专题64 将军饮马模型与最值问题解析版.docx
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专题64将军饮马模型与最值问题解析版
专题64将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马?
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:
将军怎么走能使得路程最短?
【模型抽象】
如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【模型解析】
作点A关于直线的对称点A’,连接PA’,则PA’=PA,所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候,PA’+PB=A’B,此时为最小值(两点之间线段最短)
【模型展示】
【模型】一、两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.
此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.
【精典例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为___________.
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’,化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M.
当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P’P’’长,连接OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以P’P’’=OP’=OP=8.
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’,当P’、M、N、Q’共线时,四边形PMNQ的周长最小。
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN,即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)
题型一将军饮马中两定一动模型与最值问题
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称,将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧,转化为两点之间线段最短问题。
1、如图,在中,,是的两条中线,是上一个动点,则下列线段的长度等于最小值的是()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
在中,,AD是的中线,可得点B和点D关于直线AD对称,连结CE,交AD于点P,此时最小,为EC的长,故选B.
2、如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AB=8,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值_____.
【答案】10
【详解】
解:
如图:
连接DE交AC于点P,此时PD=PB,
PB+PE=PD+PE=DE为其最小值,
∵四边形ABCD为正方形,且BE=2,AB=8,
∴∠DAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,
在Rt△ADE中,根据勾股定理,得
DE=
=
=10.
∴PB+PE的最小值为10.
故答案为10.
3、如图,在平面直角坐标系中,矩形的边交轴于点,轴,反比例函数的图象经过点,点的坐标为,.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点为轴上一动点,当的值最小时,求出点的坐标.
【答案】
(1);
(2)
【详解】
解:
(1)∵是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵轴,
∴,
∴,
∵
∴,即
把点代入的得,
∴反比例函数的解析式为:
.
答:
反比例函数的解析式为:
.
(2)过点作垂足为,
∵,,
∴,
∴,
∴,
则点关于轴的对称点,直线与轴的交点就是所求点,此时最小,
设直线AB1的关系式为,将,,代入得,
解得:
,,
∴直线的关系式为,
当时,,
∴点
答:
点的坐标为.
4、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;
(3)试探究:
在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;
(2)点M的坐标为(0,3);
(3)符合条件的点P的坐标为(,)或(,﹣),
【详解】
解:
(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),
设直线AC的解析式为y=px+q,
把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4),
作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),
∵MB=MB′,
∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,
而BD的值不变,
∴此时△BDM的周长最小,
易得直线DB′的解析式为y=x+3,
当x=0时,y=x+3=3,
∴点M的坐标为(0,3);
(3)存在.
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,
∵直线AC的解析式为y=3x+3,
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3,
解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,);
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,
把A(﹣1,0)代入得+b=0,解得b=﹣,
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣,
解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,﹣).
综上所述,符合条件的点P的坐标为(,)或(,﹣).
5、如图1(注:
与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点三点,,.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是抛物线对称轴上的一点,求满足的值为最小的点坐标(请在图1中探索);
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点,使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形?
若存在,请求出点坐标,若不存在请说明理由.(请在图2中探索)
【答案】
(1),函数的对称轴为:
;
(2)点;(3)存在,点的坐标为或.
【详解】
解:
根据点,的坐标设二次函数表达式为:
,
∵抛物线经过点,
则,解得:
,
抛物线的表达式为:
,
函数的对称轴为:
;
连接交对称轴于点,此时的值为最小,
设BC的解析式为:
,
将点的坐标代入一次函数表达式:
得:
解得:
直线的表达式为:
,
当时,,
故点;
存在,理由:
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形,
则,
点在第四象限,故:
则,
将该坐标代入二次函数表达式得:
,
解得:
或,
故点的坐标为或.
题型二将军饮马中一定两动模型与最值问题
【专题说明】
一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题,进而求最值。
关键是作定点(或动点)关于动折点所在直线的对称点,通过等量代换转化问题。
【模型展示】
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN,即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)
【精典例题】
1、如图,在边长为的菱形中,,将沿射线的方向平移得到,分别连接,,则的最小值为____.
【答案】
【详解】
如图,过C点作BD的平行线,以为对称轴作B点的对称点,连接交直线于点
根据平移和对称可知,当三点共线时取最小值,即,又,
根据勾股定理得,,故答案为
2、点P是定点,在OA、OB上分别取M、N,使得PM+MN最小。
【解法】作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN,即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(垂线段最短)
3、点P是定点,在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.
【解法】分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.
3、如图,抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(﹣3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标;
(3)试求出AM+AN的最小值.
【答案】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;D点坐标为(3,5);
(2)M点的坐标为(0,)或(0,);(3)AM+AN的最小值为.
【详解】
(1)把A(﹣3,0),C(0,4)代入y=ax2﹣5ax+c得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OB=OA=3,
∴B(3,0),
∵BD⊥x轴交抛物线于点D,
∴D点的横坐标为3,
当x=3时,y=﹣×9+×3+4=5,
∴D点坐标为(3,5);
(2)在Rt△OBC中,BC==5,
设M(0,m),则BN=4﹣m,CN=5﹣(4﹣m)=m+1,
∵∠MCN=∠OCB,
∴当时,△CMN∽△COB,则∠CMN=∠COB=90°,
即,解得m=,此时M点坐标为(0,);
当时,△CMN∽△CBO,则∠CNM=∠COB=90°,
即,解得m=,此时M点坐标为(0,);
综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,);
(3)连接DN,AD,如图,
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OC平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO,
∵BD∥OC,
∴∠BCO=∠DBC,
∵DB=BC=AC=5,CM=BN,
∴△ACM≌△DBN,
∴AM=DN,
∴AM+AN=DN+AN,
而DN+AN≥AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号),
∴DN+AN的最小值=,
∴AM+AN的最小值为.
4、如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
【答案】
(1)结论:
CF=2DG,理由见解析;
(2)△PCD的周长的最小值为10+2.
【详解】
(1)结论:
CF=2DG.
理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
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