人教A版高中数学必修二学案41圆的方程含答案.docx
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人教A版高中数学必修二学案41圆的方程含答案
2
22
222
222
4.1
圆的方程
4.1.1圆的标准方程
预习课本P118~120,思考并完成以下问题1.确定圆的几何要素有哪些?
2.圆的标准方程是什么?
3.点与圆的位置关系有哪几种?
怎样去判断?
[新知初探]
1.圆的标准方程
(1)圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示.
(3)圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r.设所给点为M(x,y),
00
则
位置关系
几何法
判断方法
代数法
点在圆上
点在圆内
点在圆外
│MA│=r⇔点M在圆A上│MA│
点M(x,y)在圆上⇔(x-a)+(y-b)=r0000
点M(x,y)在圆内⇔(x-a)+(y-b)<r0000
点M(x,y)在圆外⇔(x-a)+(y-b)>r0000
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2
一定表示圆()
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是a()答案:
(1)×
(2)×
2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()
A.在圆外C.在圆上
B.在圆内D.不确定
解析:
选A∵m2
+25>24,
∴点P在圆外.
3.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________________.解析:
圆心是(-2,0),半径是2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4.
答案:
(x+2)2+y2=4
222
2
求圆的标准方程
[典例]求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程.[解][法一待定系数法]
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
,
a+b=r,
则有a-+b-2a+3b+1=0,
2
=r2,
a=4,
解得b=-3,r=5.
∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
[法二几何法]
由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.∵弦的垂直平分线过圆心,
2x+3y+1=0,∴由
x+y-1=0,
x=4,得
y=-3,
即圆心坐标为(4,-3),半径r=42+-2=5.∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:
一是待定系数法,如法一,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得
圆心坐标和半径,如法二.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.
[活学活用]
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.
解:
法一:
设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,
13
AB
-2-5311
于是有
-a2+-b2=r2,-a2+-2-b2=r2,-3-a2+-4-b2=r2.
a=-3,
解得b=1,
r=5.
故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.
法二:
因为A(0,5),B(1,-2),所以线段AB的中点的坐标为,
22
,直线AB的斜率k
=
=-7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y-=x-,即x-7y+10=0.同理1-0272
可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0.
x-7y+10=0,由
2x+y+5=0
得圆心的坐标为(-3,1),
又圆的半径长r=-3-
2+-
2=5,
故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.
点与圆的位置关系
[典例]已知圆C的圆心为C(-3,-4),且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M(-
1
1,0),M(1,-1),M(3,-4)与圆C的位置关系.
23
[解]
因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径长r=|OC|=
-3-
2
+-4-
2=5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.
因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2
1
=25,所以点M(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M(3,-4)在
23
圆C外.
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程:
化为(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x-a)2+(y-b)2,比较代数式的值与r2的大小关系.
(3)下结论:
若(x-a)2+(y-b)2=r2,表示点在圆上;若(x-a)2+(y-b)2>r2,表示点在圆外;若(x-a)2+(y-b)2<r2,表示点在圆内.
