小升初数学专题六含详解浓度问题.docx
- 文档编号:28089313
- 上传时间:2023-07-08
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:296.60KB
小升初数学专题六含详解浓度问题.docx
《小升初数学专题六含详解浓度问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小升初数学专题六含详解浓度问题.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小升初数学专题六含详解浓度问题
专题六浓度问题
考点解析
浓度问题是小升初高频考点之一,包括加糖浓化、加水稀释、混合溶液问题等。
浓度问题形式变化多,有些题目难度较大,计算也较复杂,要根据题目的条件和问题逐一分析,也可以分步解答。
绝大多数浓度问题我们都可以通过列方程来解决,但有的题目我们通过观察不变量让题目变得非常简单,减少运算量。
学习难度:
★★★
考点频率:
★★★★
精讲精练
●定义
所谓浓度,是指溶液中所含溶质的百分数,浓度又称为质量分数。
因此浓度问题属于百分数应用题。
●基本关系式
溶液浓度=溶质质量÷溶液质量×100%=溶质质量÷(溶质质量+溶剂质量)×100%
溶质质量=溶液质量×溶液浓度
溶液质量=溶质质量÷溶液浓度
溶剂质量=溶液质量×(1-溶液浓度)
●一般有两种情况
①浓度变低:
加溶剂,但溶质不变。
②浓度变高:
加溶质,但溶剂不变;或蒸发溶剂,但溶质不变。
1加制浓化
●口诀
加糖先求水,水完求糖水。
糖水减糖水,求出便解题。
例❶(华南师大附小毕业卷)有含糖量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要再加入几克糖?
2加水稀释
●口诀
加水先求糖,糖完求糖水。
糖水减糖水,便是加水量。
例②▶(典林匹克竞菲)一种35%的新农药,稀释到1.75%时、治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水、才能配成浓度为1.75%的农药800千克?
3混合溶液问题
●解题关键
混合前后溶质、溶剂和溶液的质量均未发生变化。
例③(北京师大附小毕业卷)现有浓度为10%的盐水20千克,再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
例④(南尚大学附小华业卷)将20%的盐水与5%的盐水混合,配成15%的盐水600克.需要20%的盐水和5%的盐水各多少克?
例⑤(合肥市小学毕业卷)甲、乙、丙三支试管中各盛有10克、20克、30克水。
把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中,混合后取10克倒入乙管中,再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。
现在丙管中盐水的质量分数为0.5%,最早倒入甲管中的盐水的质量分数是多少?
梯度训练
基础过关题
❶已知甲瓶盐水浓度为8%,乙瓶盐水浓度为5%,混合后浓度为6.2%,那么
的甲瓶盐水与
的乙瓶盐水混合后的浓度为多少?
❷甲、乙两个装满溶液的容器中,甲容器装有浓度为8%的盐酸溶液150千克,乙容器中装有浓度为40%的盐酸溶液100千克,各取出多少千克溶液放入对方容器内,才能使这两个容器中的盐酸溶液浓度一样?
❸4吨葡萄在新疆测得含水量为99%,运抵武昌后测得含水量为98%。
运抵武昌后,葡萄还剩几吨?
❹两个容量相同的瓶子装满了酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积之比是3:
1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:
1,如果把两瓶酒精溶液混合,那么混合溶液中酒精与水的体积之比是多少?
❻有三杯重量相等的溶液,它们的浓度依次是10%,20%、45%。
如果依次将三个杯子中的溶液重量的
,
,
倒入第四个空杯子中,则第四个杯子中溶液的浓度为多少?
❻甲、乙两个同样的杯子,甲杯只有半杯清水,乙杯盛满了浓度为48%的糖水,先将乙杯糖水的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯糖水的一半倒入乙杯,这时乙杯糖水的浓度为多少?
❼一个100升的容器,盛满纯酒精,倒出一部分后注满水。
混合均匀后,倒出与第一次所倒出的体积相等的液体,再注满水,此时容器内水的体积是纯酒精体积的3倍,则第一次倒出的纯酒精是多少升?
❽A、B、C三种盐水浓度分别为20%,18%,16%,用这三种盐水,配制浓度为18.8%的盐水100克。
已知B比C多用了30克,则三种盐水各用了多少克?
❾有一杯子装满了浓度为16%的盐水,有大、中、小铁球各一个,它们的体积比为10:
4:
3。
首先将小球沉入盐水杯中,结果盐水溢出10%,取出小球;其次把中球沉入盐水杯中,又将它取出:
接着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯需为止。
此时杯中盐水的浓度是多少?
