求中心天体的质量与密度.docx
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求中心天体的质量与密度
求中心天体的质量与密度
求天体的加速度、质量、密度
'•知识聚焦
非表面
1.加速度:
表面上
MmGM
Gr2mg得g=r2
G丰
Rh
a=
GM
~2Rh
万有引力与航天)
基础知识:
一、研究对象:
绕中心天体的行星或卫星
2
MmmvG
rr
v2
GMm=mr2
r
■2r3
半径)
Mm
G*mr(〒)
(2二)2r3
t2g
(已知线速度与半
(已知角线速度与
(已知周期与半径)
总结:
M左
G
角速度三个
中,只
「、频率f、转
中,频任意组苔
會物理量理量。
:
、研究对象:
绕中心天体表面运行的行星
-Mmmv2
(已知线速度与
半径)
G=mR
R
3
R
M二
G
(已知角线速度与
半径)
P=—
4nG
(已知角速度)
2~
Mm-
mR()
2
GF=mR(〒)
m2『R3
t2g
(已知周期与半径)
—(已知周期)
如果绕中心天体表面运转,中心天体的密度与周期的平方即:
片=詈是一个常量,与任何因数都无关。
三、研究对象:
距离地面h高处的物体,万有引
力等于重力
R+
Mm
(Rh)2
=mg
2
g(Rh)
G
(已知某高度
处的重力加速度与距离)
四、研究对象:
地球表面的物体,
万有引力等于
重力
Mm
R2
二mg
gR2
G
体表面的重力加速度与半径)
P=
(已知中心天
3g
训练题(真题)
1宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方
向抛出一小球,经过时间t,小球落在星球表■■
面,测得抛出点与落地点之间的距离为L,若;ab抛出时的初速度增大到2倍,则抛出点与落地地c
点间的距离为3L,已知两落地点在同一水平图
面上,该星球的半径为R,引力常量为G,求该星球的质量M和密度p.
[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度,再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度.
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为
y=£gt2
设初始平抛小球的初速度为V,则水平位移
为X=vt.有(1gt2)2(vt)^L2①
2
当以2v的速度平抛小球时,水平位移为x'=2vt.所以有罰2)2(2vt)2=(、3L)2②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力,有mg=G学③
R
联立以上三个方程解得M二弓里
3Gt
而天体的体积为v=4「r3,由密度公式得
3
天体的密度为。
2某一物体在地球表面时,由弹簧测力计测得重160N,把此物体放在航天器中,若航天器以加速度-g(g为地球表面的重力加速度)垂直地面
上升,这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N,忽略地球自转的影响,已知地球半径R,求此航天器距地面的高度。
解析:
物体在地球表面时,重力为mg-160N①
根据万有引力定律,在地面附近有mg二響②
R
在距地面某一高度h时,由牛顿定律得Fz-mg=ma③根据万有引力定律,得mg=洛需④①②③④式并代入数据解得h=3R。
1、已知地球的半径为R,地面的重力加速度为
g,引力常量为G。
可求得地球的平均密度p
—O
答案3g/4nGR
【解析】
由mg=G曙和p=MsM得p
-n:
R
3
3g
4GR
1•根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量
2
由mg=G^得皿=詈.(式中Mg、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径•)
2•根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径,求中心天体的质量
卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供,利用牛顿第二定律得
22
小Mmv24
G—2mmrmr—2~
rrT
若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度•或线速度v,可求得中心天体的质量
2rv
GT
1.下列几组数据中能算出地球质量的是(万有引力常量G是已知的)()
A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚,要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径.已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量,所以A项不对.已知月球绕地球运行的周期和地球的半径,不知道月球绕地球的轨道半径,所以不能求地球的质量,所以B项不对•已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径,由G^^m=mr2可以求出中心天体地球的质量,所以C
r丿
42r3
-GT2,
2
项正确.由G啤w笃求得地球质量为
rT
所以D项正确
2.2010•全国卷II・21已知地球同步卫星离地
面的高度约为地球半径的6倍。
若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍,则该行星的自转周期约为
A.6小时B.12小时C.24小时D.36小时
【答案】B
43
Gm^'iRi
3
2
ri
=mi(
)2
ri
【解析】地球的同步卫星的周期为Ti=24小时,轨道半径为ri=7Ri,密度p。
某行星的同步卫星周期为T2,轨道半径为r2=3.5R2,密度p。
根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
43
一3
2
r2
Gm22R2
=m2(
两式化简得T2=号=12小时
3.(2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月
25日21时10分,载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功,9月27日翟志刚成功实施了太空行走。
已知神舟七号飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动,地球的半径R,万有引力常量为G。
在该轨道上,神舟七号航天飞船(.BCD)
A•运行的线速度大小为罕
B.运行的线速度小于第一宇宙速度
2
C•运行时的向心加速度大小伫刖
23
d•地球表面的重力加速度大小为4TRR2h)
TR
