高考数学一轮复习 第一篇集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念与运算教案 理 新人教版.docx
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高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案理新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第1讲 集合的概念与运算教案理新人教版
【xx年高考会这样考】
1.考查集合中元素的互异性.
2.求几个集合的交、并、补集.
3.通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力.
【复习指导】
1.主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算,立足基础,抓好双基.
2.练习题的难度多数控制在低中档即可,适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目,但数量不宜过多.
基础梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法、区间法.
(4)常用数集:
自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
(5)集合的分类:
按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA).
(3)空集:
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅).
(4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个.
(5)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.集合的基本运算
(1)并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(2)交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(3)补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
(4)集合的运算性质
①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B;
②A∩A=A,A∩∅=∅;
③A∪A=A,A∪∅=A;
④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
一个性质
要注意应用A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何
非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形).
(3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( ).
A.{x|3≤x<4}B.{x|x≥3}
C.{x|x>2}D.{x|x≥2}
解析 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴结合数轴得:
A∪B={x|x≥2}.
答案 D
2.(xx·浙江)若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( ).
A.P⊆QB.Q⊆PC.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
解析 ∵∁RP={x|x≥1}∴∁RP⊆Q.
答案 C
3.(xx·福建)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( ).
A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.
∈S
解析 ∵i2=-1,∴-1∈S,故选B.
答案 B
4.(xx·北京)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是
( ).
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)
C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1].
答案 C
5.(人教A版教材习题改编)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________.
解析 A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4},
∴2∈{1,3,m},∴m=2.
答案 2
考向一 集合的概念
【例1】►已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
[审题视点]分m+2=3或2m2+m=3两种情况讨论.
解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不合乎题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),此时当m=-
时,m+2=
≠3合乎题意.所以m=-
.
答案 -
集合中元素的互异性,一可以作为解题的依据和突破口;二可以检验所求结果是否正确.
【训练1】设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+2},A∩B={3},则实数a的值为________.
解析 若a+2=3,a=1,检验此时A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足题意.若a2+2=3,则a=±1.当a=-1时,B={1,3}此时A∩B={1,3}不合题意,故a=1.
答案 1
考向二 集合的基本运算
【例2】►(xx·天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=
,则集合A∩B=________.
[审题视点]先化简集合A,B,再求A∩B.
解析 不等式|x+3|+|x-4|≤9等价于
或
或
解不等式组得A=[-4,5],又由基本不等式得B=[-2,+∞),所以A∩B=
[-2,5].
答案 {x|-2≤x≤5}
集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合,然后用数轴图示法求解.
【训练2】(xx·江西)若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=
,则A∩B=( ).
A.{x|-1≤x<0}B.{x|0 C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1} 解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0 ∴A∩B={x|0 答案 B 考向三 集合间的基本关系 【例3】►已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. [审题视点]若B⊆A,则B=∅或B≠∅,故分两种情况讨论. 解 当B=∅时,有m+1≥2m-1,得m≤2, 当B≠∅时,有 解得2<m≤4. 综上: m≤4. 已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论. 【训练3】(xx·江苏)设集合A= ,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是________. 解析 ①若m<0,则符合题的条件是: 直线x+y=2m+1与圆(x-2)2+y2=m2有交点,从而 ≤|m|,解得 ≤m≤ ,与m<0矛盾; ②若m=0,代入验证,可知不符合题意; ③若m>0,则当 ≤m2,即m≥ 时,集合A表示一个环形区域,集合B表示一个带形区域,从而当直线x+y=2m+1与x+y=2m中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2有交点,即符合题意,从而有 ≤|m|或 ≤|m|,解得 ≤m≤2+ ,由于 > ,所以 ≤m≤2+ . 综上所述,m的取值范围是 ≤m≤2+ . 答案 难点突破1——集合问题的命题及求解策略 在新课标高考中,可以看出,集合成为高考的必考内容之一,考查的形式是一道选择题或填空题,考查的分值约占5分,难度不大.纵观近两年新课标高考,集合考题考查的主要特点是: 一是注重基础知识的考查,如xx年安徽高考的第8题;二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合,在知识的交汇点处命题,如xx年山东高考的第1题,与不等式相结合;三是在集合的定义运算方面进行了新的命题,如xx年浙江高考的第10题. 一、集合与排列组合 【示例】►(xx·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( ). A.57B.56 C.49D.8 二、集合与不等式的解题策略 【示例】►(xx·山东)设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( ). A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3] 三、集合问题中的创新问题 【示例】►(xx·浙江)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( ). A.|S|=1且|T|=0B.|S|=1且|T|=1 C.|S|=2且|T|=2D.