(得数保留一位小数)
❿甲容器中有8%的盐水300克、乙容器中有12.5%的盐水120克。
往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器中盐水的浓度一样。
每个容器应倒入多少克水?
拓展提升题
❶配制硫酸含量为20%的硫酸溶液1000克,需要用硫酸含量为18%和23%的硫酸溶液各多少克?
❷从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满。
如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少?
❸瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶里的浓度变成了14%。
已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液的2倍,那么A种酒精溶液的浓度是多少?
❹有两个同样大小的杯子,甲杯盛满了纯水,乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水。
先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀,然后再用乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀、上述过程算是进行了一次操作。
如果这样连续地进行了五次操作后,那么甲杯里含有多少克盐?
(得数用分数表示)
❺容器中有某种浓度的酒精溶液,加入一杯水后,容器中的酒精含量为25%;再加入半杯纯酒精,容器中的酒精含量为40%。
原来容器中酒精的浓度是多少?
❻有两个容积相等的玻璃杯,甲杯中放一半水,乙杯中放
的水,先把两个杯子都倒满酒,与水搅匀后,各倒出全部液体的一半,再在两杯中倒满水,搅匀后再各倒一半,最后将两个半杯中的液体都倒入甲杯,这时甲杯中酒占全部液体的几分之几?
❼甲酒精浓度为72%,乙酒精浓度为58%,混合后酒精浓度为62%。
如果每种酒精比原来多取15升,混合后酒精浓度为63.25%,那么第一次混合时,甲、乙两种酒精各取了多少升?
❽在某种浓度的盐水中加入若干水后,得到的盐水浓度为20%。
在新盐水中再加入与前面相等重量的盐后,盐水的浓度为
,求原来盐水的浓度。
❾甲、乙两个杯子,分别装有两种浓度不同的酒精和水的混合物16克和24克。
先分别从甲、乙两杯中倒出重量相等的部分混合液,并将甲杯中倒出的那部分混合液倒入乙杯,将乙杯中倒出的那部分混合液倒入甲杯。
此时,甲、乙两杯中含酒精的浓度正好相等。
从甲杯中倒出的那部分混合液重多少克?
❿把20%的食盐水与5%的食盐水混合,配成15%的食盐水900克,那么20%与5%的食盐水各需要多少克?
名校真题荟
❶(四川师大附中衔接考试卷)一容器内装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,再用水加满,然后再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液浓度是多少?
❷(陕西师大附小毕业卷)甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升。
第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合。
第二次将乙容器中一部分混合液倒入甲容器、这样甲容器中纯酒精含量为62.5%、乙容器中纯酒精含量为25%。
那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升?
❸(临汾市山西师大附中分班卷)有甲、乙、丙三个桶,甲中装有500克水,乙中装有浓度为40%的盐水750克,丙中装有浓度为50%的盐水500克。
首先将甲中水的一半倒入乙,然后将乙中盐水的一半倒入丙,再将丙中盐水的一半倒入甲,这算进行一轮操作。
那么进行两轮操作后甲桶中盐水的浓度是多少?
(得数精确到小数点后一位)
❹(安徽大学附小毕业卷)有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的溶液。
先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒人乙杯,这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几?
❺(苏州大学附中分班卷)有浓度为20%的600克盐水和浓度为5%的400克盐水。
现在分别从对方取等量的盐水后使得两种盐水的浓度变成一样。
从这两种盐水中分别取出多少克盐水进行等量交换?
专题六浓度问题
考点解析
浓度问题是小升初高频考点之一,包括加糖浓化、加水稀释、混合溶液问题等。
浓度问题形式变化多,有些题目难度较大,计算也较复杂,要根据题目的条件和问题逐一分析,也可以分步解答。
绝大多数浓度问题我们都可以通过列方程来解决,但有的题目我们通过观察不变量让题目变得非常简单,减少运算量。
学习难度:
★★★
考点频率:
★★★★
精讲精练
●定义
所谓浓度,是指溶液中所含溶质的百分数,浓度又称为质量分数。
因此浓度问题属于百分数应用题。
●基本关系式
溶液浓度=溶质质量÷溶液质量×100%=溶质质量÷(溶质质量+溶剂质量)×100%
溶质质量=溶液质量×溶液浓度
溶液质量=溶质质量÷溶液浓度
溶剂质量=溶液质量×(1-溶液浓度)
●一般有两种情况
①浓度变低:
加溶剂,但溶质不变。
②浓度变高:
加溶质,但溶剂不变;或蒸发溶剂,但溶质不变。
1加制浓化
●口诀
加糖先求水,水完求糖水。
糖水减糖水,求出便解题。
例❶(华南师大附小毕业卷)有含糖量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要再加入几克糖?
