秋季学期圆章节重点知识梳理.docx
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秋季学期圆章节重点知识梳理
数学
《圆》章节重点知识梳理
姓名:
班级:
1、圆的对称性
1、《垂径定理》
判断正误:
(1)直径是圆的对称轴.
(2)平分弦的直径垂直于弦.
(3)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()
(4)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()
(5)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()
(6)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.()
(7)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.()
练习:
1.圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=______cm.
2.如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=______cm.
2题图3题图4题图5题图6题图7题图
3.如图,⊙O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,则AB=______cm,∠AOB=______.
4.如图,AB为⊙O的弦,∠AOB=90°,AB=a,则OA=______,O点到AB的距离=______.
5.如图,⊙O的弦AB垂直于CD,E为垂足,AE=3,BE=7,且AB=CD,则圆心O到CD的距离是______.
6.如图,P为⊙O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,⊙O的半径为5,则OP=______.
7.如图,⊙O的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,则⊙O的半径等于______cm.
8.已知:
如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=30°,求CD的长.
9.已知:
⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别为
,
,求∠BAC的度数.
10.已知:
⊙O的半径为25cm,弦AB=40cm,弦CD=48cm,AB∥CD.
求这两条平行弦AB,CD之间的距离.
2、《圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》
判断正误:
(1)相等的圆心角所对弦相等 ( )
(2)相等的弦所对的弧相等 ( )
(3)等弧所对的弦相等( )
(4)圆心角相等,所对的弦相等( )
(5)弦相等所对的圆心角相等( )
练习:
1.半径为R的圆中,垂直平分半径的弦长等于()
A.
RB.
RC.
RD.2
R
2.如图1,半圆的直径AB=4,O为圆心,半径OE⊥AB,F为OE的中点,CD∥AB,则弦CD的长为()
A.2
B.
C.
D.2
3.已知:
如图2,⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为P,且AP=4cm,PD=2cm,则⊙O的半径为()
A.4cmB.5cmC.4
cmD.2
cm
4.如图3,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为()
A.3:
2B.
:
2C.
:
D.5:
4
5.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE:
OF=()
A.2:
1B.3:
2C.2:
3D.0
6.在⊙O中,圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为()
A.4
B.8
C.24D.16
7.如果两条弦相等,那么()
A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等
C.这两条弦的弦心距相等D.以上答案都不对
8.⊙O中若直径为25cm,弦AB的弦心距为10cm,则弦AB的长为.
9.若圆的半径为2cm,圆中的一条弦长2
cm,则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为.
10.AB为圆O的直径,弦CD⊥AB于E,且CD=6cm,OE=4cm,则AB=.
11.半径为5的⊙O内有一点P,且OP=4,则过点P的最短的弦长是,最长的弦长是.
12.弓形的弦长6cm,高为1cm,则弓形所在圆的半径为cm.
13.在半径为6cm的圆中,垂直平分半径的弦长为cm.
14.一条弦把圆分成1:
3两部分,则弦所对的圆心角为.
2、《圆周角和圆心角的关系》
练习1:
【例1】已知⊙O中的弦AB长等于半径,求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数.
【例2】如图,OA、OB、OC都是圆O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:
∠ACB=2∠BAC
【例3】如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数?
【例4】一条弦分圆为1:
4两部分,求这弦所对的圆周角的度数?
【例5】已知AB为⊙O的直径,AC和AD为弦,AB=2,AC=
,AD=1,求∠CAD的度数.
练习2:
【例1】如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ACD=60°,
∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
【例2】如图,A、B、E、C四点都在⊙O上,AD是△ABC的高,
∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗?
为什么?
【例3】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?
【例4】如图,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.
【例5】.已知:
如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O于M.
求证:
∠AMD=∠FMC.
课后练习:
1、如图,AB是⊙O的直径,∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合),延长BD到点C,使DC=BD,判断△ABC的形状:
__________。
4、如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC=30°,则AC的度数是()
A.30°B.60°C.90°D.120°
5、如图,AB、CD是⊙O的直径,弦CE∥AB.弧BD与弧BE相等吗?
为什么?
6、如图,点A、B、C、D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
7、如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,求AC的长。
8、如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,P是CD上的任意一点(不与点C、D重合),∠APC与∠APD相等吗?
为什么?
3、《与圆有关的位置关系》
1、点和圆的位置关系
【例1】如图,Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,斜边AB上的高为CD,若以C为圆心,分别以r1=2cm,r2=2.4cm,r3=3cm为半径作圆,试判断D点与这三个圆的位置关系.
