最新人教A版高中数学选修22测试题全套含答案.docx

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最新人教A版高中数学选修22测试题全套含答案

最新人教A版高中数学选修2-2测试题全套及答案

单元测评

（一）　导数及其应用（A卷）

（时间：

90分钟　满分：

120分）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，共50分．

1．下列各式正确的是（　　）

A．（sina）′＝cosa（a为常数）

B．（cosx）′＝sinx

C．（sinx）′＝cosx

D．（x－5）′＝－x－6

解析：

由导数公式知选项A中（sina）′＝0；选项B中（cosx）′＝－sinx；选项D中（x－5）′＝－5x－6.只有C正确．

答案：

C

2．曲线y＝在点（－1，－1）处的切线方程为（　　）

A．y＝2x＋1　　　　　B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2

解析：

∵y′＝＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为：

y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.

答案：

A

3．已知对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）．且x>0时，f′（x）>0，g′（x）>0，则x<0时（　　）

A．f′（x）>0，g′（x）>0B．f′（x）>0，g′（x）<0

C．f′（x）<0，g′（x）>0D．f′（x）<0，g′（x）<0

解析：

f（x）为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′（x）>0；g（x）为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′（x）<0.

答案：

B

4．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则a＝（　　）

A．2　　　B．3C．4　　　D．5

解析：

f′（x）＝3x2＋2ax＋3，

∵f′（－3）＝0.

∴3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5.

答案：

D

5．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（　　）

A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7

C．a<0或a>21D．a＝0或a＝21

解析：

f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′（x）≥0恒成立，函数不存在极值点．

答案：

A

6．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列结论正确的是（　　）

A．在区间（－2,1）内f（x）是增函数

B．在区间（1,3）内f（x）是减函数

C．在区间（4,5）内f（x）是增函数

D．在x＝2时，f（x）取极小值

解析：

由图象可知，当x∈（4,5）时，f′（x）>0，

∴f（x）在（4,5）内为增函数．

答案：

C

7．若函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（　　）

A．－5B．7

C．10D．－19

解析：

∵y′＝－3x2＋6x＋9＝－3（x＋1）（x－3），

∴函数在[－2，－1]内单调递减，

最大值为f（－2）＝2＋a＝2.

∴a＝0，最小值为f（－1）＝a－5＝－5.

答案：

A

8．曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于（　　）

A.B.

C．1D.

解析：

函数y＝x2－1与x轴的交点为（－1,0），（1,0），且函数图象关于y轴对称，故所求面积为

S＝2（1－x2）dx＝2|＝2×＝.

答案：

D

9．设f（x）＝则f（x）dx等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

f（x）dx＝x2dx＋dx

＝x3|＋lnx|＝.

答案：

A

10．若函数f（x）在R上可导，且f（x）>f′（x），则当a>b时，下列不等式成立的是（　　）

A．eaf（a）>ebf（b）B．ebf（a）>eaf（b）

C．ebf（b）>eaf（a）D．eaf（b）>ebf（a）

解析：

∵′＝

＝<0，

∴y＝单调递减，又a>b，

∴<，

∴eaf（b）>ebf（a）．

答案：

D

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．如果函数f（x）＝x3－6bx＋3b在区间（0,1）内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．

解析：

存在与x轴平行的切线，即f′（x）＝3x2－6b＝0有解．

又∵x∈（0,1），∴b＝∈.

答案：

12．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.

解析：

∵y′＝3x2＋2ax＋b，

∴⇒或

当时，y′＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.

答案：

4

13．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．

解析：

设圆柱的高为h，底面半径为R，根据条件4R＋2h＝4，得h＝2－2R,0

∴V＝πR2h＝πR2（2－2R）＝2πR2－2πR3，

由V′＝4πR－6πR2＝0得R＝，且当R∈时，函数V递增；R∈时，函数V递减，

故R＝时，V取最大值π.

答案：

π

14．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v（t）＝2－t（速度的正方向与x轴的正方向一致），则t＝3时，动点P移动的路程为________．

解析：

由v（t）＝2－t≥0得0≤t≤2，

∴t＝3时，点P移动的路程为

s＝（2－t）dt－（2－t）dt

＝|－|＝.

答案：

三、解答题：

本大题共4小题，满分50分．

15．（12分）已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在x＝2处的切线方程；

（2）求曲线过点（2,4）的切线方程．

解：

（1）∵y′＝x2，

∴在点P（2,4）处的切线斜率k＝y′|x＝2＝4.