|S|=2且|T|=3 2019-2020年高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案理 【xx年高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性. 2.求几个集合的交、并、补集. 3.通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力. 【复习指导】 1.主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算,立足基础,抓好双基. 2.练习题的难度多数控制在低中档即可,适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目,但数量不宜过多. 基础梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征: 确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法: 列举法、描述法、图示法、区间法. (4)常用数集: 自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R. (5)集合的分类: 按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集. 2.集合间的基本关系 (1)子集: 对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A). (2)真子集: 若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA). (3)空集: 空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅). (4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个. (5)集合相等: 若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 3.集合的基本运算 (1)并集: A∪B={x|x∈A,或x∈B}. (2)交集: A∩B={x|x∈A,且x∈B}. (3)补集: ∁UA={x|x∈U,且x∉A}. (4)集合的运算性质 ①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B; ②A∩A=A,A∩∅=∅; ③A∪A=A,A∪∅=A; ④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A. 一个性质 要注意应用A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性. 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 双基自测 1.(人教A版教材习题改编)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( ). A.{x|3≤x<4}B.{x|x≥3} C.{x|x>2}D.{x|x≥2} 解析 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴结合数轴得: A∪B={x|x≥2}. 答案 D 2.(xx·浙江)若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( ). A.P⊆QB.Q⊆PC.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP 解析 ∵∁RP={x|x≥1}∴∁RP⊆Q. 答案 C 3.(xx·福建)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( ). A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD. ∈S 解析 ∵i2=-1,∴-1∈S,故选B. 答案 B 4.(xx·北京)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是 ( ). A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析 因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1]. 答案 C 5.(人教A版教材习题改编)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________. 解析 A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4}, ∴2∈{1,3,m},∴m=2. 答案 2 考向一 集合的概念 【例1】►已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. [审题视点]分m+2=3或2m2+m=3两种情况讨论. 解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不合乎题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去),此时当m=- 时,m+2= ≠3合乎题意.所以m=- . 答案 - 集合中元素的互异性,一可以作为解题的依据和突破口;二可以检验所求结果是否正确. 【训练1】设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+2},A∩B={3},则实数a的值为________. 解析 若a+2=3,a=1,检验此时A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足题意.若a2+2=3,则a=±1.当a=-1时,B={1,3}此时A∩B={1,3}不合题意,故a=1. 答案 1 考向二 集合的基本运算 【例2】►(xx·天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B= ,则集合A∩B=________. [审题视点]先化简集合A,B,再求A∩B. 解析 不等式|x+3|+|x-4|≤9等价于 或 或 解不等式组得A=[-4,5],又由基本不等式得B=[-2,+∞),所以A∩B= [-2,5]. 答案 {x|-2≤x≤5} 集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合,然后用数轴图示法求解. 【训练2】(xx·江西)若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B= ,则A∩B=( ). A.{x|-1≤x<0}B.{x|0 C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1} 解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0 ∴A∩B={x|0 答案 B 考向三 集合间的基本关系 【例3】►已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. [审题视点]若B⊆A,则B=∅或B≠∅,故分两种情况讨论. 解 当B=∅时,有m+1≥2m-1,得m≤2, 当B≠∅时,有 解得2<m≤4. 综上: m≤4. 已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论. 【训练3】(xx·江苏)设集合A= ,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是________. 解析 ①若m<0,则符合题的条件是: 直线x+y=2m+1与圆(x-2)2+y2=m2有交点,从而 ≤|m|,解得 ≤m≤ ,与m<0矛盾; ②若m=0,代入验证,可知不符合题意; ③若m>0,则当 ≤m2,即m≥ 时,集合A表示一个环形区域,集合B表示一个带形区域,从而当直线x+y=2m+1与x+y=2m中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2有交点,即符合题意,从而有 ≤|m|或 ≤|m|,解得 ≤m≤2+ ,由于 > ,所以 ≤m≤2+ . 综上所述,m的取值范围是 ≤m≤2+ . 答案 难点突破1——集合问题的命题及求解策略 在新课标高考中,可以看出,集合成为高考的必考内容之一,考查的形式是一道选择题或填空题,考查的分值约占5分,难度不大.纵观近两年新课标高考,集合考题考查的主要特点是: 一是注重基础知识的考查,如xx年安徽高考的第8题;二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合,在知识的交汇点处命题,如xx年山东高考的第1题,与不等式相结合;三是在集合的定义运算方面进行了新的命题,如xx年浙江高考的第10题. 一、集合与排列组合 【示例】►(xx·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( ). A.57B.56 C.49D.8 二、集合与不等式的解题策略 【示例】►(xx·山东)设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( ). A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3] 三、集合问题中的创新问题 【示例】►(xx·浙江)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( ). A.|S|=1且|T|=0B.|S|=1且|T|=1 C.|S|=2且|T|=2D.|S|=2且|T|=3
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