4.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1卩m到10m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3X104km延伸到1.4X105km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h,引力常量为6.67X10-11N•m/kg2,则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)
()
A.9.0X1016kgB.6.4X1017kg
C.9.0X1025kgD.6.4X1026kg
答案D
解析由万有引力作用提供向心力得
GMm4nr
2~—m2rT
所以m仝二4/i。
8)32
GT26.67"O」1汉(14汉3600)2
=6.4X1026kg
5.(09•全国19)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。
这颗行星的体积是地球的4.7
倍,是地球的25倍。
已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时,引力常量G=6.67X
10-11N-mi/kg2,,由此估算该行星的平均密度为
(D)
A.1.8X103kg/m3B.5.6X
103kg/m3
C.1.1X104kg/m3D.2.9X104kg/m3
Mm
4二2R
可求出地球的质量.然后根据
3M
4R3’
解析:
本题考查天体运动的知识•首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供可得该行星的密度约为2.9X104kg/m3。
6、(06北京卷)24.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。
认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量C
A.飞船的轨道半径
B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期
D.行星的质量
7.北京市昌平一中高三年级第二次月考有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的(D)
A.1;B.4倍;C.16倍;D.64倍。
8.(05北京理综20)已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4
倍.不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出()
A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9:
8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9:
4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8:
9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线
答案
C
解析
①'=J=4m得「■:
m3
V4nr3r
3
•「地
…打
丿地(r月广=81r)3=81
m月r地464
速度之比约为81:
4
②由mg=GM2m得gr
M
~2r
半)27)
81
16
3由mg=mTn^得t彳g
・•・!
地=匸兀戸=8
T月r月g地819
4由GMm=mVL得八.M
.・.Y地二M地r月二811=9
v月\M月r地542
9.(04北京理综20)1990年5月,紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同•已知地球半径R=
6400km,地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为
答案B解析质量分布均匀的球体的密度p
=3M/4nR3
地球表面的重力加速度:
g=GM/R=鱼奠
3
吴健雄星表面的重力加速度:
g'
=GM/i2=4nGrP
3
g/g'=R/r=400,故选项B正确.
10.湖南省长沙市一中2010届高三第五次月考随着太空技术的飞速发展,地球上的人们登陆其它星球成为可能。
假设未来的某一天,宇航员登上某一星球后,测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍,而该星球的平均密度与地球的差不多,则该星球质量大约是地球质量的(D)
A.0.5倍B.2倍C.4
倍D.8倍
11、(05河北、河南、安徽、山西)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。
由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求
得(CD)B.火星和太阳的质量之
比
C.火星和地球到太阳的距离之比D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
12、(05四川、陕西、贵州、云南、新疆、宁
夏、甘肃、内蒙)最近,科学家在望远镜中
看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。
假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳
运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有AD
A.恒星质量与太阳质量之比B.恒星密度
与太阳密度之比
C.行星质量与地球质量之比D.行星运行
速度与地球公转速度之比
13、(05黑龙江、吉林、广西)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月
球绕地球运行的周期T。
仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有BD
A•月球的质量
C•地球的半径
B•地球的质量
D•月球绕地球运行
速度的大小卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200km,运用周期127分钟。
若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是
A•月球表面的重力加速度
B.月球对卫星的吸引力
C•卫星绕月球运行的速度
D•卫星绕月运行的加速度
答案:
B
15.(09年安徽卷)2009年2月11日,俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。
这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。
碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。
假定有甲、乙两块碎片,绕地球运动的轨道都是圆,甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是
A.甲的运行周期一定比乙的长B.
甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小D.
甲的加速度一定比乙的大
答案:
D
JgM
解析:
由r可知,甲的速率大,甲碎片
R3
的轨道半径小,故B错;由公式可知甲的周期小故A错;由于未知两碎片的质量,无法判断向心力的大小,故C错;碎片的加速度是指
GMmGM
引力加速度由丁=ma得疋=a,可知甲的加速度比乙大,故D对。
16.(08江苏1)火星的质量和半径分别约为地球
的和2,地球表面的重力加速度为g,则火星
表面
的重力加
速度约为
()
A.0.2g
B.0.4g
C.2.5g
D.5g
答案
B
解析
在星球表面万有引力近似等于所受的
重力•
["由GMm得GM所以g火M火R地得o4
由—=mg得g厂,所以厂得g火=0.4g.
RRgM地FR火
17.(07宁夏理综14)天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和运行周期•由此可推算出
()
A.行星的质量B.行星的半径C.恒星的质量D.恒星的半径
答案C
18.(07昆明第一次教学质检)据报道:
我国第一
颗绕月探测卫星“嫦娥一号”将于2007年在
西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭发射升空.假设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面.若已知该卫星的运行周期、月球的半径、万有引力常量,则可求出
A.月球的质量B.月球的密度C.探
测卫星的质量D.月球表面的重力加速度
答案ABD
19.(07连云港一调)关于航天飞机与空间站对接问题,下列说法正确的是()
A.先让航天飞机进入较低的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接
B.先让航天飞机进入较高的轨道,然后再
对其进行加速,即可实现对接
C.若要从空间站的后方对接,应先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机加速,即可实现对接
D.若要从空间站的前方对接,应先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机减速.即可实现对接
答案A
20.(07四川理综17)我国探月的“嫦娥工程”已经启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球.假如宇航员在月球上测得摆长为I的单
摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度
D.
3n
16GrT
均匀、半径为r的球体,则月球的密度为
解析由
T=2n
2
4nI出GMmg厂,由厂
Tr
答案B
得:
GM=gr2,而n3,联立得:
3
21.(05全国卷I16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周,由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得()
A.火星和地球的质量之比B.火星和
太阳的质量之比
C.火星和地球到太阳的距离之比D.火
星和地球绕太阳运行速度大小之比
答案CD
解析设火星和地球质量分别为m、m2,它们到太阳的距离分别为ri、g它们绕太阳的运行速度分别为W、V2,
由万有引力提供向心力得
22
GMm4nrv
2—=m盯二m—rTr
由上式可知CD正确.
22.(05全国卷H18)已知引力常量G月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据,可以估算出的物理
量
()
A.月球的质量
C.地球的半径
有
B.地球的质量
D.月球绕地球运行速
度的大小
答案BD
22解析由万有引力提供向心力G^!
m=mVR=m^n^
RRT
4nR3
GT2
GM
v=
VR
23•安徽省两地2010届高三第一次联考检测组
成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率。
如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物
体做圆周运动,由此能得到半径为R、密度为p、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期To下列表达式中正确的是(A
D)
A.T=2—R3/GMB・T=2二3R3/GM
C・T=..:
JG-D・
24.上海市建平中学2010届高三摸底测试1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,
因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人,若已知万有引力常量G地球表面处的重力加速度g,地球半径为R地球上一个昼夜的时间为
Ti(地球自转周期),一年的时间T2(地球公转的周期),地球中心到月球中心的距离Li,地球中心到太阳中心的距离为L2.你估算出(AB)
、.2、.
