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傅里叶变换公式
第2章信号分析
本章提要
信号分类
周期信号分析--傅里叶级数
非周期信号分析--傅里叶变换脉冲函数及其性质
信号:
反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析:
从信号中提取有用信息的方法和手段
§—1信号的分类
两大类:
确定性信号,非确定性信号确定性信号:
给定条件下取值是确定的。
进一步分为:
周期信号,
非周期信号。
质量—弹簧系—
统的力学模型x(t)=AcosJ—t+®o
m
非确定性信号(随机信号):
给定条件下取值是不确定的
按取值情况分类:
模拟信号,离散信号数字信号:
属于离散信号,幅值离散,并用二进制表示。
信号描述方法
时域描述
如简谐信号
简谐信号及其三个要素
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方法将信号看成许多谐波(简谐信号)之和,每一个谐波称作该信号的一个频率成分,考察信号含有那些频率的谐波,以及各谐波的幅值和相角。
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§-2周期信号与离散频谱
一、周期信号傅里叶级数的三角函数形
式
周期信号时域表达式
x(t)=x(t+T)=x(t+2T)==x(t+nT)
(n=±1,2,)
T:
周期。
注意n的取值:
周期信号“无始无终”
傅里叶级数的三角函数展开式
Q0
x(t)=a。
'(ancosn0tbnsinn0t)
n=1
(n=1,2,3,…)
傅立叶系数:
a。
an
bn
12
亍Tx(t)dt
2
T
22
—j〒x(t)cosr
TT
2
T
22
—i丁x(t)sirrr
T-i
otdt
otdt
式中T--周期;o--基频,o=2/T
三角函数展开式的另一种形式:
信号的均值,直流分量N次谐波的相角
b
2n
arctg
-bn
an
n=1,2,3,
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和
--谐波分析法
频谱图
周期信号的频谱二个特点:
离散性、谐
波性、收敛性
例1:
求周期性非对称周期方波的傅立叶
级数并画出频谱图
解:
x(t”
••
A
•••
—
4
A
非对称周期方波周期方波
解:
信号的基频
傅里叶系数
奇函数:
a0=an=0
T
29
bn二2x(t)sinn0tdtT一一
2
T
t的偶函数
4
Asinn0tdt二
T00
A1cosnn
JI
4A
n为奇数
n为偶数
n次谐波的幅值和相角
b=4A
n”,
(n二135,)
最后得傅立叶级数
4Acos(n°t-)n2
(n「3,5,)
频谱图
An匚
4
A
4A4A©n'
•••
1i
I
1.to-
30
3
330530
丨丨…3
31
—
2
幅频谱图相频谱图
周期信号傅里叶级数的复指数形式
亠、
欧拉公式
ejt=cost-jsint
1.*.*
cos-ejej
{2sint二jejt-ejt
2
j=vn
傅立叶级数的复指数形式
□0
x(t)=、Cnejn0t(n=0,-1,-2,-3,)
n=-:
:
复数傅里叶系数的表达式
12
Co二a。
=2rx(t)dt
T-
其中an,bn的计算公式与三角函数形式相同,只是n包括全部整数。
一般Cn是个复数。
因为an是n的偶函数,bn是n的奇函数,因此
即:
实部相等,虚部相反,Cn与C-n共轭。
Cn的复指数形式
Cne
共轭性还可以表示为
即:
Cn与C-n模相等,相角相反
傅立叶级数复指数也描述信号频率结
构。
它与三角函数形式的关系
对于n>0
\a2(bn)2An
2
(等于三角
函数模的一半)
(与三角函数形式中的
*n=arctg—
1-今
°_n=arct^^=arctg1anan
an
相角相等)
用Cn画频谱:
双边频谱
第一种:
幅频谱图:
|Cn|-,相频谱
图:
n-
七n-
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§-3非周期信号与连续频谱
分两类:
a.准周期信号
定义:
由没有公共周期(频率)的周期信号组成
频谱特性:
离散性,非谐波性
判断方法:
周期分量的频率比(或周期比)不是有理数
b.瞬变非周期信号
x(t)」
x(t).
1x(t)t
L t t t 几种瞬变非周期信号 数学描述: 傅里叶变换 一、傅里叶变换 演变思路: 视作周期为无穷大的周期信号式(2.22)借助(2.16)演变成: 定义x(t)的傅里叶变换X(3) x()=x(t)ejPt —od X(3)的傅里叶反变换x(t): Aco x(t)=)敲"方 傅里叶变换的频谱意义: 一个非周期信 号可以分解为角频率连续变化的无数 谐波 丄乂(®)ejtd2 的叠加。 称X()其为函数x(t)的频谱密度 函数。 对应关系: 1\I1j°°t『1jn国ot IX代)恥e二Lcn」e -2H一 X()描述了x(t)的频率结构 X()的指 X(®)=|xf)|ej3以频率f(Hz)为自变量,因为f =w/(2p),得 X(f)二rx(t)e""ftdt —oC x(t)=「X(f)e0ftdf X(f)的指数形式 X(f)=|X(f)|ejP(f) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图: 幅值频谱图相位频谱图 x)w(®) 实频谱图ReX(s)和虚频谱图Im(3)如果X()是实函数,可用一张X()图表 示。 负值理解为幅值为X()的绝对值,相角为’或」。 二、傅里叶变换的主要性质 (一)叠加性 a1x1(t)+a2x2(t)-a1X1(fpa2X2(f) (二)对称性 乂⑴-乩x(f) (注意翻转) (三)时移性质 x(t士to)-戸Tx(f)e±j2”ft0 (幅值不变,相位随f改变±2fto) (四)1频移性质 x(t)e士j2“0-日-x(厂f0) (注意两边正负号相反) (5)时间尺度改变特性 1fx(at)=—X(—)aa (6)微分性质 兮亠乩(j2f)nX(f)dt (7)卷积性质 (1)卷积定义 Q0 x(t)»y(t)=j)y(t八妙 (2)卷积定理 x(t)”y(t)-戸-x(f)Y(f) x(t)y(t)—0-x(f)”Y(f) (要通过函数值和面积两方面 )脉冲函数: x(t)tx(t)" 1h6⑴、 定义函数定义)函数值: t=0(tporo (二)脉冲函数的样质 1.脉冲函数的采性(相乘)样质: 函数值: 心3° 强度: ・x(t)3(t-to)dt=x(to)Jj(t-to)dt=x(to) 结论: 1.结果是一个脉冲,脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值 2•脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2.脉冲函数的卷积性质: (a)利 oO x(t『6(i)=Jx(尸(t八)dT —oQ □0 二x(t)jd(i~x)dT —CO =x(t) (b)利用结论2 QO x(t)(t-t0)=x()(t-t0-)d —oO =x(t-to)(t「to「)d =x(t-to) 结论: 平移 ( 三)脉冲函数的频谱 yF 弋)-乩“(f)=j5(t)ej2ftdt=1 —oO 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 $(t±t0)—FTe士 (利用时移性 质) 1-土J6(—f)=6(f) 质) (利用对称性 (对上式, 再用频移性质) (四)正弦函数和余弦函数的频谱 cos2ft sin2ft jI-'2ftj2二ft]e-e fo)-2(f一fo) 也(f) A 1/2a a1/2 t -fo fof (f) 1/2a fo -fo -1/ f 2 单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。 教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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