2
【答案】:
(D)
【解析】:
考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的
Q=(^1中02,«2,僅3)则04人0=(
,丿
2
v
(2
(2
(C)
\
<1
0
0、
<1
0
0、
【解析】:
Q=P
1
1
0
,则Q」=
-1
1
0
0
0
b
0
0
b
1丿
【答案】:
(B)
2丿
N(0,1)
【答案】:
(B)
【解析】:
从形式上,该统计量只能服从t分布。
故选B。
X1-X2
-,由正态分布的性质可知,X4-X2与Xs+j4"2均
/収3+X4-2丫伍辰
认-^?
2^丿
服从标准正态分布且相互独立,可知
X1-X2
72cr
)O
二、填空题:
9_14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
1
(9)lim(tanx严乂皿x_^?
【答案】:
eW
1、
【解析】:
lim(tanx严xax=e
limRanx」\1]
X制kCosx_sinxI
兀
1tanx-tan—
lim:
|(tanx-1=lim4
cosx—sinx」ycosx-sinx
44
tan
=lim——xm?
rHYI
X-一I1+tanx|
L4人
厂/兀
-V2sinX
忙4丿
-72si
=xm
兀
X-
\
兀
YI—!
1+tanxbtan4人4丿
'兀'
X
、4丿
=-72
1〉
所以lim(tanx『osxdinx=e
•tanx4
LCosx-sinx
」血
=e
(10)设函数f(X)」n低'X皂1
.2xT,xG
”f(f(x)),求dx
X=0
【答案】:
4
【解析】:
生
dx
7=f'(f(0))f'(0)=f'(_1)f'(0)
由f(x)的表达式可知f'(0)=f'(-1)=2,可知生
dx
=4
Xz0
(11)函数Z=f(X,y)满足limf(x:
y)~2x+_Ll2xmJx2+(y—1)2
=0,则dz
(0,1)一
【答案】:
2dx-dy
【解析】:
由题意可知分子应为分母的高阶无穷小,即
f(x,y)=2x-y+2+o(Jx2+(y-1)2),
cz
所以=
dx
(0,1)=2,—
(0,1)=—1,故dz
(0,1)=2dx-dy
4
(12)由曲线y=—和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为?
x
-..33
=Jdyfydx+JdyJ;dx=-+4ln2-一=4ln2
04‘2.422
(13)设
a为3阶矩阵,Ia=3,a为a的伴随矩阵,若交换a的第一行与第二行得到矩阵B,则
【答案】:
-27【解析】:
由于B=E12A,故BA=Ei2A・A^A|Ei2=3Ei2,
所以,IBA|=|3巳2|=33|E12
|=27*(-1)=—27.
11—
A,C互不相容,p(AB)=—,P(C)=—,则P(ABC)=
23
【解析】:
由条件概率的定义,
P(AB“怦
P(C)
1
其中P(C)=1-P(C)=1—
3
一-_一_“一_二,1
'2
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
=2
~3,
1
P(ABC)=P(AB)-P(ABC二—P(ABC),由于A,C互不相容,即AC,P(AC)=0,又
-3
ABCUAC,得P(ABC)=0,代入得P(ABC)=;,故P(ABC)=-.
演算步骤.
(15)(本题满分10分)
X122_2cosX
、丄I-e—e
计算lim4
x-0X4
X2
【解析】:
lim—XJ
2_2cosX-e
4
X
X2_2羊cosX
2_2cosXI・e—1
=limelim4
T7X4
=lim
^_j0
X2一2+2COSX
2
X
=lim—
^^0
4
X2
—+o(x)
12\丿
-2+2
Z24、
1-—+—+OX2)124!
^^
X
4
X
(16)(本题满分
10分)
=lim
1
=12
X4
计算二重积分JJeXxydxdy,其中D为由曲线y=JX与y
D
1所围区域。
【解析】
D={(x,y)|0vx<1,7Xvyc旷j,
',如图所示所以
JJeXxydxdy=lim(d^jteXxydy
D
1门
1f1
=limfeXxI——.