又x＝2时y＝4，

∴在点P（2,4）处的切线方程：

4x－y－4＝0.4分

（2）设曲线y＝x3＋与过点P（2,4）的切线相切于点A，

则切线斜率k＝y′|x＝x0＝x，

∴切线方程为y－＝x（x－x0），

即y＝x·x－x＋.8分

∵点P（2,4）在切线上，

∴x－3x＋4＝0，

∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.

故所求的切线方程为y＝x＋2或y＝4x－4，即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.12分

16．（12分）设函数f（x）＝aex＋＋b（a>0）．

（1）求f（x）在[0，＋∞）内的最小值；

（2）设曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

解：

（1）f′（x）＝aex－，

当f′（x）>0，即x>－lna时，f（x）在（－lna，＋∞）上递增；

当f′（x）<0，即x<－lna时，f（x）在（－∞，－lna）上递减．

①当00，f（x）在（0，－lna）上递减，在（－lna，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）内的最小值为f（－lna）＝2＋b；

②当a≥1时，－lna≤0，f（x）在[0，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）内的最小值为f（0）＝a＋＋b.6分

（2）依题意f′

（2）＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－（舍去）．

所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.

故a＝，b＝.12分

17．（12分）若函数f（x）＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间及极值．

解：

（1）f′（x）＝2ax＋2－，

由f′

（1）＝2a＋＝0，得a＝－.4分

（2）f（x）＝－x2＋2x－lnx（x>0）．

f′（x）＝－x＋2－＝

由f′（x）＝0，得x＝1或x＝2.8分

①当f′（x）>0时1

②当f′（x）<0时02.

当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下：

x

（0,1）

1

（1,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

↘

↗

－ln2

↘

因此f（x）的单调递增区间是（1,2），单调递减区间是（0,1），（2，＋∞）．

函数的极小值为f

（1）＝，极大值为f

（2）＝－ln2.12分

18．（14分）已知两个函数f（x）＝7x2－28x－c，g（x）＝2x3＋4x2－40x.

（1）若对任意x∈[－3,3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；

（2）若对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数c的取值范围．

解：

（1）∵f（x）≤g（x）恒成立，

∴c≥（－2x3＋3x2＋12x）max.

令F（x）＝－2x3＋3x2＋12x，x∈[－3,3]，

∴F′（x）＝－6x2＋6x＋12，x∈[－3,3]，

令F′（x）＝0得x＝－1或x＝2.

∴当x∈[－1,2]，f′（x）≥0，f（x）单调递增，

当x∈[－3，－1）或x∈（2,3]，f′（x）<0，

f（x）单调递减，4分

又∵F

（2）＝20，F（－3）＝45，

∴F（x）max＝F（－3）＝45，∴c≥45.7分

（2）∵f（x1）＝7（x1－2）2－28－c，x1∈[－3,3]，

∴f（x1）max＝f（－3）＝147－c，

∵g（x）＝2x3＋4x2－40x，

∴g′（x）＝6x2＋8x－40.

∵x∈[－3,3]，

∴当x∈[－3,2]时，g′（x）≤0，g（x）单调递减；

x∈（2,3）时，g′（x）>0，g（x）单调递增．

∴x2∈[－3,3]时，g（x2）min＝g

（2）＝－48.10分

又∵f（x1）≤g（x2）对任意x1，x2∈[－3,3]都成立，

∴147－c≤－48，即c≥195，

即实数c的取值范围为[195，＋∞）.14分

单元测评

（二）　导数及其应用（B卷）

（时间：

90分钟　满分：

120分）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，共50分．

1．函数f（x）在x＝1处的导数为1，则

的值为（　　）

A．3　　　　　　　　　B．－

C.D．－

答案：

D

2．函数f（x）＝axm（1－x）n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（　　）

A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2

C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1

答案：

B

3．曲线y＝e－2x＋1在点（0,2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为（　　）

A.B.

C.D．1

答案：

A

4．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（　　）

A．S＝（x2－x）dxB．S＝（x－x2）dx

C．S＝（y2－y）dxD．S＝（y－）dy

解析：

两函数图象的交点坐标是（0,0），（1,1），故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝

（x－x2）dx.

答案：

B

5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln（x＋2）－x，当x＝b时取到极大值c，则ad等于（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

解析：

y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－20，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln（－1＋2）－（－1）＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A.

答案：

A

6．下列图象中，有一个是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，a≠0）的导数f′（x）的图象，则f（－1）的值为（　　）

（1）

（2）

　（3）

A.B．－

C.D．－或

解析：

f′（x）＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a＝0，f′（x）＝x2－1，但已知a≠0，故f′（x）的图象为第三个图，∴f′（0）＝0，∴a＝±1，又其对