第二十一届希望杯全国数学邀请赛初一数学竞赛卷.docx
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第二十一届希望杯全国数学邀请赛初一数学竞赛卷
绝密★启用前
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一数学竞赛卷
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
82分钟;命题人:
xxx
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项.
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1、由一些相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其中正方
形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的左视图是
2、设a1,a2,a3是三个连续的正整数,则( )
A.a13|(a1a2a3+a2) B.a23|(a1a2a3+a2)
C.a33|(a1a2a3+a2) D.a1a2a3|(a1a2a3+a2)。
(说明:
a可被b整除,记作b|a。
)
3、若以x为未知数的方程x-2a+4=0的根是负数,则( )
A.(a-1)(a-2)<0 B.(a-1)(a-2)>0 C.(a-3)(a-4)<0 D.(a-3)(a-4)>0。
4、8个人用35天完成了某项工程的
。
此时,又增加6个人,那么要完成剩余的工程,还需要
的天数是( )
A.18 B.35 C.40 D.60。
5、如图所示,A是斜边长为m的等腰直角三角形,B,C,D都是正方形。
则A,B,C,D的面积的和等于( )
A.
m2 B.
m2 C.
m2 D.3m2。
6、在2009年8月,台风“莫拉克”给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难,台湾当局领导人马英
九在追悼“八八水灾”罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到,大陆同胞购款金额约
50亿新台币,是台湾接到的最大一笔捐款,展现了两岸人民血浓于水的情感。
50亿新台币折
合人民币约11亿多元。
若设1.1=m,则11亿这个数可表示成( )
A.9m B.m9 C.m´105 D.m´1010。
7、设a<0,在代数式|a|,-a,a2009,a2010,|-a|,(
+a),(
-a)中负数的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4。
第II卷(非选择题)
评卷人
得分
二、(题型注释)
8、Ifm=2,then
="( ")
A.-2
B.-1
C.1
D.2。
9、若ÐAOB和ÐBOC互为邻补角,且ÐAOB比ÐBOC大18°,则ÐAOB的度数是( )
A.54°
B.81°
C.99°
D.162°。
10、已知a和b是有理数,若a+b=0,a2+b2¹0,则在a和b之间一定( )
A.存在负整数
B.存在正整数
C.存在负分数
D.不存在正分数。
11、如图所示,直线AB、CD相交于点O。
若OM=ON=MN,
那么ÐAPQ+ÐCQP= 。
12、InrightFig.,ifthelengthofthesegmentABis1,Misthemidpoint
ofthesegmentAB,andpointCdividesthesegmentMBintotwoparts
suchthatMC:
CB=1:
2,thenthelengthofACis 。
(英汉词典:
length长度;segment线段;midpoint中点;divides…into分为,分成)
13、如图,在3´3的正方形网格中标出了Ð1和Ð2。
则Ð1+Ð2= 。
评卷人
得分
三、填空题(题型注释)
14、整数x,y满足方程2xy+x+y=83,则x+y= 或 。
15、右图中的正五角星有 条对称轴,图中与ÐA的2倍互补的角有 个。
16、若两个数的最小公倍数为2010,这两个数的最大公约数是最小的质数,则这两个数的和的最大值是 ,这两个数的差的最小值是 。
17、边长为1cm的8个小正方形拼成如图所示的长4cm、宽2cm的长方形。
将外围的格点从1号编到12号。
最初,点A、B、C分别位于4、8、12号格点上,现以逆时针方向同时移动A、B、C三点,每次各移动到下一个格点,绕了一周回到原先的位置,这过程中,rABC有 次成为直角三角形;rABC的面积最大是 cm2。
18、当|x-2|+|x-3|的值最小时,|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是 ,最小是 。