.
【例2】如图所示,已知⊙O和直线L,过圆心O作OP⊥L,P为垂足,A,B,C为直线L上三个点,且PA=2cm,PB=3cm,PC=4cm,若⊙O的半径为5cm,OP=4cm,判断A,B,C三点与⊙O的位置关系.
【例3】设⊙O的半径为2,点P到圆心的距离OP=m,且m使关于x的方程2x2-2
x+m-1=0有实数根,试确定点P的位置.
【例4】城市规划建设中,某超市需要拆迁.爆破时,导火索的燃烧速度与每秒0.9厘米,点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域,这个导火索的长度为18厘米,那么点导火索的人每秒跑6.5米是否安全?
课后练习:
1.P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是()
A.点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B.⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C.⊙O上有两点到点P的距离最小
D.⊙O上有两点到点P的距离最大
2.若⊙A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为()
A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不确定
3.两个圆心为O的甲、乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1<OA<r2,那么点A在()
A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外,乙圆内D.甲圆内,乙圆外
4.以已知点O为圆心作圆,可以作()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
5.以已知点O为圆心,已知线段a为半径作圆,可以作()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
6.已知⊙O的半径为3.6cm,线段OA=
cm,则
点A与⊙O的位置关系是()
A.A点在圆外B.A点在⊙O上C.A点在⊙O内D.不能确定
7.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外
8.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中在圆内的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,则这圆的半径是cm.
10.圆上各点到圆心的距离都等于,到圆心的距离等于半径的点都在.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15cm,BC=10cm,以A为圆心,12cm为半径作圆,则点C与⊙A的位置关系是.
12.⊙O的半径是3cm,P是⊙O内一点,PO=1cm,则点P到⊙O上各点的最小距离是.
13.如图,公路MN和公路PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/时,那么学样受影响的时间为多少秒?
14.在等腰三角形ABC中,B、C为定点,且AC=AB,D为BC的中点,以BC为直径作⊙D,问:
(1)顶角A等于多少度时,点A在⊙D上?
(2)顶角A等于多少度时,点A在⊙D内部?
(3)顶角A等于多少度时,点A在⊙D外部?
2、直线和圆的位置关系
【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?
(1)r=2cm;
(2)r=2.4cm(3)r=3cm.
【例2】在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以点C为圆心,R为半径作与斜边AB只有一个公共点的圆,则R的取值范围是?
【例3】半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动.
(1)当圆P和X轴相切时,求点P坐标;
(2)当圆P和Y轴相切时,求点P坐标;
(3)⊙P是否能同时与x轴、Y轴都相切?
若能,写出P点坐标,若不能,请说明理由.
【例4】东海某小岛上有一灯塔A,已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁,我110舰在O点处测得A塔在其北偏西60°方向,向正西方向航行20海里到达B处,测得A在其西北方向.如果该舰继续航行,是否有触礁的危险?
请说明理由.(提示
=1.414,
=1.732)
【例5】如图,已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线BC,连结CO.若AD∥OC交⊙O于D.求证:
CD是⊙O的切线.
【例6】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O的半径为3.
(1)当圆心O与C重合时,⊙O与AB的位置关系怎样?
(2)若点O沿CA移动时,当OC为多少时?
⊙C与AB相切?
【例7】如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?
练习:
1.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为()
A.8B.4C.9.6D.4.8
3.⊙O内最长弦长为m,直线ι与⊙O相离,设点O到ι的距离为d,则d与m的关系是()
A.d=mB.d>mC.d>
D.d<
4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
5.菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为()
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
6.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为6
,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是()
A.相离B.相交C.相切D.不能确定
7.下列四边形中一定有内切圆的是()
A.直角梯形B.等腰梯形C.矩形D.菱形
8.已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,那么点O是△DEF的()
A.三条中线交点B.三条高的交点
C.三条角平分线交点D.三条边的垂直平分线的交点
9.给出下列命题:
①任一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;
②任一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;
③任一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;
④任一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.
其中真命题共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.如图,有一块锐角三角形木板,现在要把它截成半圆形板块(圆心在BC上),问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大?
(要求说明理由)
11.如图,等边三角形的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是
的中点.
(1)试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;
(2)设直线CP与AB相交于点D,过点B作BE⊥CD垂足为E,证明BE是⊙O的切线,并求△BDE的面积.
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