小学奥数26数的进制.docx
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小学奥数26数的进制
2.8数的进制
2.8.1相关概念
同学们在进行整数四则计算时,用的都是十进制即“满10进一”,对于其他进制则感到陌生。
实际上,你只要留惦一下,在我们日常生活中,不仅使用十进制还使用其他许多进制呢!
你信不信?
我举一些例子。
两只袜子为一双,两只水桶为一对,这里使用的是二进制;十二支铅笔为一打,十二个月算一年,这里使用的是十二进制;六十秒是一分,六十分是一时,这里使用的是六十进制;二十四时为一天,这里使用的是二十四进制;100平方分米等于一平方米,100平方厘米等于一平方分米,这里使用的是一百进制;1000米等于一千米,1000克等于1千克,这里使用的是一千进制;……。
怎么样?
实际上还可以发现更多的这样的例子。
随着科学技术的发展,数字电子计算机的使用日益普遍,每位同学可能都使用过电子计算器吧?
可是你们要知道,计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。
我们经常和计算器打交道,应该懂一些二进制数方面的知识。
1、什么叫二进制
所谓二进制,就是只用0与1两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”。
即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位(所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了)。
例如:
2在二进制中是10;3写成二进制是11;4写成二进制数便是100,那么5呢?
应该是101。
同学们按照“逢二进一”(或“满二进一”)的法则,很容易得到以下两种进制的数字的对照表:
表1
十进制
二进制
十进制
二进制
1
2
3
4
5
6
7
8
1
10
11
100
101
110
111
1000
9
10
11
12
13
14
15
16
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
2、二进制的优缺点
二进制的最大优点是:
每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。
这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示。
下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。
表2
0与1
白与黑
虚与实
负与正
点与划
小与大
1101
●●○●
--…-
++-+
――·-
○○о○
当然,二进制也有不足,正如大家看到的那样,同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。
2.8.2二进制转十进制
为了叙述的方便,我们约定:
用()2表示括号内写的数是二进制数,如(1011)2;用()10表示括号中写的数是十进制数,如(37)10。
步骤:
(1)将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数;
(2)将各数位上对应的十进制数求和,所得结果就是相应的十进制数。
例1将(10110)2改成十进制数
在表1中可以看到:
二进制数10表示十进制数2;二进制数100,表示十进制数4;二进制数1000,表示十进制数8;二进制数10000表示十进制数16;…;可以看出规律;二进制数100000应该表示十进制数32,…。
那么我们写下一个二进制数10110,则应表示它含有一个16,一个4与一个2,也就是
(10110)2=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1=(22)10
例2将(101101)2改成十进制数。
(101101)2=1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=(45)10
2.8.3十进制转二进制
将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。
例如要将(71)10写成二进制数,参见右式。
我们将71除以2,余数1相应写在右边(如果除尽,余数则写0);再将商35除以2,余数1相应写在右边;再将这步的商17除以2,重复上述过程,直到商等于1为止。
并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。
最后将这列余数由下到上写成一行数,这行数便是(71)10的二进制数表示法。
即
(71)10=(1000111)2
238……0
219……1
29……1
24……0
10
22……0
1……1
例2:
把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答:
把十进制数改写成二进制数,可以根据二进制
数“满二进一”的原则,用2连续去除这个十进制数,直到商为零
为止,把每次所得的余数按相反的顺序写出来,就是所化成的二进
制数,这种方法叫做“除以二倒取余数”。
即:
38(10)=100110
(2)
2.8.4二进制的四则运算
二进制四则运算和十进制四则运算原理相同,所不同的是十进制有十个数码,“满十进一”,二进制只有两个数码0和1,“满二进一”。
二进制运算口诀则更为简单。
2.8.4.1加法
二进制加法,在同一数位上只有四种情况:
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10。
只要按从低位到高位依次运算,“满二进一”,就能很容易地完成加法运算。
例1二进制加法
(1)10110+1101;
(2)1110+101011。
解加法算式和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一。
10110+1101=1000111110+101011=111001
通过计算不难验证,二进制加法也满足“交换律”,如101+1101=1101+101=10010。
多个数相加,先把前两个数相加,再把所得结果依次与下一个加数相加。
例2二进制加法
(1)101+1101+1110;
(2)101+(1101+1110)。
解
(1)101+1101+1110
(2)101+(1101+1110)
=10010+1110=101+11011
=100000;=100000
从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。
2.8.4.2减法
二进制减法也和十进制减法类似,先把数位对齐,同一数位不够减时,从高一位借位,“借一当二”。
例3二进制减法
(1)11010-11110;
(2)10001-1011。
解
(1)110101-11110=10111;
(2)10001-1011=110。
例4二进制加减混合运算
(1)110101+1101-11111;
(2)101101-11011+11011。
解
(1)110101+1101-11111
=1000010-11111
=100011
(2)101101-11011+11011
=10011+11011
=101101。
2.8.4.3乘法
二进制只有两个数码0和1,乘法口诀只有以下几条:
0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1
概括成口诀:
零零得零,一零得零,一一得一。
二进制乘法算式和十进制写法也一样。
例5二进制乘法
(1)1001×101;
(2)11001×1010。
解
(1)1011×101=110111;
(2)11001×1010=11111010。
例6二进制运算
(1)101×1101;
(2)1101×101;
(3)(101+11)×1010;
(4)101×1010+11×1010。
解
(1)
(2)
101×1101=1000001;1101×101=1000001;
(3)
(101+11)×1010=1010000;
(4)
101×1010+11×1010=1010000
从例6的计算结果可以看出,二进制乘法满足“交换律”;乘法对加法也满足“分配律”。
对这一结论,大家还可以进行多次验证。
2.8.4.4除法
除法是乘法的逆运算,二进制除法和十进制除法也一样,而且更简单,每一位商数不是0,就是1。
例7二进制除法
(1)10100010÷1001;
(2)10010011÷111。
解
(1)
(2)
10100010÷1001=10010;10010011÷111=10101。
例8求二进制除法的商数和余数
111010÷101
解
111010÷101所得商数是1011,余数是11。
在二进制除法中,被除数,除数,商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同的。
被除数=除数×商数+余数。
如例8,111010=101×1011+11。
2.8.5二进制小数
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