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初中数学练习题含答案
专题七新定义阅读理解题
(2019•重庆A卷)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征,在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性数进行研究.如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等,现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.
定义:
对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”.
例如:
32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;
23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.
(1)判断2019和2020是否是“纯数”?
请说明理由;
⑵求出不大于100的“纯数”的个数.
【分析】
(1)根据纯数的定义逐一判断2019和2020即可;
(2)判断不大于100的“纯数”的个数,可先从个位数字入手,确定个位数字的特点,再确定十位数字的特点,即可得到对应的“纯数”.
【自主解答】
1.(2018•重庆A卷)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.
(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;
(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数,若四位数m为“极数”,记D(m)=3m.求满足D(m)是完全平方数的所有m.
2(2020•原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为N的“中2数”,记作F(N),如34
的“中2数”为F(34)=324;若将一个两位正整数M加2后得到一个新数,我们称这个新数为M的“尾2数”,记作P(M),如34的“尾2数”为P(34)=36.对于任意一个两位正整数T,令Q(T)=F(T)9P(°.
(1)判断Q(T)是否为整数,并说明理由;
(2)对于一个两位正整数M若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半,求
M的值.
3.(2017•重庆A卷)对于任意一个三位数n如果n满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后,可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n),例如123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位和个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,二F(123)=6.
(1)计算:
F(243),F(617);
⑵若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1 k=F7(s),当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值. 4.(2020•原创)事实: 我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3 整除,则这个数就能被3整除,反之也成立. 定义: 对于一个两位数m和一个三位数n它们各个数位上的数字都不为0,将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字,将数n任意一个 数位上的数字作为该新的两位数的个位数字,按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”,用F(m,n)表示.例如数12与345的“二 三联合”为F(12,345)=13+14+15+23+24+25=114. (1)填空: F(11,369)=;F(16,123)=; ⑵若一个两位数s=21x+y,—个三位数t=121x+y+199(其中1 5.(2019•九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋献给了国王,国王从此迷上了下棋,为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣一个要求.大臣说: “就在这个棋盘上放一些米粒吧,第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒16粒32粒…一直到第64格”“你真傻! 就要这么一点米粒? ”国王哈哈大笑.大臣说: “就怕您的国库里没有这么多米! ”国王的国库里有这么多米吗? 题中问题就是求1+,+22+23+…+263是多少? 请同学们阅读以下解答过程就知道答案了. 设S=1+21+22+23+…+263,贝卩2S=2(1+21+22+2‘+24+…+263)=2+空+23+24+…+263+264.2S—S=2(1+21+2? +2’+24+…+263)—(1+2勺+22+2’+24+…+263), 即: S=264—1.事实上,按照这位大臣的要求,放满一个棋盘上的64个格子需 要I+ZF+F+Z3+…+263=(264—1)粒米.那么264—1到底多大呢? 借助计算机中的计算器进行计算,可知答案是一个20位数: 18446744073709551615,这是一个非常大的数,所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题: (1)我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题: “远望巍巍塔七层,红光点点 倍加增;共灯三百八十一,请问尖头几盏灯? ”意思是一座7层塔共挂了381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有多少 盏灯? (2)计算: 1+3+9+27+…+3n; (3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件,推出了“解数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知一列数: 1,1,2, 1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,21,再接下来的三项是2°,21,22,…,依此类推.求满足如下条件的所有正整数N: 10vN<100,且这一列数前N项和为2的正整数幕.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值. 参考答案 【例1】解: (1)当n=2019时,n+1=2020,n+2=2021, v9+0+1=10,需进位,二2019不是“纯数”; 当n=2020时,n+1=2021,n+2=2022, 个位: 0+1+2=3,不需要进位; 十位: 2+2+2=6,不需要进位; 百位: 0+0+0=0,不需要进位; 千位: 2+2+2=6,不需要进位; •••2020是“纯数”. (2)当n=0时,n+1=1,n+2=2,贝卩0+1+2=3,不需要进位,二0是“纯数”; 当n=1时,n+1=2,n+2=3,1+2+3=6,不需要进位,二1是“纯数”; 当n=2时,n+1=3,n+2=4,2+3+4=9,不需要进位,二2是“纯数”; 当n=3时,n+1=4,n+2=5,3+4+5=12,需要进位,二3不是“纯数”,综上可知,当这个自然数是一位自然数时,只能是0,1,2; 当这个自然数是两位自然数时,这个自然数可以是10,11,12,20,21,22, 30,31,32,共9个, 当这个自然数是三位自然数时,100是“纯数”, •••不大于100的自然数中,“纯数”的个数为3+9+1=13. 跟踪训练 1.解: (1)1188;2475;9900.(答案不唯一) 猜想: 任意一个“极数”是99的倍数.理由如下: 设任意一个“极数”为xy(9—x)(9—y)(其中1 则xy(9—x)(9—y)=1OOOx+100y+10(9—x)+9—y =1OOOx+100y+90—10x+9—y =99(10x+y+1). tx,y为整数,10x+y+1为整数, 二任意一个“极数”是99的倍数. ⑵设m^xy(9—x)(9—y), 99(10x+y+1) 由题意可知,D(m)=33=3(10x+y+1), t1wxW9,Owyw9,「.33W3(10x+y+1)w300, tD(m)是完全平方数, •••D(m)可取的值为36,81,144,225, 当D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,则x=1,y=1,m=1188; 当D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,则x=2,y=6,m=2673; 当D(m)=144时,3(10x+y+1)=144,贝Ux=4,y=7,m=4752; 当D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,则x=7,y=4,m=7425. 综上所述,满足D(m)为完全平方数的m的值为1188,2673,4752,7425. 2.解: (1)Q(T)是整数.理由如下: 设两位正整数T为ab,则T=10a+b, •F(T)=a2b=100a+20+b, P(T)=10a+b+2, •F(T)—P(T)=100a+20+b—(10a+b+2) =90a+18=9(10a+2), va为整数,二10a+2为整数,
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