根据题意,在含糖量为7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水的质量并没有改变。
因此,可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量,再根据现在糖水中的浓度求出现在糖水的质量,用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
解:
原来糖水中水的质量:
600×(1-7%)=558(克)
现在糖水的质量:
558÷(1-10%)=620(克)
增加的糖的质量:
620-600=20(克)答:
需要再加入20克糖。
2加水稀释
●口诀
加水先求糖,糖完求糖水。
糖水减糖水,便是加水量。
例②▶(典林匹克竞菲)一种35%的新农药,稀释到1.75%时、治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水、才能配成浓度为1.75%的农药800千克?
把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。
在这种稀释过程中,溶质的质量是不变的、这是解决这类问题的关键。
解:
浓度为1.75%的农药中纯农药质量为:
800×1.75%=14(千克)
浓度为35%的农药质量为:
14÷35%=40(千克)增加的水的质量为:
800-40=760(千克)
答:
用40千克浓度为35%的农药加760千克水,才能配成浓度为1.75%的农药800千克。
3混合溶液问题
●解题关键
混合前后溶质、溶剂和溶液的质量均未发生变化。
例③(北京师大附小毕业卷)现有浓度为10%的盐水20千克,再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
这是一个溶液混合问题。
混合前后溶液的浓度改变了,但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。
所以,混合前两种溶液中溶质的质量和等于混合后溶液中溶质的质量。
解:
20千克10%的盐水中含盐的质量:
20×10%=2(千克)
混合成22%时,20千克溶液中含盐的质量:
20×22%=4.4(千克)
需加30%盐水溶液的质量:
(4.4-2)÷(30%-22%)=30(千克)
答:
再加入30千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水。
例④(南尚大学附小华业卷)将20%的盐水与5%的盐水混合,配成15%的盐水600克.需要20%的盐水和5%的盐水各多少克?
根据题意,将20%的盐水与5%的盐水混合,配成15%的盐水,说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。
可根据这一数量间的相等关系列方程解答。
解:
设20%的盐水需x克,则5%的盐水需(600-x)克。
20%x+(600-x)×5%=600×15%
20%x+30-5%x=90
15%x=60x=400
5%的盐水需要:
600-400=200(克)
答:
需要20%的盐水400克,5%的盐水200克。
例⑤(合肥市小学毕业卷)甲、乙、丙三支试管中各盛有10克、20克、30克水。
把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中,混合后取10克倒入乙管中,再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。
现在丙管中盐水的质量分数为0.5%,最早倒入甲管中的盐水的质量分数是多少?
混合后但未倒出时,甲、乙、丙三支试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。
根据题意,可以求出现在丙管中盐的质量。
又因为丙管中原来只有30克的水,它的盐是从乙管里的10克盐水中取出的,由此可以求出乙管里30克盐水中盐的质量。
而乙管里的盐又是从甲管里的10克盐水中取出的,由此可以求出甲管里20克盐水中盐的质量。
而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐,这样就可得到最初倒入甲管中的盐水的质量分数。
解:
丙管中盐的质量:
(30+10)×0.5%=0.2(克)
倒入乙管后,乙管中盐的质量:
0.2×[(20+10)÷10]=0.6(克)
倒入甲管后,甲管中盐的质量:
0.6×[(10+10)÷10]=1.2(克)
最早倒入甲管中的盐水的质量分数:
1.2÷10=12%
答:
最早例入甲管中的盐水质量分数是12%。
梯度训练
基础过关题
❶已知甲瓶盐水浓度为8%,乙瓶盐水浓度为5%,混合后浓度为6.2%,那么
的甲瓶盐水与
的乙瓶盐水混合后的浓度为多少?
❶设甲瓶盐水质量为a,乙瓶盐水的质量是b。
(8%a+5%b)÷(a+b)=6.2%解得:
a=
b
混合后的浓度为:
。
❷甲、乙两个装满溶液的容器中,甲容器装有浓度为8%的盐酸溶液150千克,乙容器中装有浓度为40%的盐酸溶液100千克,各取出多少千克溶液放入对方容器内,才能使这两个容器中的盐酸溶液浓度一样?
