届高考数学第一轮总复习检测17.docx
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届高考数学第一轮总复习检测17
1.已知0<θ<π4,则双曲线C1:
x2sin2θ-y2cos2θ=1与C2:
y2cos2θ-x2sin2θ=1的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等D.焦距相等
解析:
选D.由双曲线C1知:
a2=sin2θ,b2=cos2θ?
c2=1,由双曲线C2知:
a2=cos2θ,b2=sin2θ?
c2=1.
2.(2018·福建宁德模拟)已知椭圆x2a2+y29=1(a>0)与双曲线x24-y23=1有相同的焦点,则a的值为( )
A.2B.10
C.4D.34
解析:
选C.因为椭圆x2a2+y29=1(a>0)与双曲线x24-y23=1有相同的焦点(±7,0),
则有a2-9=7,∴a=4.
3.(2018·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A.3B.3
C.3mD.3m
解析:
选A.双曲线C的标准方程为x23m-y23=1(m>0),其渐近线方程为y=±33mx=±mmx,即my=±x,不妨选取右焦点F(3m+3,0)到其中一条渐近线x-my=0的距离求解,得d=3m+31+m=3.
4.(2018·河南开封模拟)设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.43B.53
C.54D.414
解析:
选B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍去).
5.(2018·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )
A.x216-y29=1B.x23-y24=1
C.x29-y216=1D.x24-y23=1
解析:
选C.由题意知,圆的半径为5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y=bax上,因此有a2+b2=254=3×ba,
解得a=3b=4,所以此双曲线的方程为x29-y216=1.
6.已知双曲线x29-y2a=1的右焦点的坐标为(13,0),则该双曲线的渐近线方程为________.
解析:
依题意知(13)2=9+a,所以a=4,
故双曲线方程为x29-y24=1,
则渐近线方程为x3±y2=0.
即2x±3y=0.
答案:
2x+3y=0或2x-3y=0
7.(2018·浙江六市六校联盟模拟)如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.
解析:
设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),
∴4=a2+b2,4a2-9b2=1,解得a2=1,b2=3,
∴双曲线的标准方程为x2-y23=1.
答案:
x2-y23=1
8.(2018·武汉模拟)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点.若|PF1|2|PF2|=8a,则双曲线的离心率e的取值范围是________.
解析:
设|PF2|=y,则(y+2a)2=8ay?
(y-2a)2=0?
y=2a≥c-a?
e=ca≤3.
答案:
(1,3]
9.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程.
解:
切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,
∴两渐近线方程为3x±y=0.
设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).
∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,
∴所求的双曲线方程为x2809-y280=1.
10.已知离心率为45的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为234.
(1)求椭圆及双曲线的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B,在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若BM→=MP→,求四边形ANBM的面积.
解:
(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则根据题意知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1且满足
a2-b2a=45,2a2+b2=234,解方程组得a2=25,b2=9.
∴椭圆的方程为x225+y29=1,双曲线的方程为x225-y29=1.
(2)由
(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由BM→=MP→,得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程,
得x2025+y209=1,(2x0-5)225-4y209=1,
消去y0,得2x20-5x0-25=0.
解得x0=-52或x0=5(舍去).
∴y0=332.由此可得M(-52,332),
∴P(-10,33).
则直线PA的方程是y=-335(x+5),
代入x225+y29=1,得2x2+15x+25=0.
解得x=-52或x=-5(舍去),
∴xN=-52,则xN=xM,所以MN⊥x轴.
∴S四边形ANBM=2S△AMB=2×12×10×332=153.
1.(2018·唐山市高三年级统考)已知双曲线C:
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足PF1→·PF2→=0,|PF1→|=3,|PF2→|=4,则双曲线C的离心率为( )
A.102B.5
C.52D.5
解析:
选D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|=|PF2|2+|PF1|2=5,因此该双曲线的离心率e=|F1F2||PF2|-|PF1|=5.
2.(2018·山西阳泉高三第一次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C:
x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2B.4
C.6D.8
解析:
选B.由题意知a=1,b=1,c=2,
∴|F1F2|=22,
在△PF1F2中,由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°
=|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②
①-②得|PF1||PF2|=4.
3.(2018·浙江杭州调研)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,左、右顶点分别为A1和A2,过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P,若|PA1→|是|F1F2→|和|A1F2→|的等比中项,则该双曲线的离心率为________.
解析:
由题意可知|PA1→|2=|F1F2→|×|A1F2→|,即b2a2+(a+c)2=2c(a+c),化简可得a2=b2,则e=ca=c2a2=a2+b2a2=2.
答案:
2
4.已知c是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的半焦距,则b-ca的取值范围是________.
解析:
b-ca=c2-a2-ca=e2-1-e=-1e2-1+e,由于e>1,且函数f(e)=-1e2-1+e在(1,+∞)上是增函数,那么b-ca的取值范围是(-1,0).
答案:
(-1,0)
5.(2018·湛江模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-3,求双曲线的离心率.
解:
(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax,∴a=b,
∴c2=a2+b2=2a2=4,
∴a2=b2=2,
∴双曲线方程为x22-y22=1.
(2)设点A的坐标为(x0,y0),
∴直线AO的斜率满足y0x0·(-3)=-1,
∴x0=3y0,①
依题意,圆的方程为x2+y2=c2,
将①代入圆的方程得3y20+y20=c2,即y0=12c,
∴x0=32c,
∴点A的坐标为(32c,12c),
代入双曲线方程得34c2a2-14c2b2=1,
即34b2c2-14a2c2=a2b2,②
又∵a2+b2=c2,
∴将b2=c2-a2代入②式,整理得
34c4-2a2c2+a4=0,
∴3(ca)4-8(ca)2+4=0,
∴(3e2-2)(e2-2)=0,
∵e>1,∴e=2,
∴双曲线的离心率为2.
6.(选做题)直线l:
y=3(x-2)和双曲线C:
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=3,又l关于直线l1:
y=bax对称的直线l2与x轴平行.
(1)求双曲线C的离心率e;
(2)求双曲线C的方程.
解:
(1)设双曲线C:
x2a2-y2b2=1过一、三象限的渐近线l1:
xa-yb=0的倾斜角为α.
因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.
又l:
y=3(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,
所以tan30°=ba=33.
于是e2=c2a2=1+b2a2=1+13=43,
所以e=233.
(2)由于ba=33,于是设双曲线方程为x23k2-y2k2=1(k≠0),
即x2-3y2=3k2.
将y=3(x-2)代入x2-3y2=3k2中,
得x2-3×3(x-2)2=3k2.
化简得到8x2-36x+36+3k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=1+3|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2
=2×362-4×8×(36+3k2)8=9-6k2=3,
解得k2=1.
故所求双曲线C的方程为x23-y2=1.
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