一次函数与三角形面积.docx
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一次函数与三角形面积.docx
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一次函数与三角形面积
一次函数相关的面积问题
思路:
画出草图,把要求的图形构建出来,根据面积公式,把直线与坐标轴的交点计算出来,把坐标转化成线段,代入面积公式求解。
规则图形(公式法)不规则图形(切割法)不含参数问题
含参数问题(用参数表示点坐标,转化成线段)注意:
坐标的正负、线段的非负性。
求面积时,尽量使底或高中的一者确定下来(通过对图像的观察,确定底和高),然后根据面积公式,建立等式。
1、求直线y=-2x+4,y=2x-4及y轴围成的三角形的面积。
2、已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P,则在x上是否存在一点A,使SAP0A=4若存在,求出点有坐标;若不存在,请说明理由。
3、如下图,一次函数的图像交正比例函数的图像于M点,交x轴于点N(-6,
0),已知点M在第二象限,其横坐标为-4,若SAN0M=1,5求正比例函数的解
析式
11(
\/
|2
O
\3/
3
j/A(4,
o)
2
rVB
过点A,B,直线l1,l2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线12的解析表达式;
(3)求厶ADC的面积;
(4)在直线12上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与厶ADC的面积相等,请直.接.写出点P的坐标.图11
1
5、如图,直线L的解析表达式为y=-丄x+2,且与x轴、y轴交于点A、B,
2
在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)^COM勺面积S与M的移动时间t之间的函数关系式;
(3)当何值时厶COMPAAOB并求出此时M点的坐标
一次函数(动态问题)
举一反三:
如图(十二),直线I的解析式为yx4,它与x轴、y轴分别相交于AB两点•平行于直线I的直线m从原点O出发,沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,设运动时间为t秒(0t<4)•
(1)求AB两点的坐标;
(2)用含t的代数式表示AMON的面积0;
(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和AOAB重合部分的面积为S2,
1
当2t<4时,试探究S2与t之间的函数关系式;
2在直线m的运动过程中,当t为何
5
值时,S2为AOAB面积的一?
16
图十二
任意一点(A.B两点除外),过M分别作MC丄OA于点C,MD丄OB于D.
(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?
并说明理由;
(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?
最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的
距离为a(0a4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函
数关系式并画出该函数的图象.
6、在ABC中,CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上,且以CD=3cm,现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终
点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。
过点P作PE//BC交AD于点
E,连结EQ。
设动点运动时间为x秒。
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)
当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设EDQ的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值围;
7、如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4:
3),点B在x正半轴上,且
ZABO30°•动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动,设运
动时间为t秒•在x轴上取两点M,N作等边△PMN•
(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;
(3)
如果取OB的中点D,以OD为边在RtAAOB部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上•设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0 (图2) (图1) 8、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置,点C、F重合,且BC、 DF在一条直线上,其中AC=DF=4,BC=EF=3.固定Rt△ABC不动,让Rt△DEF沿CB向左平移,直到点F和点B重合为止.设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y. 1 (1)如图2,求当x=—时,y的值是多少? 2 (2)如图3,当点E移动到AB上时,求x、y的值; (3)求y与x之间的函数关系式; 9、(课改卷)如图1所示,一三角形纸片ABC,/ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中 线CD把这纸片剪成AGD,和BC2D2两个三角形(如图2所示)•将纸片ACQ,沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D! D2,B始终在同一直线上),当点D! 于点B重合时,停止平移•在平移过程中,CiDi与BC2交于点E,ACi与C2D2、BC2分别交于点F、 P. (1)当ACiDi平移到如图3所示的位置时,猜想图中的DiE与D2F的数量关系,并证明你的猜想; (2)设平移距离D2Di为x,ACiDi与BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的 函数关系式,以及自变量的取值围; (3)对于 (2)中的结论是否存在这样的x的值;使得重叠部分的面积等于原ABC面 i 积的丄? 若不存在,请说明理由• 4 10、已知: 如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点 P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形? (2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的 ? 如果 关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是厶ABC面积的三分之存在,求出相应的t值;不存在,说明理由; 三角形面积与函数解析式的几种题型 、利用面积求解析式 1直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=(分类讨论) 2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线I经过原点,与线段AB交于点C,把,△AOB的面积分为2: I两部分,求直线I名的解析式. 3、如图,已知直线PA: yxn(n0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线 y2xm(mn)与x轴交于B,与直线PA交于P 求: (1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示) 5 ⑵若AB=2,且S四边形PQOB二,求两个函数的解析式. 6 4、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点,另一条直线 ykxb(k0)经过点C(1,0),且把AOB分成两部分 (1)若AOB被分成的两部分面积相等,则k和b的值 (2)若AOB被分成的两部分面积比为1: 5,则k和b的值 3 5、已知一次函数yx3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B,直线ykxb经 2 过OA上的三分之一点D,且交x轴的负半轴于点C,如果SAOBSDOC,求直线 ykxb的解析式. 二、利用解析式求面积 1、直线ykxb过点A(-1,5)和点B(m,5)且平行于直线yx,O为坐标原点, 求AOB的面积• 求: (1)一次函数的解析式; (2)AOC的面积 3、已知: 直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是,设两直线与 X轴分别交于A,B,则SAABC=,设两直线与y轴交于P,Q,则SAPCQ= 4、一次函数y,k,x4与正比例函数y2k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函数的 图象与x轴围成的三角形面积是. 5、已知,直线y=2x+3与直线y=-2x-1. (1)求两直线交点C的坐标; ⑵求厶ABC的面积. ⑶在直线BC上能否找到点P,使得Saapc=6,若能,请求出点P的坐标,若不能请说明理由。 44444 6、如图,直线y=-—x+4与y轴交于点A,与直线y=x+交于点B,且直线y=x+- 35555 与x轴交于点。 ,求厶ABC的面积。 A 7、已知直线ykxb经过点A(0,6),且平行于直线y2x (1)求该函数的解析式,并画出它的图象; (2)如果这条直线经过点P(m,2),求m的值; (3)若0为坐标原点,求直线0P解析式; (4)求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。 三、关于面积的函数关系 1、已知点A(x,y)在第一象限,且x+y=10,点B(4,0),△OAB的面积为S. (1)求S与x的函数关系式,直接写出x的取值围,并画出函数的图像; (2)△OAB的面积为6时,求A点的坐标; 2、如图,直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)。 (1)求k的值; (2)若点p(x,y)是第二象限的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出 △OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值围; (3)探究: 当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为? ,并说明理由。 8 4、如图⑴,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发,沿M3D路线运动, 到D停止;点Q从D出发,沿“3BtA路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s.图⑵是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图⑶是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象• (1)参照图 (2),求a、b及图⑵中c的值; (2)求d的值; (3)设点P离开点A的路程为yi(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点P、Q改变速度后yi、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q相遇时x的值; ⑷当点Q出发s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm. &如图,直线1i过A(0,2),B(2,0)两点,直线12: ymxb过点(1,0),且 把AOB分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,设此三角形的面积为S, 求S关于m的函数解析式,及自变量m的取值围。 一1 10、在平面直角坐标系中,点A(4,0),点P(x,y)是直线y—x3在第一象限 2 的一点. (1)设厶OAP的面积为S,用含x的解析式表示S,并写出自变量取值围. 1 (2)在直线y—x3求一点0,使厶OAQ是以OA为底的等腰三角形. 2 (3)若第 (2)问变为使厶OAQ是等腰三角形,这样的点有几个? 4._ Q 1O A5 -2. 2、已知: 如下图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,3)、B(2,-2)、C(6,-4),求厶ABC的面积. C
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- 一次 函数 三角形 面积