❷两个容器中的溶液混合后浓度为:
(150×8%+100×40%
150+100)=20.8%
应交换的盐酸溶液的量为:
(150×20.8%-150×8%
40%-8%)=60(千克)
❸4吨葡萄在新疆测得含水量为99%,运抵武昌后测得含水量为98%。
运抵武昌后,葡萄还剩几吨?
❸4×(1-99%)÷(1-98%)=2(吨)
❹两个容量相同的瓶子装满了酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积之比是3:
1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:
1,如果把两瓶酒精溶液混合,那么混合溶液中酒精与水的体积之比是多少?
❹将一个酒精瓶容积看成一个单位,则在一个瓶中,酒精占
=
,水占
=
;在另一个瓶中,酒精占
=
.水占
=
。
在酒精和水的混合溶液中,酒精和水的体积之比是:
(
+
):
(
+
)=31:
9。
❺有三杯重量相等的溶液,它们的浓度依次是10%,20%、45%。
如果依次将三个杯子中的溶液重量的
,
,
倒入第四个空杯子中,则第四个杯子中溶液的浓度为多少?
❺设三杯溶液的重量为a。
第四个杯子中溶液的浓度为:
❻甲、乙两个同样的杯子,甲杯只有半杯清水,乙杯盛满了浓度为48%的糖水,先将乙杯糖水的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯糖水的一半倒入乙杯,这时乙杯糖水的浓度为多少?
❻第一次,甲杯糖水浓度为(48%÷2),乙杯糖水浓度为48%;
第二次.乙杯糖水的浓度为:
(48%÷2+48%)÷2=36%。
❼一个100升的容器,盛满纯酒精,倒出一部分后注满水。
混合均匀后,倒出与第一次所倒出的体积相等的液体,再注满水,此时容器内水的体积是纯酒精体积的3倍,则第一次倒出的纯酒精是多少升?
7设第一次倒出的纯酒精是x升。
100-x-
×x=
×100
整理得:
x2-200x+7500=0
解得:
x1=50,x2=150>100(舍去),所以x=50。
❽A、B、C三种盐水浓度分别为20%,18%,16%,用这三种盐水,配制浓度为18.8%的盐水100克。
已知B比C多用了30克,则三种盐水各用了多少克?
❽设C用了x克,则B用了(x+30)克,A用了(70-2x)克。
20%×(70-20+18%×(x+30)+16%×x=100×18.8%,解得x=10
即A用了70-2×10=50(克),B用了10+30=40(克),C用了10克。
❾有一杯子装满了浓度为16%的盐水,有大、中、小铁球各一个,它们的体积比为10:
4:
3。
首先将小球沉入盐水杯中,结果盐水溢出10%,取出小球;其次把中球沉入盐水杯中,又将它取出:
接着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯需为止。
此时杯中盐水的浓度是多少?
(得数保留一位小数)
❾由题意可知,溢出水的体积等于大球的体积,是整杯盐水的10%×
=
。
加满水后的浓度:
16%×(1-
)=10.7%
❿甲容器中有8%的盐水300克、乙容器中有12.5%的盐水120克。
往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器中盐水的浓度一样。
每个容器应倒入多少克水?
❿设每个容器应倒入x克水。
24×(120+x)=15×(300+x)
2880+24x=4500+15x
9x=1620
x=180
拓展提升题
❶配制硫酸含量为20%的硫酸溶液1000克,需要用硫酸含量为18%和23%的硫酸溶液各多少克?
❶设需要23%的硫酸溶液x克,则需要18%的硫酸溶液(1000-x)克。
23%x+(1000-x)×18%=1000×20%
23%x+180-18%x=200
5%x+180=200
5%x=20x=400
18%的硫酸溶液需要:
1000-400=600(克)
❷从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满。
如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少?
❷方法一:
第一次倒出后,杯中盐水浓度:
(100-40)×80%÷100=48%
第二次倒出后,杯中盐水浓度:
(100-40)×48%÷100=28.8%
第三次倒出后,杯中盐水浓度:
(100-40)×28.8%÷100=17.28%
方法二:
80%×(1-
)×(1-
)×(1-
)=17.28%
❸瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶里的浓度变成了14%。
已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液的2倍,那么A种酒精溶液的浓度是多少?
