整式的乘法及因式分解压轴题解析.docx
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整式的乘法及因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解
【知识脉络】
【根底知识】
1.单项式的乘法法那么:
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,那么连同它的指数作为积的一个因式.
3a2b2×2abc=〔3×2〕×〔a2b2×abc〕=6a3b3c
2.单项式与多项式的乘法法那么:
a(b+c+d)=ab+ac+ad
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
3.多项式与多项式的乘法法那么:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
4.乘法公式:
①完全平方公式:
〔a+b〕2=a2+2ab+b2
〔a-b〕2=a2-2ab+b2
语言表达:
两个数的和〔或差〕的平方等于这两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的2倍.
②平方差公式:
〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2
语言表达:
两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.
5.因式分解〔难点〕
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
一、掌握因式分解的定义应注意以下几点:
〔1〕分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;
〔2〕因式分解必须是恒等变形;
〔3〕因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式.
二、熟练掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
〔1〕提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三局部:
①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的一样字母;③指数——一样字母的最低次数;
〔2〕提公因式法的步骤:
第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
〔3〕注意点:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-〞号,使括号的第一项的系数是正的.
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
①平方差公式:
a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕
②完全平方公式:
a2+2ab+b2=〔a+b〕2
a2-2ab+b2=〔a-b〕2
【典例解析】
例题1:
数学家创造了一个魔术盒,当任意数对〔a,b〕进入其中时,会得到一个新的数:
〔a﹣1〕〔b﹣2〕.现将数对〔m,1〕放入其中,得到数n,再将数对〔n,m〕放入其中后,最后得到的数是﹣m2+2m.〔结果要化简〕
【考点】整式的混合运算.
【分析】根据题意的新定义列出关系式,计算即可得到结果.
【解答】解:
根据题意得:
〔m﹣1〕〔1﹣2〕=n,即n=1﹣m,
那么将数对〔n,m〕代入得:
〔n﹣1〕〔m﹣2〕=〔1﹣m﹣1〕〔m﹣2〕=﹣m2+2m.
故答案为:
﹣m2+2m
【点评】此题考察了整式的混合运算,熟练掌握运算法那么是解此题的关键.
例题2:
乘法公式的探究与应用:
〔1〕如图甲,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,请你写出阴影局部面积是a2﹣b2〔写成两数平方差的形式〕
〔2〕小颖将阴影局部裁下来,重新拼成一个长方形,如图乙,那么长方形的长是a+b,宽是a﹣b,面积是 〔a+b〕〔a﹣b〕 〔写成多项式乘法的形式〕.
〔3〕比拟甲乙两图阴影局部的面积,可以得到公式〔两个〕
公式1:
〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2
公式2:
a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
〔4〕运用你所得到的公式计算:
10.3×9.7.
【考点】平方差公式的几何背景.
【分析】〔1〕中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2;
〔2〕中的长方形,宽为a﹣b,长为a+b,面积=长×宽=〔a+b〕〔a﹣b〕;
〔3〕中的答案可以由〔1〕、〔2〕得到〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2;反过来也成立;
〔4〕把10.3×9.7写成〔10+0.3〕〔10﹣0.3〕,利用公式求解即可.
【解答】解:
〔1〕阴影局部的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2;
〔2〕长方形的宽为a﹣b,长为a+b,面积=长×宽=〔a+b〕〔a﹣b〕;
故答案为:
a+b,a﹣b,〔a+b〕〔a﹣b〕;
〔3〕由〔1〕、〔2〕得到,公式1:
〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2;
公式2:
a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
故答案为:
〔a+b〕〔a﹣b〕,a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕;
〔4〕10.3×9.7=〔10+0.3〕〔10﹣0.3〕
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91.
例题3:
如图,将一边长为a的正方形〔最中间的小正方形〕与四块边长为b的正方形〔其中b>a〕拼接在一起,那么四边形ABCD的面积为〔 〕
A.b2+〔b﹣a〕2B.b2+a2C.〔b+a〕2D.a2+2ab
考点:
勾股定理.