A、地球的质量m地二譽B、太阳的质量
4i2C2
m太二GT22
C、月球的质量m“4李D可求月球、地球及
GT1
太阳的密度
25.我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”已于
2007年10月24日在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭成功发射升空.假设该卫星的绕月轨道是圆形的,且距离月球表面高度为h,并已知该卫星的运行周期为T,月球的直径为d,万有引力常量为G,则可求出()
23
A.月球质量M二njf护
B.月球探测卫星“嫦娥一号”在离月球表面h高度轨道上运行的速度v=nd/T
C.
D.月球表面的重力加速度
2n(d2h)3
d2T2
月球探测卫星“嫦娥一号”绕月轨道的半径r=d+h
答案A
26.发射航天器带来的轨道碎片等被人们称为太
空垃圾,太空垃圾给航天事业带来巨大隐患,
一颗迎面而来的直径0.5毫米的金属微粒,足以戳穿密封的航天服,太空垃圾不仅给航天事业带来巨大隐患,还污染宇宙空间,尤其是核动力发动机脱落,会造成放射性污染,有些太空垃圾能逐渐落回地面,在重返大气层的过程中烧毁.则这些太空垃圾在逐渐落回地面的过程中()
A.角速度逐渐增大B.线速度
逐渐减小
C.向心加速度逐渐减小D.周期
逐渐减小
答案AD
27.新华网11月7日报道:
北京时间2007年11月7日早上8时34分,“嫦娥一号”成功完成第三次近月制动,进入127分钟圆形越极轨道经过调整后的127分钟圆形越极轨道将是“嫦娥一号”的最终工作轨道,这条轨道距离月面200公里高度,运行速度约1.6千米/秒,经过月球的南北极上空,由于月球的自转作用,处于越极轨道的"嫦娥一号"可以完成包括月球南北极、月球背面的全月探测工作•“嫦娥一号”进入科学探测的工作轨道稳定后,其上的科学探测仪器将全展开.(已知万有引力常量G=6.67X10-11N•m2/kg2,月球可视为球体)根据上述报道可以估算下列哪些物理量
()
A.“嫦娥一号”与月球的引力
B.“嫦娥一号”的总质量
C.月球的平均密度D.
月球表面的物质结构
答案C
28.宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球,经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L,若抛
出时的初速度增大到2倍,则抛出点与落地点间的距离为3L,已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为R,引力常量为G,求该星球的质量M和密度p.
[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度,再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有
引力求出星球的质量和星球的密度.
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为y=ggt2
设初始平抛小球的初速度为V,则水平位移
为x=vt•有(2gt2)2(vt)^L2①
当以2v的速度平抛小球时,水平位移为x'=
2vt•所以有(lgt2)2(2vt)2=(3L)2②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引
联立以上三个方程解得
2-3LR2
3Gt2
力,有mg=GRm③而天体的体积为-}r3,由密度公式-V得天体
的密度为3L-
2兀GtR
29.(09•全国卷II・26)(21分)如图,
It"_p、q为某地区水平地面上的两点,在p—点正下方一球形区域内储藏有石油,假定区域周围岩石均匀分布,密度为';石油密度远小于「,可将上述球形区域视为空腔。
如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常
值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。
重力加速度在原坚直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。
为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象。
已知引力常数为
(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),PQ=x,求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
答案:
GVd
⑴卡;
(2)d=
.严-1
L2k、
Gr(k2"-1)
(2)若在水平地面上半径L的范围内发现:
重力加速度反常值在.与总(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析:
本题考查万有引力部分的知识.
(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为,'的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生
的附加引力GM^m’g①来计算,式中的m
r
是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,M=:
'V②
而r是球形空腔中心0至Q点的距离
r=£d2x2
g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q
点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿0Q方向,重力加速度反常m是这一改变在竖直方向上的投影td④
r
联立以上式子得
g=(d2GVd)3/2,⑤
(dx)
(2)由⑤式得,重力加速度反常a的最大值和最小值分别为gmax二⑥
d
GPd
(d2L2)3/2
由提设有:
gmax二k、「gminj⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空
腔的体积分别为
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- 中心 天体 质量 密度