此外,也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d x [活学活用] 已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断它们是否共圆,并说明理由.解: 设M,N,P三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∴ -a -a -a 2+b2=r2,2+b2=r2,2+-b 2=r2, a=6, 解得b=3,r2=25. ∴过点M,N,P的圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=25. 将点Q的坐标(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25, ∴点Q不在圆(x-6)2+(y-3)2=25上, ∴M,N,P,Q四点不共圆. 与圆有关的最值问题 y [典例]已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.求的最大值和最小值. x y [解]原方程表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆,设=k,即y=kx, x |2k-0| 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时=3,解得k=±3. k2+1 y 故的最大值为3,最小值为-3. [一题多变] 1.[变设问]在本例条件下,求y-x的最大值和最小值. 解: 设y-x=b,即y=x+b, |2-0+b| 当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时=3, 2 即b=-2±6. 故y-x的最大值为-2+6, 最小值为-2-6. 2.[变设问]在本例条件下,求x2+y2 的最大值和最小值. 解: x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)=(2+3)2 max =7+43, (x2+y2)=(2-3)2=7-43. min 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问 x-a 题. al (2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-x+截距的最值问题. bb (3)形如(x-a)2+(y-b)2平方的最值问题. 形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的 1.方程|x|-1=1-y-A.一个圆 C.半个圆 层级一学业水平达标 2所表示的曲线是() B.两个圆D.两个半圆 解析: 选 D 由题意,得 x|-2+|x|-1≥0, y- 2=1, 即 x- x≥1 2+ y-2=1, x+2+或 x≤-1, y-2=1, 故原方程表示两个半圆. 2.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是() A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析: 选A直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为213,则半径长为13,所以所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13. 3.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是() A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x-1)2+(y+3)2=29 C.(x+1)2+(y-3)2=116 D.(x-1)2+(y+3)2=116 |AB|1 解析: 选B圆心为线段AB的中点(1,-3),半径为= 22 + 2+-1+ 2= 29,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.故选B. 4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是() A.x+y-2=0C.x+y-3=0 B.x-y+2=0D.x-y+3=0 解析: 选D圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.故选D. 5.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2 的最小值为() A.2 C.3 B.1 D.2 解析: 选Bx2+y2表示圆上的点(x,y)与(0,0)间距离的平方,由几何意义可知最小值为14-52+122=1. 6.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2 上,则实数m=________. 解析: ∵P点在圆x2+y2=m2 上, ∴(-1)2+(3)2=4=m2, ∴m=±2. 答案: ±2 7.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是__________________. x-y+2=0,解析: 由 2x+y-8=0, 可得x=2,y=4,即圆心为(2,4),从而r= - 2+- 2=25,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 答案: (x-2)2+(y-4)2=20 8.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心且过点P(-1,1)的圆的方程为________________.解析: 因为已知圆的圆心为(2,-3),所以所求圆的圆心为(2,-3).又r= + 2+-3- 2=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案: (x-2)2+(y+3)2=25 9.求圆心在x轴上,且过A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程.解: 设圆心为(a,0), 则 a- 2+16= a- 2+9,所以a=-2. 半径r= a-2+16=5, 75169 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25. 10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x轴,y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程.解: 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.把点A,B的坐标代入,得 -1-a2+-b2=r2-a2+-b2=r2. , 消去r2,得b=5a-5.① 令x=0,则(y-b)2=r2-a2,y=b±r2-a2,∴在y轴上的截距之和是2b. 令y=0,则(x-a)2=r2-b2,x=a±r2-b2,∴在x轴上的截距之和是2a. ∴2a+2b=4,即a+b=2.② 75 ①代入②,得a=,∴b=. 66 ∴r2 75169=-1-2+3-2=. 6618 ∴圆的标准方程为x-2+y-2=. 6618 层级二应试能力达标 1.点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是() A.在圆内C.在圆外 B.在圆上D.不确定 解析: 选C∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2,∴点P在圆外. 2.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于() A.第一象限C.第三象限 B.第二象限D.第四象限 解析: 选D由题意,知(-a,-b)为圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心.由直线y=ax+b经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,故圆心位于第四象限. 3.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为() A.6 C.3 解析: 选B B.4 D.2 画出已知圆,利用数形结合的思想求解.如图, 圆 心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6.因 圆的半径为2,所以所求最短距离为6-2=4. 4.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为() 为 A.