：

20从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要1小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，它能否在开会之前20分钟赶到会议地点？

【答案】解：

（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均