19、设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7是自然数,且x1 20、如果a,b,c都是质数,且b+c=13,c2-a2=72,则a+b+c= 。 21、一个两位的质数,如果将它的十位数字与个位数字交换后,仍是一个两位的质数,这样的 质数可称为“特殊质数”。 这样的“特殊质数”有 个。 22、甲乙两人沿同一条路骑自行车(匀速)从A站到B站,甲需要30分钟,乙需要40分钟,如 果乙比甲早出发5分钟去B站,则甲出发后经 分钟可以追上乙。 23、若以x为未知数的方程3x-2a=0与2x+3a-13=0的根相同,则a= 。 24、在数轴上,点A表示的数是3+x,点B表示的数是3-x,且A、B两点的距离为8,则|x|= 。 25、已知多项式2ax4+5ax3-13x2-x4+2021+2x+bx3-bx4-13x3是二次多项式,则a2+b2= 。 参考答案 1、B 2、B 3、D 4、C 5、A 6、C 7、B 8、D 9、C 10、C 11、240 12、 13、45 14、83,-85 15、5,10 16、2012,104 17、6,4 18、0,-1 19、236 20、20 21、9 22、15 23、3 24、4 25、13 【解析】 1、分析: 先细心观察原几何体中个位置正方体的数目,从左边看去,左边有2竖列,中间有3竖列,右边是1竖列. 解答: 解: 从左边看去,左边有2竖列,中间有3竖列,右边是1竖列,故选B. 2、分析: 先设出三个正整数,再用中间一个数表示出两头的数,利用平方差公式即可求解. 解答: 解: 设三个数分别为a1、a2、a3,则a1=a2-1,a3=a2+1, ∵a1=a2-1,a3=a2+1, ∴a1a2a3+a2=a2(a2-1)(a2+1)+a2=a2(a22-1)+a2=a23, ∴a1a2a3+a2能被a23整除. 故选B. 3、考点: 解一元一次不等式;一元一次方程的解. 分析: 根据方程的根为负数可得a的范围,将此范围代入个选项可得答案. 解答: 解: x-2a+4=0, 解得x=2a-4<0,∴a<2. A、当a<2时(a-1)>0,(a-2)>0,(a-1)(a-2)>0,故本选项错误; B、当a<2时(a-1)不一定大于0,(a-2)>0,(a-1)(a-2)也不一定大于0,故本选项错误; C、当a<2时不能确定(a-3)(a-4)<0,故本选项错误; D、当a<2时a-3<0,a-4<0,则(a-3)(a-4)>0,故本选项正确. 故选D. 点评: 本题考查解一元一次方程及一元一次不等式的知识,难度不大,注意a>2并不能确定(a-3)(a-4)的正负性. 4、应先算出一个人的工作效率,进而算出14个人的工作效率,还需要的天数=剩余的工作量÷14个人的工作效率,把相关数值代入即可求解. 解: 总工作量看做单位“1”.剩余工作量为1-1/3=2/3一个人的工作效率为1/3÷8÷35, ∴ , 故选C. 5、根据等腰直角三角形斜边长为m,即可求得等腰直角三角形腰长,则正方形B、C、D的面积均可以求出来. 解: 等腰直角三角形中斜边长为m,则腰长为 m,C,D的边长为 m, ∴A的面积为 × m× m= m2, C,D的面积为 m× m= m2, B的面积为m2, 故A、B、C、D的面积和为m2(1+ + + )= m2. 故选A. 6、科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 解: 11亿=m×109. 故选C. 7、略先根据乘方、绝对值、相反数的概念对各数进行化简,结合正负数的概念进行判断即可. 解;∵a<0, ∴|a|>0,-a>0,a2009<0,a2010>0,|-a|>0,( +a)=2a<0,( -a)=0, ∴a2009,( +a)两数为负数,共两个. 故选B. 此题考查了相反数,绝对值,非负数的性质等知识,关键是理解负数的概念,而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案.这就又要理解平方、立方、绝对值,正负号的变化等知识点. 8、 略 9、 略 10、 略 11、 略 12、 略 13、 略 14、本题首先通过将2xy+x+y=83等号左右两边同乘以一个数加、上一个数,从而使左边能够分解因式,右边变为有很少几对两整数相乘的形式.从而根据两边的对应关系,进一步求得x、y的值,进而求得x+y的值 : 解: ∵2xy+x+y=83? 4xy+2x+2y=166? 4xy+2x+2y+1=167? (2x+1)(2y+1)=167, ∵167是质数, ∴ 解得 ∴x+y=83或者-85 故答案为83,-85 15、正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴,有5条对称轴,且五角星的五个角相等,从而求得答案 解: 正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴,所以有5条对称轴. 与∠A的2倍即是∠AIE,与该角互为补角的角有∠AIC和∠DIE共两个, 同理可得出其他八个符合条件的角. 故答案为: 5,10 16、小的质数是2,而2010=2×3×5×67,因而这两个数就可以求出,即可求解 解: 2010=2×3×5×67,因为两个数的最大公约数为是最小的指数2,所以可设一数为2a,一数为2b. 