中考导练讲义第15讲一般三角形及其性质.docx
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中考导练讲义第15讲一般三角形及其性质
第15讲一般三角形及其性质
【章节知识清单】
知识点一:
三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
1.三角形的分类
(1)按角的关系分类
(2)按边的关系分类
失分点警示:
在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时,必须考虑三角形三边关系.
例:
等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为15.
2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
3.角的关系
(1)内角和定理:
①三角形的内角和等180°;
②推论:
直角三角形的两锐角互余.
(2)外角的性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求角度时,若所给条件含比例,倍分关系等,列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.
4.三角形中的重要线段
四线
性质
(1)角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
(2)当同一个三角形中出现两条高,求长度时,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.
角平分线
(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)
中线
(1)将三角形的面积等分
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线
平行于第三边,且等于第三边的一半
5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,则∠α=
∠BAC-∠CAE=
(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=
(∠C-∠B);
如图②,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则有∠O=
∠A+90°;
如图③,BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线,则∠O=
∠A,∠O’=
∠O;
如图④,BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线,则∠O=90°-
∠A.
对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题,会起到事半功倍的效果.
知识点二:
三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示:
运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS(三边对应相等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等)
ASA(两角和它们的夹角对应相等)
AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)
失分点警示
如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:
将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法:
如图①,连接公共边,构造全等.
②倍长中线法:
用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即AB+AC>2AD.
③截长补短法:
适合证明线段的和差关系,如图③、④.
例:
如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.
【章节典例解析】
【例题1】(2017湖北宜昌)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断.
【解答】解:
∵①剪开后的两个图形是四边形,它们的内角和都是360°,③剪开后的两个图形是三角形,它们的内角和都是180°;
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等,
故选B.
【例题2】(2017年江苏扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是( )
A.6B.7C.11D.12
【考点】K6:
三角形三边关系.
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围,进而求出三角形的周长取值范围,据此求出答案.
【解答】解:
设第三边的长为x,
∵三角形两边的长分别是2和4,
∴4﹣2<x<2+4,即2<x<6.
则三角形的周长:
8<C<12,
C选项11符合题意,
故选C.
【例题3】(2016·山东省德州市·3分)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于
AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.65°B.60°C.55°D.45°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.
【解答】解:
由题意可得:
MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,
∴∠DAC=30°,
∵∠B=55°,
∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,
故选A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
【例题4】(2016·山东省滨州市·3分)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )
A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°
【考点】等腰三角形的性质;对顶角、邻补角;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
【专题】计算题.
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,根据三角形的外角性质求出∠B=25°,由三角形的内角和定理求出∠BDE,根据平角的定义即可求出选项.
【解答】解:
∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,
∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,
∴∠B=25°,
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,
∴∠BDE=∠BED=(180°﹣25°)=77.5°,
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°,
故选D.
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形的外角性质,邻补角的定义等知识点的理解和掌握,熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.
【章节典例习题】
1.(2017广西河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A.中线B.角平分线C.高D.中位线
2.(2017贵州)如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是( )
A.120°B.90°C.100°D.30°
3.(2017浙江湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是 5 .
4.(2017江苏盐城)在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1= 120 °.
5.(2017•宁德)在△ABC中,AB=5,AC=8,则BC长不可能是( )
A.4B.8C.10D.13
6.(2016·青海西宁·2分)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= 2 .
7.(2017内蒙古赤峰)如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=
,则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C,
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:
如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:
(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF和DE2.
(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:
S1+S2=S3+S4.
【章节典例习题】参考答案
1.(2017广西河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A.中线B.角平分线C.高D.中位线
【考点】K3:
三角形的面积;K2:
三角形的角平分线、中线和高.
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答.
【解答】解:
∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分.
故选A.
2.(2017贵州)如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是( )
A.120°B.90°C.100°D.30°
【考点】K8:
三角形的外角性质.
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可.
【解答】解:
∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°,
故选:
C.
3.(2017浙江湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是 5 .
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可.
【解答】解:
边数n=360°÷72°=5.
故答案为:
5.
4.(2017江苏盐城)在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1= 120 °.
【考点】K8:
三角形的外角性质;K7:
三角形内角和定理.
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可.
【解答】解:
由三角形的外角的性质可知,∠1=90°+30°=120°,
故答案为:
120.
5.(2017•宁德)在△ABC中,AB=5,AC=8,则BC长不可能是( )
A.4B.8C.10D.13
【考点】K6:
三角形三边关系.
【专题】11:
计算题.
【分析】根据三角形三边的关系得到3<BC<13,然后对各选项进行判断.
【解答】解:
∵AB=5,AC=8,
∴3<BC<13.
故选D.
【点评】本题考查了三角形三边的关系:
三角形任意两边之和大于第三边.
6.(2016·青海西宁·2分)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= 2 .
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.
【解答】解:
作PE⊥OA于E,
∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠BOP=∠AOP=15°,
∴∠AOB=30°,
∵PC∥OB,
∴∠ACP=∠AOB=30°,
∴在Rt△PCE中,PE=
PC=
×4=2(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半),
∴PD=PE=2,
故答案是:
2.
7.(2017内蒙古赤峰)如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=
,则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C,
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:
如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:
(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF和DE2.
解:
S△DEF=
EF×DFsin∠F= 6
;
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 .
(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:
S1+S2=S3+S4.
【考点】KY:
三角形综合题.
【分析】
(1)直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论;
(2)方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式,再利用等边三角形的性质即可得出结论;
方法2、先用正弦定理得出S1,S2,S3,S4,最后用余弦定理即可得出结论.
【解答】解:
(1)在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8,
∴EF=3,DF=8,
∴S△DEF=
EF×DFsin∠F=
×3×8×sin60°=6
,
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49,
故答案为:
6
,49;
(2)证明:
方法1,∵∠ACB=60°,
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC,
两边同时乘以
sin60°得,
AB2sin60°=
AC2sin60°+
BC2sin60°﹣
AC•BCsin60°,
∵△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形,
∴S1=
AC•BCsin60°,S2=
AB2sin60°,S3=
BC2sin60°,S4=
AC2sin60°,
∴S2=S4+S3﹣S1,
∴S1+S2=S3+S4,
方法2、令∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,
∴S1=
absin∠C=
absin60°=
ab
∵△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形,
∴S2=
c•c•sin60°=
c2,S3=
a•a•sin60°=
a2,S4=
b•b•sin60°=
b2,
∴S1+S2=
(ab+c2),S3+S4=
(a2+b2),
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°,
∴a2+b2=c2+ab,
∴S1+S2=S3+S4.
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