第2讲教师等腰三角形的性质定理和判定定理.docx
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第2讲教师等腰三角形的性质定理和判定定理
第2讲等腰三角形的性质和判定
教学目标:
(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。
(2)能用等腰三角形的性质定理和判定定理进行分析与说理,逻辑思维训练,形成一定的推理能力。
重点:
等腰三角形的性质定理和判定定理
难点:
利用定理解决实际问题
教学过程:
(一)知识梳理
知识点1:
等腰三角形的性质定理1
(1)文字语言:
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
(2)符号语言:
如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C
(3)证明:
取BC的中点D,连接AD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
(4)定理的作用:
证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:
等腰三角形性质定理2
(1)文字语言:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)
(2)符号语言:
∵AB=AC,∠1=∠2 ∵AB=AC ,AD⊥BC ∵AB=AC ,BD=DC
∴AD⊥BC,BD=DC∴BD=DC ,∠1=∠2∴∠1=∠2,AD⊥BC
(3)定理的作用:
可证明角相等,线段相等或垂直。
说明:
在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
知识3:
等腰三角形的判定定理
(1)文字语言:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)
(2)符号语言:
在△ABC中
∵∠B=∠C ∴AB=AC
(3)证明:
过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC
(4)定理的作用:
证明同一个三角形中的边相等。
说明:
①本定理的证明还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:
1、利用定义 2、利用定理。
【典型例题】
基础知识应用题:
例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数。
解:
∵AP=PQ=AQ(已知)
∴△APQ是等边三角形(等边三角形的定义)
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°(等边三角形的性质)
∵AP=BP(已知)
∴∠PBA=∠PAB(等边对等角)
又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°
∴∠PBA=∠PAB=30°
同理∠QAC=30°
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°
解答此类题的步骤如下:
(1)利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
(2)利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。
例2.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。
求证:
△DEF是等腰三角形。
证明:
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°(三角形内角和定理)
∠BED+∠DEF+∠FEC=180°(平角性质)
∠B=∠DEF(已知)
∴∠BDE=∠FEC(等角的补角相等)
在△BED和△CFE中
∠BDE=∠FEC中 (已证)
BD=CE (已知)
∠B=∠C (已知)
∴△BED≌△CFE(ASA)
∴DE=EF (全等三角形对应边相等)
∴△DEF是等腰三角形 (等腰三角形定义)
综合应用题:
例3.已知:
如图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:
OC=OD
证明:
∵AB∥CD (已知)
∴∠A=∠C,∠B=∠D (两直线平行,内错角相等)
∵OA=OB (已知)
∴∠A=∠B (等边对等角)
∴∠C=∠D (等量代换)
∴OC=OD (等角对等边)
例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的位置关系,并证明你的结论。
证法一:
证明:
作DE⊥AB于E
∵DA=DB
DE⊥AB
∴AE=BE=
∵AB=2AC
∴AE=AC
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD
∴∠C=∠AED=90°
∴DC与AC的位置关系为:
DC⊥AC
证法二:
证明:
延长AC到F,使CF=AC,连结DF
∵AB=2AC,AF=2AC
∴AB=AF
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD
∴DF=DB
∵DA=DB
∴DA=DF
又∵AC=CF
∴DC⊥AF
说明:
法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=
AB
法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB,从而达到解决问题的目的。
例5.求证:
等腰三角形两腰上的中线相等
解:
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的中线
求证:
BD=CE
证明:
∵BD,CE是△ABC的中线
∴AE=
AB,AD=
AC
∵AB=AC
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
说明:
这是一个证明文字叙述的几何命题的题目,做这类题时首先要分清题设,结论,画出草图,结合图形写出:
已知、求证、然后再证明。
例6.如图,点C为线段AB上的一点,△ACM,△BCN是等边三角形,AN,MC相交于点E,CN与BM相交于点F。
(1)求证AN=BM
(2)求证△CEF为等边三角形
证明:
(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠NCB=60°
∴∠ACN=∠BCM=120°
在△ACN和△MCB中
∴△ACN≌MCB(SAS)
∴AN=BM
(2)由
(1)中△ACN≌△MCB
∴∠ANC=∠MBC
在△CEN和△CFB中
∴△CEN≌△CFB(ASA)
∴CE=CF
又∵∠ECF=60°
∴△CEF为等边三角形
例7.下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后,苏老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知,等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角。
”同学们经片刻的思考与交流后,李明举手讲:
“其余两角30°和120°,”王华同学说:
“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?