(x+1)2+y2=1 B.x2+y2=1 b a-1 a+1b 22 C.x2+(y+1)2=1 解析: 选C由已知圆(x-1)2+y2直线y=-x对称的点为(a,b), D.x2+(y-1)2=1 =1得圆心C(1,0),半径长r=1.设圆心C(1,0)关于 111 - 则 -=, =-1, 解得 a=0, b=-1. 所以圆C的方程为x2+(y+1)2=1. 5.若圆C与圆M: (x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆________________. C的标准方程是 解析: 圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M(-2,1),半径r=1,则点M关于原点的对称点为C(2,-1),圆C的半径也为1,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 答案: (x-2)2+(y+1)2=1 6.已知圆O的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________. 解析: 由题意,知点M在圆O内,MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大,最 大距离为- 2+- 2+5=5+2. 答案: 5+2 7.已知圆C的圆心为C(x,x),且过定点P(4,2). 00 (1)求圆C的标准方程. (2)当x为何值时,圆C的面积最小? 求出此时圆C的标准方程. 0 解: (1)设圆C的标准方程为(x-x)2+(y-x)2=r2(r≠0). 00 ∵圆C过定点P(4,2), ∴(4-x)2+(2-x)2=r2(r≠0). 00 ∴r2=2x2-12x+20. 00 ∴圆C的标准方程为(x-x)2+(y-x)2=2x2-12x+20. 0000 (2)∵(x-x)2+(y-x)2=2x2-12x+20=2(x-3)2+2, 00000 ∴当x=3时,圆C的半径最小,即面积最小. 0 此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2. 8.已知圆C: (x+3)2+(y-1)2=4,直线l: 14x+8y-31=0,求圆C关于直线l对称 11 的圆C的方程. 2 解: 设圆C的圆心坐标为(m,n). 2 1 n-14 m+37 -3+m1+n 22 7 因为直线l的斜率k=-,圆C: (x+3)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径r 4 =2, =, 所以,由对称性知 14×+8×-31=0, m=4, 解得 n=5. 所以圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=4. 2 4.1.2圆的一般方程 预习课本P121~123,思考并完成以下问题 1.圆的一般方程是什么? 有什么特点? 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么? 3.已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径? 4.圆的标准方程与一般方程怎样相互转化? [新知初探] 圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念: 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程对应的圆心和半径: DE 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为-,-,半径 22 1 长为 2 D2+E2-4F. [点睛]圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二次方程, 圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程x2+y2 +Dx+Ey+F=0(其中D,E,F 为常数)具有以下特点: (1)x2,y2 项的系数均为1; (2)没有xy项; (3)D2+E2-4F>0. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程x2+y2+x+1=0表示圆() (2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆() 答案: (1)× (2)√ 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是() A.(2,3) C.(-2,-3) B.(-2,3)D.(2,-3) -46 解析: 选D圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为-,-,即(2,-3). 22 3.若方程x2+y2+ax+ay+a=0表示圆,则a的取值范围是________________. 解析: 若方程x2+y2+ax+ay+a=0表示圆,则2a2-4a>0,∴a2-2a>0,∴a<0或a>2. 答案: (-∞,0)∪(2,+∞) 圆的一般方程的辨析 [典例]若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径. [解] (1)据题意知 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2 -20m>0, 1解得m<, 5 1 故m的取值范围为-∞, 5 . (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r=1-5m. 判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆.此时有两种途径: 一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数. [活学活用] 1.若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是________. 解析: 法一: 方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0,即为(x+a)2+(y+a)2=1-a,它表示圆,需满足1-a>0,故a<1. 法二: 要使方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,需满足(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1. 答案: (-∞,1) 2.已知曲线C: x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 求证: 当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上. 证明: ∵D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 又m≠2,∴(m-2)2>0,∴D2+E2+4F>0, 即曲线C是一个圆. x=2m, 设圆心坐标为(x,y),则由 y=-m 消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0 上. 求圆的一般方程 [典例]已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程. [解][法一待定系数法] 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将P,Q的坐标分别代入上式, DE 4D-2E+F+20=0,① 得 D-3E-F-10=0,② 令x=0,得y2+Ey+F=0,③ 由已知|y-y|=43,其中y,y是方程③的两根.1212 ∴(y-y)2=(y+y)2-4yy=E2-4F=48. 121212 D=-2, 联立①②④解得,E=0, F=-12 或 D=-10, E=-8,F=4. 故所求方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.[法二几何法] 由题意得线段PQ的中垂线方程为x-y-1=0. ∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,设其坐标为(a,a-1). 又圆C的半径长r=|CP|= a- 2+a+2.① 由已知圆C截y轴所得的线段长为43,而圆心C到y轴的距离为|a|. ∴r2=a2 43 + 2 2,代入①并将两端平方得a2-6a+5=0,解得a=1,a=5,∴r=13, 121 r=37. 2 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5
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