中考数学专题讲义图形平移类.docx
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中考数学专题讲义图形平移类
图形平移类
联想融通:
图形平移与函数相结合,会提出哪些什么问题呢?
目的是考查什么呢?
怎么解答?
既然有是平移,一定用平移的性质:
图形各点的平移距离相等、对应边相等,对应角相等这些相等关系;连结对应点的线段平行(或在同一直线上)、平移前后图形的对应边平行(或在同一直线上)等平行关系。
与函数相结合,就要找运动中随时间变化的量与时间之间的关系(如面积)。
解法归一:
先画图形,再利用平移中的性质找等角、等线段、全等、相似,利用面积公式或部分之和等于整体建立函数关系。
一、平移集合图形类
例27-1-1如图27-1-1,在平面直角坐标系xOy中,一直直线
与直线
相交于点M,直线
与x轴相交于点N。
(1)求M、N的坐标。
(2)矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动,设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束),求S与自变量t之间的函数关系式。
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?
并求出最大值。
交流分享:
(1)借助一次函数得到△OMN的边ON的长、点M的坐标、得到ON上的高、点M到O的水平距离;
(2)本问的研究与直角坐标系、已知的两个一次函数没有了关系,只研究矩形ABCD与△OMN的重叠面积了,其他和前面的动点一样:
“用相似求高、用面积公式求重叠面积”
例27-1-2如图27-1-2①,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一个点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在已知x轴、y轴上,且AD=2,AB=3,
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图27-1-2所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图27-1-2②)。
①当t=
时,判断点P是否在这个抛物线上,并说明理由;②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由。
交流分享:
题目不算难,突出问题是分类不全,分析每个顶点的运动情况,加记住没点平移距离相等这一平移的性质可矣。
体验与感悟27-1
1.如图27-1-3,抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(-1,0),
(1)点B为(________),点C为(______);
(2)△CDB的形状是________________
(3)将△C0B沿x轴向右平移t个单位长度(0 2.如图,已知矩形OABC的顶点A为(0,2),C为(6,0),在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N. (1)点D坐标是(_______),点E坐标是(_______) (2)如图27-1-4①,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形? 若存在请求出M点坐标;若不存在请说明理由; (3)如图27-1-4②,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN得面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的的自变量x的取值范围. 3.如图27-1-5,矩形EFGH的边EF=6cm,EH=3cm,在平行四边形ABCD中,在BC=10cm,AB=5cm,sin∠ABC= ,点E、F、B、C在同一直线上,且FB=1cm,矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右运动,当边GF所在直线到达D点时即停止. (1)直接写出矩形的一边恰好通过平行四边形ABCD的边AB或CD的中点的时间: __________. (2)若矩形运动的同时,点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线,以0.5cm/s的速度运动,矩形停止时点Q也即停止运动,则点Q在矩形一边上运动的时间为_________s? (3)在矩形运动过程中,①当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时,求出重叠部分面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式,并写出时间t的范围. ②是否存在某一时刻,使得重叠部分的面积S=16.5cm2? 若存在,求出时间t,若不存在,说明理由. 4.已知抛物线 与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且 . (1)求出抛物线的函数表达式; (2)直接写出直线BC的函数表达式; (3)如图27-1-6①,D为y轴的负半轴的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF,将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方形移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S,运动的时间为t秒(1 ①S与t之间函数关系式; ②在运动过程中,S是否存在最大值? 如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由. (4)如图27-1-6②,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形? 若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由. 5.已知,E为矩形ABCD的BC边上的一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F在线段BE上,EF=7,连接AF.如图27-1-7①,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90o,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图27-1-7②,△GMN从图27-1-7①的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ.当点N到达终点B时,△GMN和点P同时停止运动.运动时间为t: (1)当点G在线段AE上时,t=_______ (2)是否存在点P,使△APQ是等腰三角形? 若存在,求出t的值;若不存在,说明理由; (3)设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围. 6.已知: 如图①,在平行四边形ABCD中,AB=12,BC=6,AD⊥BD.以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED,∠EAD=30°,∠AED=90°. (1)△AED的周长为________; (2)若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动,得到△A0E0D0,当A0D0与BC重合时停止移动,设移动时间为t秒,△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)如图②,在 (2)中,当△AED停止移动后得到△BEC,将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α(0°<α<180°),在旋转过程中,B的对应点为B1,E的对应点为E1,设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q.是否存在这样的α,使△BPQ为等腰三角形? 若存在,求出α的度数;若不存在,请说明理由. 提醒: 思考,平移几何图形的题目有何共通之处? 2、 移动抛物线 联想融通: 移动抛物线类题的共性是什么? 它和上面的移动几何图形有什么相似之处? 移动抛物线类题目的共性是a不变;题目一般分为三类,其一是由点变化带动抛物线的变化,如例27-1-1,其二是抛物线沿某条直线平移,如例27-2-2;其三是先向左平移再向右平移,如体验与感悟27-1第1题. 与平移其他几何图形一样,抛物线的平移只要抓关键点即可,如顶点与坐标轴交点等. 解法归一: 注意利用二次函数的性质,其他与八单元无异 例27-2-1如图27-2-1,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒,抛物线 经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0)、B(1,-5)、D(4,0) (1)求c,b (用含t的代数式表示): (2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N. ①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化? 若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值; ②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S= ; (3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围. 交流分享: (1)略; (2)①看∠AMP的正切值是否变化来断定;②用四边形AMNP面积减去△AMP的面积,或记MP与CD交于点Q,用△QMN的面积加上△NQP的面积;③用恰等分“好点”数量特殊位置试值如(2,-2),(3,-2) 例27-2-2如图27-2-2,已知直线 交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E. (1)请直接写出点C,D的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积. 交流分享: (1)过点D向y轴做垂线得一个与△AOB全等的△,过点C同理; (2)略;(3)忽略抛物线后画图;(4)把B`C`E`位置发现CE弧所扫过的面积,等于BC所扫过的面积. 体验与感悟27-2 1.已知抛物线: (1)求抛物线y1的顶点坐标. (2)将抛物线y1向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线y2,求抛物线y2的解析式. (3)如图,抛物线y2的顶点为P,x轴上有一动点M,在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形? 若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图27-2-4,如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE. (1)填空: 点D的坐标为_______,点E的坐标为_______. (2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式. (3)若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动. ①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围. ②运动停止时,求抛物线的顶点坐标. 3.如图27-2-5,如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动. (1)求线段OA所在直线的函数解析式; (2)设抛物线顶点M的横坐标为m, ①用m的代数式表示点P的坐标; ②当m为何值时,线段PB最短; (3)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等? 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图27-2-6,抛物线 与x轴相交于B、O(O为坐标原点),顶点为A,连接OA (1)求点A的坐标和∠AOB的度数; (2)若将抛物线 向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由; (3)在 (2)的情况下,判断点C′是否在抛物线 上,请说明理由; (4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边? 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 5.已知抛物线 (b,c为常数)的顶点为P,等腰直角△ABC的直角顶点B在第四象限,A、C的坐标分别为(0,-1),(4,3) (1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式; (2)平移 (1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方,且为平移前 (1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标; 6.如图27-2-8,已知直线 与坐标轴分别交于A、B两点,两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O运动(运动到O点停止);顶点为M的抛物线 (a<0)的对称轴经过点A,且始终经过点E过E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和 个单位长度/秒,运动时间为t秒. (1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长; (2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形? 判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由; (3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式. 提醒: 思考,平移抛物线与平移几何图形的题目有和共通之处? 又有何不同之处?
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