❸三种溶液混合后的重量:
1000+100+400=1500(克)
含酒精:
14%×1500=210(克)
原来含洲精:
15%×1000=150(克)
A、B两种溶液共含酒精:
210-150=60(克)
由于A的浓度是B的2倍,那么400克B溶液的酒精含量相当于400÷2=200(克)A济液的酒精含量。
A济液的浓度:
60÷(100+200)×100%=20%
❹有两个同样大小的杯子,甲杯盛满了纯水,乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水。
先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀,然后再用乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀、上述过程算是进行了一次操作。
如果这样连续地进行了五次操作后,那么甲杯里含有多少克盐?
(得数用分数表示)
❹用列举法:
所以,第五次操作后甲杯里含盐
克。
❺容器中有某种浓度的酒精溶液,加入一杯水后,容器中的酒精含量为25%;再加入半杯纯酒精,容器中的酒精含量为40%。
原来容器中酒精的浓度是多少?
❺首先根据最后的酒精浓度为40%,酒精和溶液的体积比为2:
5,那么酒精和水的体积比为2:
3。
再根据酒精含量是25%时的酒精和溶液的体积比为1:
4,酒精和水的体积比为1:
3。
在两次溶液中水的体积是没有发生变化的,设水的体积是3份,那么25%的溶液中酒精是1份,40%的酒精溶液中酒精是2份。
所以加入的酒精是1份,是半杯,那么1杯水就是2份。
在25%的酒精溶液中,酒精是1份,水是3份,减去2份的水,剩余就是1份酒精和1份水。
所以,原来的酒精溶液的浓度为50%。
❻有两个容积相等的玻璃杯,甲杯中放一半水,乙杯中放
的水,先把两个杯子都倒满酒,与水搅匀后,各倒出全部液体的一半,再在两杯中倒满水,搅匀后再各倒一半,最后将两个半杯中的液体都倒入甲杯,这时甲杯中酒占全部液体的几分之几?
❻第一次倒出一半后,甲杯中酒还剩
÷2=
,乙杯中酒还剩(1-
)÷2=
;
第二次倒出一半后.甲杯中酒还剩
÷2=
,乙杯中酒还剩
÷2=
;
所以混合后甲杯中酒占全部液体的
+
=
。
❼甲酒精浓度为72%,乙酒精浓度为58%,混合后酒精浓度为62%。
如果每种酒精比原来多取15升,混合后酒精浓度为63.25%,那么第一次混合时,甲、乙两种酒精各取了多少升?
❼设第一次混合时,甲、乙两种酒精各取了x、y升,那么第二次取的就分别是(x+15)、(y+15)升。
可列方程组:
72%x+58%y=62%×(x+y)
72%×(x+15)+58%×(y+15)=63.25%×(x+15+y+15)
解得:
x=12,y=30
❽在某种浓度的盐水中加入若干水后,得到的盐水浓度为20%。
在新盐水中再加入与前面相等重量的盐后,盐水的浓度为
,求原来盐水的浓度。
❽设加人的盐的重量为a,20%盐水的重量为m。
=
解得:
=
原来的盐水与20%盐水的重量比为:
5-1):
5=4:
5,则原来的盐水浓度与20%盐水的浓度之比为5:
4。
原来盐水的浓度:
20%×
=25%
❾甲、乙两个杯子,分别装有两种浓度不同的酒精和水的混合物16克和24克。
先分别从甲、乙两杯中倒出重量相等的部分混合液,并将甲杯中倒出的那部分混合液倒入乙杯,将乙杯中倒出的那部分混合液倒入甲杯。
此时,甲、乙两杯中含酒精的浓度正好相等。
从甲杯中倒出的那部分混合液重多少克?
❾设甲杯中混合液的浓度是a,乙杯中混个液的浓度是b.从甲、乙两杯中各倒出x克混合液。
3bx+48a-3ax=2ax+48b-2bx
5ax-5bx=48a-48b
(a-b)×5x=48(a-b)
5x=48
x=9.6
❿把20%的食盐水与5%的食盐水混合,配成15%的食盐水900克,那么20%与5%的食盐水各需要多少克?
❿设20%的食盐水需要a克,5%的食盐水需要b克。
运用十字交叉法,可得:
即
=
=
,所以20%的食盐水需要900×
=600(克)。
5%的食盐水需要900×
=300(克)。
名校真题荟
❶(四川师大附中衔接考试卷)一容器内装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,再用水加满,然后再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液浓度是多少?
❶第一次倒出1升后,剩纯酒精:
10-1=9(升)
第二次倒出
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小升初 数学 专题 详解 浓度 问题