浅谈数列中an与S的关系学生版.docx

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浅谈数列中an与S的关系学生版

课题

浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用

对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝

．

而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1（n≥2）去解决不同类型的问题呢？

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：

　　归纳起来常见的角度有：

角度一：

直观运用已知的Sn，求an；

角度二：

客观运用an＝Sn－Sn－1（n≥2），求与an，Sn有关的结论；

角度三：

an与Sn的延伸应用．

角度一：

直观运用已知的Sn，求an

方法：

已知Sn求an的三个步骤（此时Sn为关于n的代数式）：

（1）先利用a1＝S1求出a1；

（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；

（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示数列{nan}的前n项和．

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an＝2n－3B．an＝2n＋3

C．an＝

D．an＝

2．（2015·河北石家庄一中月考）数列{an}满足：

a1＋3a2＋5a3＋…＋（2n－1）·an＝（n－1）·3n+1＋3（n∈N*），则数列的通项公式an＝．

3．（2015·天津一中月考）已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2（Sn＋1）＝n＋1，则an＝．

4．（2015·四川成都树德期中）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足：

＋

＋…＋

＝an＋1（n∈N*），求{bn}的前n项和．

二：

客观运用an＝Sn－Sn－1（n≥2），求与an，Sn有关的结论

此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）：

方向一：

若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an（n≥2）消去等式中所有Sn与Sn－1，保留项数an，在进行整理求解；

1．（2015·广州潮州月考）数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1（n≥1，n∈N*），则数列的通项公式是．

2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

方向二：

若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1（n≥2）消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝

．

（1）求证：

是等差数列；

（2）求an的表达式．

2．（2015·江西名校联盟调考）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a

－2Snan＋1＝0．

（1）求数列{Sn}的通项公式；

（2）求证：

＋

＋…＋

＞2（Sn+1－1）．（提示：

＞

）

角度三：

an与Sn的延伸应用

解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an＝

关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．

当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向．

方向一：

关于双重前n项和

此类题目中一般出现“数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向．但一般是求解最底层的an．

1．（2015·湖北武汉质检）设数列{an}的前n现和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

2．（2015·安徽滁州期末联考）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，且2Tn＝4Sn－（n2＋n），n∈N*．

（1）证明：

数列{an＋1}为等比数列；

（2）设bn＝

，证明：

b1＋b2＋…＋bn＜3．

方向二：

已知等式在整理过程中需要因式分解

此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{an}”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍．

1．（2015·山东青岛一模）各项均为正数的数列{an}满足a

＝4Sn－2an－1（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和．

（1）求a1，a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

2．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝

，n∈N*．

（1）求证：

数列{an}是等差数列；

（2）设bn＝

，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．

方向三：

需对已知等式变形后，再求解

1．（2015·江西五校联考）已知正项数列{an}中，其前n项和为Sn，且an＝2

－1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝

，Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Tn．

2．（2015·浙江温州中学月考）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝8，Sn＋1＋4Sn－1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求Tn．

3．（2015·江西三县联考）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）＝a1＋a2＋…＋an，B（n）＝a2＋a3＋…＋an＋1，C（n）=a3＋a4＋…＋an＋2，其中n∈N*．

（1）若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）依次组成等差数列，求数列{an}的通项公式；

（2）a1＝1，对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）依次组成公比为q的等比数列，求数列{an}的前n项和An．

4．（2015·辽宁沈阳诊断考试）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10．

（1）求证：

{lgan}是等差数列；

（2）设Tn是数列

的前n项和，求Tn；

（3）求使Tn＞

（m2－5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．

星期一

1．（2015·江苏扬州外国语中学模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为．

2．（2015·辽宁沈阳二中月考）已知数列{an}满足a1＋

＋…＋

＝a2n－1，求数列{an}的通项公式．

星期二

3．（2015·安徽江淮十校联考）已知函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x·y）=f（x）＋f（y），若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f（Sn＋2）－f（an）=f（3）（n∈N*），则an为（）

A．2n－1B.n

C.2n－1D.

n－1

4．（2015·辽宁鞍山二中期中）设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝

（bn－1），且a2=＝b1，a5＝b2．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设cn＝an·bn，Tn为{cn}的前n项和，求Tn．

星期三

5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2（an－1＋an－2＋…＋a2＋a1）（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式是．

6．（2015·广东桂城摸底）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a

＋an＝2Sn．

（1）求a1；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn＝

（n∈N*），Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：

Tn＜

．

星期四

7．（2015·大连双基测试）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N*），则an＝________.

8．（2014·烟台一模）已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且

，an，Sn成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足bn＝（log2a2n＋1）×（log2a2n＋3），求数列

的前n项和．

星期五

9．（2014·山西四校联考）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________．

10．（2014·湖南卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝

，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．

星期六

11．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（2n－3）2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：

＋

＋…＋

≤2－

.

12．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝

＋2（n－1）（n∈N*）．

（1）求证：

数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；

（2）是否存在自然数n，使得S1＋

＋

＋…＋

－（n－1）2＝2013？

若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

1．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝

a

＋

an（n∈N*）．

（1）求a1，a2，a3，a4的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

2．在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A（n）＝a1＋a2＋…＋an，B（n）＝a2＋a3＋…＋an＋1，C（n）＝a3＋a4＋…＋an＋2（n∈N*），若对于任意n∈N*，A（n），B（n），C（n）成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{|an|}的前n项和．

3．（2014·广东卷）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S

－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有

＋

＋…＋

＜

.