数学《圆的标准方程》教学设计.docx
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数学《圆的标准方程》教学设计
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数学《圆的标准方程》教学设计(总9页)
数学《圆的标准方程》教学设计
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(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程:
根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2.通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力;
3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导―探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师:
前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。
请同学们考虑:
如何求适合某种条件的点的轨迹?
生:
①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M︳p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。
⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。
[多媒体演示]
师:
这就是建系、设点、列式、化简四步曲。
用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。
[给出标题]
师:
前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:
x2+y2=52即x2+y2=25.
若半径发生变化,圆的方程又是怎样的能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程
生:
x2+y2=r2.
师:
你是怎样得到的(引导启发)圆上的点满足什么条件
生:
圆上的任一点到圆心的距离等于半径。
即
,亦即x2+y2=r2.
师:
x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊:
圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?
生:
此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,
由两点间的距离公式得
即:
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师:
方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.
特别:
当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:
x2+y2=r2.
师:
圆的标准方程由哪些量决定?
生:
由圆心坐标(a,b)及半径r决定。
师:
很好!
实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。
由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、写出下列各圆的标准方程:
[多媒体演示]
①圆心在原点,半径是3:
________________________
②圆心在点C(3,4),半径是
:
______________________
③经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):
_______________________
2、变式题[多媒体演示]
①求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案:
(x-1)2+(y-3)2=
②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。
答案:
C(a,0),r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师:
下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1]已知圆的方程是x2+y2=17,求经过圆上一点P(
,
)的切线的方程。
师:
你打算怎样求过P点的切线方程?
生:
要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。
师:
斜率怎样求?
生:
。
。
。
。
。
。
师:
已知条件有哪些能利用吗不妨结合图形来看看(如图)
生:
切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径OP的斜率K1=
,所以切线的斜率K=-
=-
所以所求切线方程:
y-
=-
(x-
)
即:
x+
y=17(教师板书)
师:
对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(
,
)的切线方程
x+
y=17,你能作出怎样的猜想?
生:
。
。
。
。
。
。
师:
由x2+y2=17怎样写出切线方程
x+
y=17,与已知点P(
,
)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/]圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。
答案:
2x+3y=13即:
2x+3y-13=0
师:
发现规律了吗(
学生纷纷举手回答)
生:
分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。
师:
若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?
大胆地猜一猜!
生:
xox+yoy=r2.
师:
这个猜想对不对若对,可否给出证明
生:
。
。
。
。
。
。
[例2]已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。
解:
如图,因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率K1=
,∴切线的斜率K=-
=-
∴所求切线方程:
y-yo=-
(x-xo)
即:
xox+yoy=xo2+yo2亦即:
xox+yoy=r2.(教师板书)
当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。
归纳总结:
圆的方程可看成+=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。
(精确到
引导学生分析,共同完成解答。
师生分析:
①建系;②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。
解:
以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。
则圆心在Y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:
解得:
b=,r2=
∴圆的方程为x2+(y+2=.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得:
y=
≈(M)
答:
支柱A2P2的长度约为。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本P77练习2,3
师:
通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,试求过P点的圆的切线方程。
课本P81习题:
1,2,3,4
(二)预习课本P77~P79
教学设计说明
设计思想:
在教学过程中,教师遵循数学发展规律,并依据建构主义教育理论,创设一系列数学实验环境,在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明,强调主动建构,从深层次加强学生对知识的感知度,使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念:
设计的根本出发点是促进学生的发展。
教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的'关系,师生共同研究,共同提高。
设计思路:
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同,教材只是教学的蓝本,教师在理解教材编写意图的基础上,应发挥主观能动作用,对教材资源进行再加工、再创造,这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合,也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。
鉴于此,本节在给出圆的标准方程的过程中,运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想,使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理,同时引导学生对照圆的几何形状,观察和欣赏圆的方程,体会数学中的美——对称、简洁。
圆的标准方程的应用是本节的难点。
为了突破难点,设计三个例题。
第一、二个例题,从特殊到一般给出切线方程,培养学生探究问题的兴趣,不断完善自己的认知结构。
第三个例题,充分利用多媒体的动感演示,刺激学生的感官,引起更强的注意,从而使学生理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
最后设计了“问题延伸”,让学生带着问题走进课堂,又带着问题走出课堂,激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来,教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境,一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会,激发学生求知的欲望,促使学生掌握知识,解决问题。
媒体设计:
采用powerpoint媒体。
本节知识容量大,同时又有图形。
为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。
同时动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 圆的标准方程 数学 标准 方程 教学 设计