可知a×b=3×5×67两数乘积一定,两数差越大,和越大. 所求,(2a+2b)max=2+2010=2012 (2a-2b)min=2×67-2×3×5=104. 故答案是: 2012和104 17、分别将三个点依次移动后连接即可判断出有几次形成了直角三角形,再根据三角形的边长可直接判断出△ABC的最大面积 解: 如图每种情况都画出来可得共计6次成为直角三角形(注意,图形一样,但点的位置不同算不同的图形). 图示的两个图形面积最大为4cm2. 故答案为: 6,4cm2 18、根据当|x-2|+|x-3|的值最小时,即可求得x的范围是2≤x≤3,且最小值是1,化简|x-2|+|x-3|-|x-1|,即可把x分成1≤x<2和2≤x≤3两种情况,在每个范围内分别取一个值,代入即可求得 解: 当|x-2|+|x-3|的值最小时,2≤x≤3, 又因为1不在2和3之间,所以可令x=2, 则|x-2|+|x-3|-|x-1|=0, 令x=3,则|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1, 所以,所求最大值为0,最小值为-1 19、不定方程的思想结合x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=13x1+20x2=2010,可得x1必是10的奇数倍,然后根据x1<x2可得出答案 解: ∵x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=13x1+20x2=2010, 利用整除性,x1必是10的奇数倍,又x1<x2, 可得 , (x1+x2+x3)max=2(x1+x2)max=2(50+68)=236. 故答案为: 236 20、由于a,b,c都是质数,且b+c=13,由此得到b,c中至少有一个2,而c2-a2=72,所以b=2,然后根据已知条件即可求出a、b的值 解: 由b+c=13,c2-a2=72得, b,c中至少有一个2, 分析可知,b=2, 则c=13-2=11, a2=121-72=49, ∴a=7, 所求a+b+c=20 21、先根据质数的性质列举出能组成两位的质数的数,再根据质数的概念对这些数组成的数进行检验,找出符合条件的质数即可 解: ∵0、2、4、5、6、8不能出现在这些数中的各个位数,(因为是质数,并且个位和十位要交换位置) ∴剩下的只有1、3、7、9这4个数字来组成, 又∵33、77、99是11的倍数, ∴排除33、77、99; 如果个位和十位数是3或者9的时候,那么得到的数字39、93又可以被3整除, ∴排除39、93, 若个位是1,十位是9组成的数是91,而91是7的倍数, ∴可排除19、91; ∴1、3、7、9这4个数中除去33、77、99、19、91组合以及39组合之后其他的就是正确答案: 11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个数. 故答案为: 9. 22、设甲出发后经x分钟可以追上乙.等量关系为: 乙的速度×(5+x)=甲x分走的路程,把相关数值代入求解即可 解: 设甲出发后经x分钟可以追上乙. 把全程看做单位“1”.甲速为 ,乙速为 ×(5+x)= x, 解得x=15. 故答案为: 15 23、两个方程的解相同,联立两方程组成方程组可解得a的值 解: 由题意得: 解得 故填3. 24、利用数轴上点的坐标判断它与0的关系,然后再根据A、B两点的距离为8,可得|x|的值 解: ∵|AB|=|(3+x)-(3-x)|=8 化简得|2x|=8, 即|x|=4, 故答案为4 25、考点: 解二元一次方程组;代数式求值;多项式. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 根据多项式的次数的定义,可知此多项式中次数最高的项的次数为二,即高于二次的项的系数为0.故本题可先将多项式2ax4+5ax3-13x2-x4+2021+2x+bx3-bx4-13x3合并同类项,再分别令四次项系数、三次项系数为0,得出关于a、b的二元一次方程组,解此方程组求出a、b的值,然后代入即可得到a2+b2的值. 解答: 解: ∵2ax4+5ax3-13x2-x4+2021+2x+bx3-bx4-13x3=(2a-b-1)x +(5a-13+b)x -13x +2x+2021, 又∵此多项式为二次多项式, ∴ , 解得 . 所以a +b =2 +3 =13. 故答案为13. 点评: 本题主要考查了多项式的次数的定义: 多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.一个多项式的次数为二次,即此多项式中高于二次的项的系数为0.本题根据多项式的次数的定义,得出四次项系数、三次项系数都为0是解题的关键.
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- 第二十一 希望 全国 数学 邀请赛 初一 竞赛