完整版小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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完整版小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:
熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型),掌握五大面积模型的各种变形知识点拨
Si
S2
a
AB
CD
一、等积模型
1等底等高的两个三角形面积相等;
2两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图S1:
Sa:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形,如右图EaCD足BCD;
反之,如果SacdSabcd,则可知直线AB平行于cd.
4等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
6两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的咼之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在AABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),
C
D
贝SSaabc:
Saade(ABAC):
(ADAE)
图⑵
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①S:
S2S4:
S3或者SiS3S2S4②AO:
OCSi&:
S4S3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
1S:
Sa2:
b2
2S1:
S3:
S2:
S4a2:
b2:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab2.
四、相似模型
(一)金字塔模型
二)沙漏模型
AF
AG;
AF2:
AG2.
①ADAEDEABACBC
^②ade:
&ABC
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具
/、・在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么
ABO
:
SACO
BD:
DC.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图,正方形ABC啲边长为6,ae1.5,cf2.长方形EFGH勺面
积为
【解析】连接DEDF,则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
S^def661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH
面积为33.
【巩固】如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?
DGC
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:
连接AG.(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一
起).
F,、,1、.••在正方形ABCD中,SaABG
2
1
二Saabg2SWABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半)
同理,
Saabg
2s
EFGB•
二正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.
长方形的宽
88106.4(厘米).
H为AD边上任
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,意一点,问阴影部分面积是多少?
【解析】解法一:
寻找可利用的条件,连接BH、HC,如下图:
可得:
SEHB
1s
2
AHB、
S
1
FHB—
2
SCHB、
SDHG
1S
SDHC,
2
SaBCDSAHBSCHB
SCHD
36
即SEHB
SBHF
S
DHG
AHB
SCHB
SCHD)
1
2
36
18;
而
SEHB
SBHF
SDHG
S阴影S
EBF
而
SEBF
1
2
BEBF-(-AB)(-BC)-364.5
2228
所以阴影部分的面积是:
S阴影18SEBF
184.513.5
解法二:
特殊点法.找H的特殊点,把H点与D点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是
DEF的面积,根据鸟头定理,则有:
SSSS1
1
1
1
1
1
1
SABCDSAEDSBEFSCFD36—
36
36
3613.5.
2
2
2
2
2
2
2
S阴影
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积.
【解析】(法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P点与A点重合,贝S阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1,所以阴影部分的面积为
46
62(11)15平方厘米.
46
(法2)连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄,所以阴
6
影部分的面积为62(11)15平方厘米.
46
【例3】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB8,
AD15,四边形EFGO的面积为.
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的
面积之和,以及三角形AOE和DOG的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积.
由于长方形ABCD的面积为158120,所以三角形BOC的面积为120130,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120-7020;
44
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--30,所以
24
四边形EFGO的面积为302010.
另解:
从整体上来看,四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积,而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积,即1207050,所以四边形的面积为605010.
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是
阴影部分的面积为
36,E是AD的三等分点,AE2ED,则
【解析】
如图,连接OE.
根据蝶形定理,ON:
ND
SOEN—S
2
SCOE:
Scde
1
2SCAE:
SCDE1:
1,所以
OM:
MA
SBOE:
SBAE
1
——S巨形ABCD
34
11
362.7.
25
又SOED
SBDE:
SBAE
2
3,sOEA
s1S
OEM
5
2Soed6,所以阴影部分面积为:
1:
4,所以
OEA•
【例4】已知ABC为等边三角形,面积为400,D、E、F分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形
HBC)
【解析】因为D、E、F分别为三边的中点,所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线,也就与对应的边平行,根据面积比例模型,三角形ABN和三
角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半,即为200.
根据图形的容斥关系,有Sabc鬲
即400S丙200200Samhn,所以SW
SABNSAMC
SAMHN.
SAMHN,
又S阴影
SADF
S甲S乙Samhn,所以
S阴影SFS^S丙SADF
143140043
4
【例5】如图,已知CD5,DE7,EF15,FG6,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.
G
G
27;DG715628;
【解析】
连接AF,BD.
所以,Sbef
15
27
Scbf
Sbec
27SCBF,SAEG
SADG,SAED
28
箱Sadg
根据题意可知,CF5715
于是:
28sADG2IScbf65;28sadg^IScbf38可得sadg40.故三角形ADG的面积是40.
【例6】如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD:
AB2:
5,AE:
AC4:
7,Saade16平方厘米,求△ABC的面积.
【解析】连接BE,sade:
Saabead:
AB2:
5(24):
(54),
S^ABE:
SAABCAE:
AC4:
7(45):
(75),所以ADE:
SAABC(24):
(75),设
Saade8份,则Saabc35份,S^ade16平方厘米,所以1份是2平方厘米,
35份就是70平方厘米,△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?
…SvABC
3SvABE
又vAB
5AD
…SvADE
SVABE5SVABC15
【巩固】如图,
三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,
BE3,AE
6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
BDDC4,
【解析】
连接AD.
•/BE3,AE6
…AB3BE,SvABD3SVBDE
又vBDDC4,
…SvABC2SVABD,…SvABC6SVBDE,
【例7】如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:
AD5:
2,AE:
EC3:
2,ade12平方厘米,求△ABC的面积.
【解析】连接BE,ade:
abeAD:
AB2:
5(23):
(53)
SABE:
S^ABCAE:
AC3:
(32)(35):
(32)5,
所以S^ADE:
S^ABC(32):
5(32)6:
25,设ade6份,贝S$△abc25份,
Ssde12平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例8】如图,平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
H
E
E
又S^ABC1,所以S^FBE
3.
同理口」彳得S^GCF8,S^DHG15,S^AEH8•
以SEFGHS^AEHS^CFG
所以SABCD21.
