苏科版九年级上册第一章一元二次方程题型总结.docx
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苏科版九年级上册第一章一元二次方程题型总结
一元二次方程题型总结
【一】一元二次方程的定义与解
【题型一】应用一元二次方程的定义,求字母的值
例1、当a为何值时,关于x的方程(a-1)x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程?
【题型二】一元二次方程解的应用
例1、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为()
A.-1B.0C.-1D.-1或1
例2、已知多项式ax2-bx+c,当x=1时,它的值是0;当x=-2时,它的值是1
(1)试求a+b的值
(2)直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【题型三】一元二次方程拓展开放型题
例1、已知关于x的方程(k2-1)x2-(k+1)x-2=0
(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?
并求出此方程的根
(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?
写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩固练习
1、下列方程中,是一元二次方程的为()
A.x2=-1B.2x(x-1)+1=2x2C.x2+3x=
D.ax2+bx+c-0
2、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x,当m取什么值时,这个方程是一元二次方程?
3、若关于x的一元二次方程(a-2)x2+
x=3是一元二次方程,则a的取值范围是
4、把方程(x-1)2-3x(x-2)=2(x+2)+1化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项
5、若a是方程x2-3x+1=0的一个根,求2a2-5a-2+
的值
6、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,abc满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是()
A.1,0B.-1,0C.1,-1D.1,2
7、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,且a≠b,求
的值
【二】一元二次方程的解法
一、直接开平方法
1、下列方程能用直接开平方法求解的是()
A.5x2+2=0B.4x2-2x-1=0C.
(x-2)2=4D.3x2+4=2
2、若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根,则k的取值范围是_________
3、已知(a2+b2-1)2=9,则a2+b2=_________
4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1,且a,b满足等式b=
-4,求方程
y2-2c=0的根
5、用开平方法解下列方程
(1)
(2)
(3)(x-1)2=(3x-4)2
二、配方法
1、
(1)x2-2
x+____=(x-____)2
(2)3x2+12x+____=3(x+____)2(3)
x2-5x+____=
(x-____)2
2、若x2+ax+9是关于x的完全平方式,则常数a的值是__________
3、多项式4x2+1加上一个单项式后,成为一个整式的完全平方,那么加上的这个单项式可以是
4、一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为()
A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=17
5、若x为任意实数,则x2+4x+7的最小值为__________
★★★★当x=_______时,代数式3x2-2x+1有最_______(填大或小)值为_______
6、用配方法证明:
关于x的方程(m2-12m+37)x2+3mx+1=0,无论m为何值,此方程都是一元二次方程。
7、不论x、y是什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()
A.总不小于2B.总不小于7C.可以为任何实数D.可能为负数
8、a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,则△ABC是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
9、若实数a,b,c满足a2+6b=-17,b2+8c=-23,,c2+2a=14,求a+b+c的值
10、已知A=a+2,B=a2-a+5,C=a2+5a-19,其中a>2
(1)求证:
B-A>0
(2)比较A与C的大小,并说明理由
11、用配方法解方程
(1)
(2)
(5)
三、公式法
2、若方程2x2+mx+1=0,且判别式的值是16,则m=__________
3、已知方程2x2+4x+c=0,且b2-4ac=0,则方程的根为
4、已知关于x的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a-2的各项系数之和等于3,求方程的解。
5、用求根公式法解方程
(1)
(2)
四、因式分解法
1.方程(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是。
2、如果A2-B2=0,则下列结论中正确的是()
A.A=BB.A=-BC.A=B=0D.A=B或A=-B
3、一元二次方程x2-4x+4=0的根是__________
4、当a=_________,代数式(a-2)2与4-2a的值相等
5、用因式分解法解方程
(1)
(2)
★★★★6、(拓展)已知(a2+b2)(a2+b2+1)=a2+b2+1,求a2+b2的值
【三】一元二次方程判别式
1、(2013•珠海)已知一元二次方程:
①x2+2x+3=0,②x2﹣2x﹣3=0.下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解
2、(2013•咸宁)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是( )
3、(2013兰州)若
,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是
★★★★★已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2
-1=0有实数根,求k的取值范围。
4、已知关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值。
5、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-
)=0
(1)求证:
这个方程总有两个实数根
(2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长。
【四】一元二次方程的实际问题
类型一面积问题
1.如图,要利用一面长为25m的墙建羊圈,用100m围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边AB、BC各多长?
2如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为a为15米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.
(1)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长是多少米?
(2)能围成面积比45平方米更大的花圃吗?
如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
3.要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度;
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示:
小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x的取值相同).
类型二增长率问题
1.某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒。
2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒。
(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒饭?
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
2.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米,2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求每年市政府投资的增长率;
(2)若这两年内的建设成本不变,则2015年建设了多少万平方米的廉租房?
3.某农场去年种植南瓜10亩,总产量为2000kg,今年该农场扩大了种植面积,并引进新品种,使产量增长到6000kg.已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍,今年平均亩产量的增长率是()
A、20%B、25%C、50%D、62.5%
类型三利润问题
1.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可以多售出20斤。
为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售。
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是______斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
2.某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中属于菌类的一种猴头菇远销国外,上市时,有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中,据预测,猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元,但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元,而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天,同时,平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售.
(1)若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售,则x天后这批猴头菇的销售单价为 元,销售量是 千克(用含x的代数式表示);
(2)如果这位外商想获得利润24000元,需将这批猴头菇存放多少天后出售?
(利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用)
类型四几何动点的应用
1、如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=24cm,AC=16cm,现有动点P从点B出发,沿边BA向点A运动,动点Q从点C出发,沿边CA向点A运动,已知点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时出发,经过多长时间,△APQ的面积是△ABC面积的一半?
2、如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?
四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?
点P和点Q的距离是10cm.
3(2014•贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以
cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t= 秒时,S1=2S2.
类型五数字问题
类型六其他问题
1、一个QQ群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息,这样共有870条消息,求该群共有多少个好友.
2、假如一人患红眼病,经过两轮传染共有
人染上了红眼病,按这样的传播速度,若有两人患了红眼病,经过第一轮传染后患红眼病的人数共有__________人
3、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会,则x满足的关系式为。
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