为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)
解析:
本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后,对两名学生的说法提出自己的看法,这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究.当∠A是顶角时,设底角是α,∴30°+α+α=180°, α=75°,∴其余两底角是75°和75°.当∠A是底角时,设顶角是β,∴30°+30°+β=180°, β=120°,∴其余两角是30°和120°.由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误.
对于第
(2)问应在第
(1)问的解答的基础上,可总结出“根据图形位置关系,实施分类讨论思想方法解多解型问题”,“考虑问题要全面”等.
分析:
通过分析我们就能看出两个人的回答都不全面,而正确的应该是两者的结合,即结果有两种情况.
解:
(1)上述两同学回答的均不全面,应该是:
其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.
理由如下:
①当∠A是顶角时,设底角是α.
∴30°+α+α=180°,
α=75°.
∴其余两角是75°和75°;
②当∠A是底角时,设顶角是β,
∴30°+30°+β=180°,
β=120°;
∴其余两角分别是30°和120°;
答案
(1)上述两同学回答的均不全面,应该是:
其余两角的大小是75°和75°或30°和120°;
(2)感受为:
解题时,思考问题要全面,有的题目要进行分类讨论,分类时要做到不重不漏.
【模拟试题】
【模拟试题】
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( )
A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°
第一种高在三角形内那么顶角为:
90°-30°=60°底角为:
(180°-60°)÷2=60°
第二种高在三角形外:
那么顶角为:
90°+30°=120°
底角为:
(180°-120°)÷2=30°
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为
63°或27° .
解:
在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于D.
①若是锐角三角形,∠A=90°﹣36°=54°,
底角=(180°﹣54°)÷2=63°;
②若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,
此时底角=(180°﹣126°)÷2=27°.
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.
2.如图,△ABC中AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.95° D.70°
分析:
设∠A=x.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x;
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x;
∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x,
∴∠DBC=x;
∵x+2x+2x=180°,
∴x=36°,∴∠A=36°故选B
3.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是( B)
A.40°B.45° C.50° D.60°
证明:
∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E(已知)
∴∠BEC=∠ADC=∠FBD=90°(垂直的意义)
∵∠EBC+∠ECB=90°,∠DAC+∠ECB=90°(等式性质)
∴∠EBC=∠DAC(同角的余角相等)
在△FBD和△ADC中
∠ADC=∠FBD(已证)
∠EBC=∠DAC(已证)
BF=AC(已知)
∴△FBD≌△ADC(A.A.S)
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等)
∴∠ABC=∠BAC(等边对等角)
∵AD⊥BC(已知)
∴△ADB是直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=45°
即∠ABC=45°
4.聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案,并发现图中有等腰三角形,请你帮他找出两个等腰三角形:
。
△ABE,△BEC,△CED(任填两个即可)
5.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2= 度。
分析:
首先看图,根据多边形内角和外角的知识可知∠A+∠B=180°-∠C,然后可得∠1+∠2=360°-(∠A+∠B),易求解.
解:
如图,
△ABC中,∠A+∠B=180°-∠C=180°-40°=140°;
四边形中,∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-140°=220°.
故填220.
6.在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角∠B的大小为 。
①DE与线段AC相交时,如图1,∵DE是AB的垂直平分线,∠AED=40°,
∴∠A=90°-∠AED=90°-40°=50°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=
(180°-∠A)=
(180°-50°)=65°;
②DE与CA的延长线相交时,如图2,∵DE是AB的垂直平分线,∠AED=40°,
∴∠EAD=90°-∠AED=90°-40°=50°,
∴∠BAC=180°-∠EAD=180°-50°=130°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=
(180°-∠BAC)=
(180°-130°)=25°,
综上所述,等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°.
故答案为:
65°或25°.
