六年级奥数46几何公式.docx
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六年级奥数46几何公式
六年级奥数46、几何公式
(3)棱台、圆台公式。
正n棱台(如图1.15)的公式:
圆台(如图1.16)的公式:
(4)球的计算公式。
球的图形如图1.17所示。
S表=4πr2;
附录:
其他常用公式
【整数约数个数公式】一个大于1的整数,约数的个数等于它的质因数分解式中,每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。
例如,求4500的约数个数。
解∵4500=22×32×53
∴4500的约数个数是
(2+1)×(2+1)×(3+1)=36(个)。
【约数之和的公式】一个大于1的自然数N,将它分解质因数为
为自然数,则N的所有约数的和为S(N),可用下列公式计算:
例如求1992的所有约数的和。
解S(1992)=S(23×31×831)
=5040.
【分数拆项公式】在奥赛中,为使计算简便,经常用到下面四个分数拆项公式:
(1)连续两个自然数积的倒数,可拆成较小的自然数的倒数,减去较大的自然数的倒数。
即
(2)连续三个自然数的积的倒数,可拆成前两个自然数的积的倒数,减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。
即
(3)连续四个自然数的积的倒数,可拆成前三个自然数的积的倒数,
(4)一般分数拆项公式。
当n、d都是自然数时,有
【堆垛计算公式】
(1)三角形堆垛。
计算每堆三角形物体总个数S时,可将底边个数”乘以(n+1)再乘以(n+2),然后除以6。
用式子表示就是
例如,“一些桔子堆成三角形堆垛,底边每边4个,顶尖1个(如图1.18)。
桔子总数是多少个?
”
解依据三角形堆垛公式,得
=20(个)。
(2)正方形堆垛。
计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时,可将底边个数n乘以底边数加0.5的和,再乘以底边个数加1的和,最后将乘积除以3。
用式子表示,就是
例如,“一些苹果堆成正方形堆垛(如图1.19),底层每边放4个,顶尖放一个。
苹果总数是多少个?
”
解依据公式,得
(3)长方形堆垛。
计算底层为长方形(近似于横放的三棱柱形,图1.20。
)的堆垛物体的总个数S时,可将底层宽边的个数n1,长边的个数n2,按照下面的公式计算:
例如,“有一盘馒头,底边宽5个,长边上放8个,如图1.20所示,这盘馒头共有多少个?
”
解此题中,n1=5,n2=8。
依据长方形堆垛公式,得
=45+55=100(个)
或者是
(4)梯形堆垛。
计算梯形的堆垛(近似于棱台形堆垛)物体总个数S时,可将最上层总数S1,加上最下层总数S2后,乘以层数n,再除以2。
(梯形堆垛如图1.21所示。
)用式子表示就是
例如,“一些酒坛,堆成梯形的堆垛(图1.21),最上层为32只,最下层为45只,共堆有14层(每层差1只)。
酒坛的总数是多少只?
”
解依计算公式,得
【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点(不包括A、B端点),则AB线段上共有的线段条数S,计算的公式是:
S=(n+1)+n+(n-1)+…+3+2+1
例如,求下图(图1.22)中所有线段的条数。
解在线段AB上,共有五个分点。
根据数线条数的公式,得
S=(5+1)+5+4+3+2+1
注意:
这一公式,还可以用来数形如图1.23的三角形个数。
在这个图形中,因为底边BC上有4个分点,可依据数线段条数的计算公式,得三角形的个数为
【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格,另一边有n个小格,那么这个图形中长方形的总个数S为
S=(m+m-1+m-2+……+3+2+1)×(n+n-1+n-2+……+3+2+1)
例如,请数出下图1.24中共有多少个不同的长方形。
解长方形ABCD长边上有6个小格,宽边上有4个小格。
根据数长方形总数的公式,可得
=21×10=210(个)。
(答略)
注意:
这一公式,还可以用来数形如图1.25中的梯形的个数。
显然,这个图形中除了△ADE以外,其余均为大大小小的梯形。
最大的梯形下底上有五个小格,腰边上有4个小格。
利用数长方形个数的计算公式,可得梯形的总个数S为
=15×10=150(个)。
(答略)
【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份,宽被分成了n(n<m)等份(长和宽上的每一份长度是相等的),那么这个长方形中的正方形总数S为:
S=mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+……+(m-n+1)×1
特殊的,当一个正方形的边长被分成n等分时,则这个图形中正方形的总个数S为:
例1求下图中正方形的总个数(如图1.26)。
解图中AB边上有7个等分,AD边上有3个等份。
根据在长方形中数正方形个数的公式,可得:
S=7×3+6×2+5×1
=21+12+5
=38(个)。
(答略)
例2求下图(图1.27)中的正方形有多少个。
解图形中正方形每边上有4等分。
根据数正方形个数的计算公式,得
(答略)
【平面内n条直线最多分平面部
分数的公式】平面内有n条直线,其中注意两条直线都不平行,每条直线都与其他直线相交,且不交同一点。
那么,这几条直线将平面划分的部分数S为
例平面内有8条直线,它们彼此都相交,但不交于同一点,求这8条直线能把平面划分出多少个部分?
解根据平面内n条直线,最多分平面部分数的计算公式,得
S=2+2+3+4+5+6+7+8
【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆,每个圆都与其他圆相交,且不交于同一点,那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为
S=2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
=n2-n+2
例在一个平面上有20个圆,这20个圆最多可将平面划分为多少个部分?
解根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式,可得
S=2+1×2+2×2+…+19×2
=202-20+2
=400-20+2
=382(块)(答略)
【格点面积公式】
每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上,纵横两组平行线的交点,叫做“格点”,这样的方格纸,叫做“格点平面”。
在格点平面上求图形的面积,可以按照上面的公式去计算:
图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。
例如图1.28,求格点平面内A、B两个图形的面积。
解A图内部无格点,B图内部有9个格点;
A图周界上有9个格点,B图周界上有7个格点。
根据格点面积公式,得:
A图面积=9÷2-1=3.5(面积单位)
B图面积=(9+7)÷2-1=11.5(面积单位)(答略)
如果格点是由形如“∴”或“∵”构成(如图1.29),且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形,则计算多边形面积公式为
多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。
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