SEFGH3618
S^DHGS^BEFSABCD8815+3+2
【解析】连接AC、BD.根据共角定理
•.•在△ABC禾口△BFE中,ABC与FBE互补,
•ABCABBC111
S^FBEBEBF门3.
36.
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此,原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)
【例10】如图所示,ABC中,ABC90,AB3,BC5,以AC为一边向ABC外作正方形ACDE,中心为O,求OBC的面积.
E
【解析】如图,将OAB沿着O点顺时针旋转90,到达OCF的位置.
由于ABC90,AOC90,所以OABOCB180.而OCFOAB,所以OCFOCB180,那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OBOF,BOFAOC90,所以BOF是等腰直角三角形,且斜边
BF为538,所以它的面积为82-16.
4
根据面积比例模型,OBC的面积为16510.
8
ABE,
5cm,求
【例11】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形
已知AE、BE的长分别为3cm、
AEB90,AC、BD交于O.
三角形OBE的面积.
【解析】如图,连接DE,以A点为中心,将ADE顺时针旋转90到ABF的位置.那么EAFEABBAFEABDAE90,而AEB也是90,所以四边形AFBE是直角梯形,且AFAE3,
所以梯形AFBE的面积为:
1/2\
35312(cm).
2
又因为ABE是直角三角形,根据勾股定理,AB2AE2BE2325234,
所以SAbd
那么Sbde
12
-AB217(cm2).
2/
SABDSABESADESABDSafBE17125(Cm),
所以Sobe
1
2sbde2・5(cm2).
【例12】如下图,六边形ABCDEF中,ABED,AFCD,BCEF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD24厘米,BD18厘米,请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?
【解析】如图,我们将BCD平移使得CD与AF重合,将DEF平移使得ED与AB重合,这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形BGFD的面积为
2418432平方厘米,所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
【例13】如图,三角形ABC的面积是1,
BD:
DC1:
2,AD与BE交于点F.
E是AC的中点,点D在BC上,且则四边形DFEC的面积等于,
【解析】方法一:
连接CF,根据燕尾定理,
设BDF
如图所标
所以Sdcef
1份,则SADCF
55
abc
1212
2份,
SAABF
BD1
SAABF
AE
Saacf
DC2
,S
△CBF
EC
SAABF
3份,
Saaef
SAEFC
1
3份,
1
方法二:
连接DE,由题目条件可得到SaABDABC
SAADE
adc
12S
23SABC
1BFSaabd
3,所以feS
3△ADE
1s11s111s1
Sadef
—S^DEB二二S^BEC二二二ABC二,
22323212
而SacdeSaabc.所以则四边形DFEC的面积等于—.
32312
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
D
E
C
1
3
y
【解析】设Sadef1份,则根据燕尾定理其他面积如图所示
S阴影
职BCD
12
5
12
平方厘米.
【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且AO2,DO3,那么CO的长度
3
是DO的长度的倍.
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件
S/ABD:
S/BCD1:
3,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又
观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出
结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一:
TAO:
OCsabd:
sbdc1:
3,二OC236,二OC:
OD6:
32:
1.
解法二:
作AHBD于H,CGBD于G.
•/s
ABD
3SBCD,…AH1CG,…sAOD
1
—sDOC
3
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形BGC的面积;⑵AG:
GC?
【解析】⑴根据蝶形定理,
⑵根据蝶形定理,
【例15】如图,平行四边形ABCD的对角线交于0点,ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求:
⑴求厶OCF的面积;⑵求△GCE的面积.
【例16】如图,长方形ABCD中,
BE:
EC2:
3,DF:
FC
1:
2,三角形DFG的面积
【解析】⑴根据题意可知,ABCD的面积为244616,那么△BCO和CDO的面积都是1628,所以AOCF的面积为844;
⑵由于ABCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为
862,
根据
蝶
形定理
EG:
FGScoe:
Scof2:
41:
2,所以
SGCE:
SGCFEG,
:
FG
"2,
那么S
GCE
1S
SCEF
1
22
12
3
3•
为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.
【解析】
SVDEF
【例17】
D
F
连接AE,FE.
因为BE:
EC2:
3
(311)S丄乩
(532)S长方形ABCD和8长方形ABCD
因为SvaED2S长方形ABCD,AG:
GF厘米,所以S/afd
1
2
12平方厘米.
ABCD的面积是72平方厘米.
D
F
DF:
FC1:
2
1
10
因为
5:
1,所以SvAGD
1、
SVAFDS长方形ABCD,所以长方形
6
如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,阴影部分的面积.
5Svgdf10平方
M是AD边上的中点.求图中
【解析】
因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC1:
2,根据梯形蝶形定理可以知道
Saamg:
Saabg:
Samcg:
Sabcg1:
(12):
(12):
21:
2:
2:
4,设S△AGM1份,则
Samcd123份,所以正方形的面积为1224312份,s阴影224份,所以s阴影:
S正方形1:
3,所以S阴影1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
A
D
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝶形定理得
2
S弟形(12)9(平方厘米),ecd3(平方厘米),那么
SWABCD12(平方厘米)•
【例18】已知ABCD是平行四边形,米.则阴影部分的面积是
BC:
CE3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘
平方厘米.
AD
【解析】连接AC.
由于ABCD是平仃四边形,
BC:
CE3:
2,所以CE:
:
AD
2:
3,
根据梯形蝶形定理,Svcoe
:
SAOC:
SVDOE
2
:
SVAOD2:
2
3:
2
3:
32
4:
6:
6:
9,所
以SvaoC6(平方厘
米),
SVAOD9(
平
方厘
米),又
SvaBCSvaCD6915(平方厘米),
阴影部分面积
只为
615
21(平方厘
米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所
示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SOCDSOAE.
2根据蝶形疋理,SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,所以S6(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那
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