XT'0l2x2丿
1
dx
1112=一lim(feXdx-feXxdx)
=1lim(eT-eXx2
2x-0
11
11
0+2・0eXxdx)
=Tim(—1+2fxdeX)
2XTp
1
=一lim(T+2(eXx
2x-0
11
0十dx))
/件)与6+y(万元/件)。
2
x
对x积分得,C(x,y)=20x+—+D(y),
4
x212
又C(0,0)=10000,故c=10000,所以C(x,y)=20x+—+6y+—y2+10000
42
2)若x+y=50,贝Uy=50-x(0X212
C(x)=20x+才+6(50-X)+-(50-X)2+10000=3x2-36x+11550
4
3
所以,令C'(x)36=0,得x=24,y=26,这时总成本最小C(24,26)=11118
3)总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx'(24,26)=32,表示在要求总产量为50件时,
在甲产品为24件,这时要改变一个单位的产量,成本会发生32万元的改变。
(18)(本题满分10分)
1+x
2
故f'(X)30,
X即得xln+COSX-1一一>01-X2
1+xX2
可知,xs^rcos"1+亍-11)求表达式f(x)
2X2
2)求曲线的拐点y=f(x2)0f(—t2)dt
【解析】:
f(X)=C1eX+C2eS.再由f'(x)+f(x)=2eX得2C1e^C2e^^2ex,可知0=192=0。
f(X)=eX
令y”=0得X=0。
为了说明x=0是y”=0唯一的解,我们来讨论y”在x>0和x<0时的符号。
2X2/_l2
2x<0,2(1+2x)e(edtc。
,可知y"v0。
可知x=0是y"=0唯一的解。
(1
a
0
0
1、
a
0
0
1'
a
0
0
1、
0
1
a
0
-1
T
0
1
a
0
-1
T
0
1
a
0
-1
0
0
1
a
0
0
0
1
a
0
0
0
1
a
0
0
0
1
0丿
.0
2
-a
0
1
—a」
.0
0
3a
1
2
—a—a丿
0
0
1
a
-1
(I)求A
-1
a
4
-a
*1
-1
0
0
1'
‘1
0
0
-1
0'
0
1
-1
0
-1
,进一步化为行最简形得
0
1
0
-1
-1
0
0
1
-1
0
0
0
1
-1
0
.0
0
0
0
0>
.0
0
0
0
0>
4
则有
=0,可知a=—1。
=0及一a
此时,原线性方程组增广矩阵为
2
1-a
V
『03
V
3
1
,非齐次方程的特解为
-1
,故其通解为k
1
+
-1
1
0
1
0
6
.0>
可知导出组的基础解系为
线性方程组Ax=b存在2个不同的解,有|A|=0.
即:
1
AT
=(A—1)2(a+1)=0,得k=1或-1.
11p
fx1、
1
当A=1时,
000
1X2
=
0
U11丿
1
1x3丿
u丿
,显然不符,故A=-1.
(21)(本题满分
f1
10分)三阶矩阵A=!
0
I-1
=xtAtAx。
1)
2)
1、
1,A为矩阵A的转置,已知r(ATA)=2,且二次型
求a
求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
【解析】:
1)
由r(ATA)=r(A)=2可得,
=a+1=0=a=—1
-1
f2
f=x
2)
TAtAx=(X1,X2,X3)1。
(22
2Yx1)
2
X2
4人X3丿
=2X12
+2x22
2
+4X3+4X1X2+4X2X3
0
2
2
2
2
4
则矩阵B
0
A—2
-2
-2
-2
解得
B矩阵的特征值为:
对于
71=0,解i1E—B)X=0得对应的特征向量为:
对于
/戈=2,解(爲E-B)X=0得对应的特征向量为:
对于
為=6,解(-B)X=0得对应的特征向量为:
-1
1〕
12丿
将n1,1,%单位化可得:
f!
)^-1,■l0>
Q=(Ct1,Ct2,Ct3)
(22)(本题满分10分)
已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示,
X
0
1
—
P
1/2
1/3
1/6
Y
0
1
—
P
1/3
1/3
1/3
XY
0
1
—
4
P
7/12
1/3
0
1/12
求:
(1)P(X=2Y);
(2)cov(X-Y,Y卢PXY.
【解析】:
X
0
1
2
P
1/2
1/3
1/6
Y
0
1
2
P
1/3
1/3
1/3
XY
0
1
2
4
P
7/12
1/3
0
1/12
(1)P(X=2Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=1)=-+0=-
44
(2)cov(X-Y,丫戶cov(X,Y)-cov(Y,Y)
25245
cov(X,Y)=EXY-EXEY,其中EX=—,EX2=1,EY=1,EY2=—,DX=EX2-(EX)=1—
3399
DY=EY2-(EY2=5-1=2,EXY=—
333
22
所以,cov(X,Y)=0,cov(Y,Y)=DY,cov(X-Y,丫戶-—,^xy=0.
33
(23)(本题满分10分)
设随机变量X和丫相互独立,且均服从参数为1的指数分布,V=min(X,Y),U=max(X,Y)•
求
(1)随机变量V的概率密度;
(2)E(U+V)
【解析】:
(1)X概率密度为f(x)=T
[其r分布函数为"T:
1了,其它,X和丫同分布.
由V=min(X,YFV(v)=P2v},
2H而X,丫独立,故上式等于1-P{X>v}p{Y》v}=1-p—F(v)]=1
2「1—e'v,v》0,
0,其它.
「2e'v
故fv(v)=Fv(v)=|0'
V>0,
其它.
2(1-e」)e」,u〉0,fu(U)才'丿
L0,其匕.
些二O1
EU=fu2(1-efdu=—,EV“v2e'vdv=—,p3*2p2
—1所以E(U+V)=E(U)+E(V)拧+5=2.
(2)同理,U的概率密度为:
【答案】:
11=Tim(T+2(e-(eT)))=-
2x-03'2