7.如图,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF是等边三角形
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等的线段,并证明你的猜想是正确的。
(2)你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到?
写出变化过程。
解:
(1)图中还有相等的线段 AE=BF=CD,AF=BD=CE
(2)线段AE、BF、CD绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到线段。
AF、BD、CE绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到。
8、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= _________ 度;
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论.
解:
(1)90°.理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
∴∠BCE=∠B+∠ACB,
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°;
(2)①α+β=180°,理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∴∠B+∠ACB=β,
∴α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°;
②当点D在射线BC上时,α+β=180°;理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∵∠BAC+∠B+∠BCA=180°,
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,
∴ α+β=180°;
当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β
理由:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
∵AD=AE,AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE,
即α=β.
如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于G.则下列结论中错误的是( )
A. AD=BEB. BE⊥ACC. △CFG为等边三角形D. FG∥BC
分析:
A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案;
B、根据等边三角形性质得出AB=BC,只有F为AC中点时,才能推出AC⊥BE.
C、由△ACG≌△BCF,推出CG=CF,根据∠ACG=60°即可证明;
D、根据等边三角形性质得出∠CFG﹦∠ACB=60°,根据平行线的判定推出即可.
解:
A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,
∠ACB﹦∠ECD=60°,
∴∠ACD﹦∠ECB,
在△ACD与△BCE中,
∵AC=BC
∠ACD﹦∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,正确,故本选项错误;
B、根据已知不能推出F是AC中点,即AC和BF不垂直,所以AC⊥BE错误,故本选项正确;
C、△CFG是等边三角形,理由如下:
∵∠ACG=180°-60°-60°=60°=∠BCA,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD,
在△ACG和△BCF中
∵∠CAG=∠CBF
AC=BC
∠BCF=∠ACG
∴△ACG≌△BCF(ASA),
∴CG=CH,
又∵∠ACG=60°
∴△CGH是等边三角形,正确,故本选项错误;
D、∵△CFG是等边三角形,
∴∠CFG﹦60°=∠ACB,
∴FG∥BC,正确,故本选项错误;
故选B.
作业
一、填空题
1.已知,如右图,等腰△ABC,AB=AC:
(1)若AB=BC,则△ABC为__________三角形;
(2)若∠A=60°,则△ABC为__________三角形;
(3)若∠B=60°,则△ABC为__________三角形.
2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中,成轴对称图形的是__________.
3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴,等边三角形有__________条对称轴.请你在图
(1)中作出等腰△ABC,等边△DEF的对称轴.
(1)
(2)
4.如图
(2),已知△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,垂足为D、E为AC的中点,AD=DE=6cm则∠ACD=(____)°,AC=______cm,∠DAC=(_____)°,△ADE是_______三角形.
5.如左下图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,如果AB=
8cm,则BD=________cm,∠BDE=(_______)°,BE=________cm.
6.如右上图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=________cm.
二、选择题
1.下列说法不正确的是
A.等边三角形只有一条对称轴
B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
2.下列命题不正确的是
A.等腰三角形的底角不能是钝角
B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3.在Rt△ABC中,如右图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于
A.3.8cmB.7.6cm
C.11.4cmD.11.2cm
三、解答与证明
1.如下图,在△ABC中,∠A=20°,D在AB上,AD=DC,∠ACD∶
∠BCD=2∶3,求:
∠ABC的度数.
2.如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
3.如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
参考答案
一、1.
(1)等边
(2)等边(3)等边
2.线段、直角、等腰三角形
3.一三
4.301260等边
5.43026.8
二、1.A2.B3.C
三、1.解:
∵AD=DC,且∠A=20°,
∴∠A=∠ACD=20°,
又∵∠ACD∶∠BCD=2∶3
∴∠BCD=30°,∴∠ACB=50°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-50°=110°
2.证明:
∵MD⊥BC,且∠B=90°,
∴AB∥MD,∴∠BAD=∠D
又∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠MAD,∴∠D=∠MAD,
∴MA=MD
3.证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE=60°
又∵△BDE是等边三角形,
∴BE=BD,∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠DBE
∴在△ABE和△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD
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