分析:
先求出AE即DE的长,再根据三角形的面积公式求解即可.
解答:
解:
∵DE=b﹣a,AE=b,
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××〔b﹣a〕•b
=b2+〔b﹣a〕2.
应选:
A.
点评:
此题考察的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
例题4:
如图1,我们在2021年1月的日历中标出一个十字星,并计算它的“十字差〞〔将十字星左右两数,上下两数分别相乘再将所得的积作差,称为该十字星的“十字差〞〕.该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48,再选择其他位置的十字星,可以发现“十字差〞仍为48.
〔1〕如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的“十字差〞,可以发现相应的“十字差〞也是一个定值,那么这个定值为24.
〔2〕假设将正整数依次填入k列的长方形数表中〔k≥3〕,继续前面的探究,可以发现相应“十字差〞为与列数k有关的定值,请用k表示出这个定值,并证明你的结论.
〔3〕如图3,将正整数依次填入三角形的数表中,探究不同十字星的“十字差〞,假设某个十字星中心的数在第32行,且其相应的“十字差〞为2021,那么这个十字星中心的数为975〔直接写出结果〕.
【考点】规律型:
数字的变化类.
【分析】〔1〕根据题意求出相应的“十字差〞,即可确定出所求定值;
〔2〕定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕,理由为:
设十字星中心的数为x,表示出十字星左右两数,上下两数,进而表示出十字差,化简即可得证;
〔3〕设正中间的数为a,那么上下两个数为a﹣62,a+64,左右两个数为a﹣1,a+1,根据相应的“十字差〞为2021求出a的值即可.
【解答】解:
〔1〕根据题意得:
6×8﹣2×12=48﹣24=24;
故答案为:
24;
〔2〕定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕;
证明:
设十字星中心的数为x,那么十字星左右两数分别为x﹣1,x+1,上下两数分别为x﹣k,x+k〔k≥3〕,
十字差为〔x﹣1〕〔x+1〕﹣〔x﹣k〕〔x+k〕=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1,
故这个定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕;
〔3〕设正中间的数为a,那么上下两个数为a﹣62,a+64,左右两个数为a﹣1,a+1,
根据题意得:
〔a﹣1〕〔a+1〕﹣〔a﹣62〕〔a+64〕=2021,
解得:
a=975.
故答案为:
975.
【跟踪训练】
1.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕,从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=〔a+b〕2.
2.如图,有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各假设干,如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形,通过计算说明三类卡片各需多少?
3.a、b、c是△ABC的三条边,且满足a2+bc=b2+ac,那么△ABC是〔 〕
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
4.在日历上,我们发现某些数会满足一定的規律,比方2021年1月份的日历,我们设计这样的算法:
任意选择其中的2×2方框,将方框中4个位置上的数先平方,然后穿插求和,再相减请你按照这个算法完成以下计算,并答复以下问题
[2021年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
〔1〕计算:
〔12+92〕﹣〔22+82〕=14,﹣=14,自己任选一个有4个数的方框进展计算14
〔2〕通过计算你发现什么规律,并说明理由.
5.〔x+y〕2=25,xy=
,求x﹣y的值.
6.
,那么〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2的值为1.
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2,这个多项式为2m﹣2m2+2m3.
②6x2+5x﹣6÷〔2x+3〕=〔3x﹣2〕.
③小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报一个被除式,小丽报一个除式,要求商必须是3ab.假设小玉报的是3a2b﹣ab2,那么小丽报的是a﹣b;假设小丽报的是9a2b,那么小玉报的整式是27a3b2.
④如图甲、乙两个农民共有4块地,今年他们决定共同投资搞饲养业,为此他们准备将这4块地换成宽为〔a+b〕cm的地,为了使所换到的面积与原来地的总面积相等,交换之后的地的长应为a+cm.
8.阅读下面的解答过程,求y2+4y+8的最小值.
解:
y2+4y+8=y2+4y+4+4=〔y+2〕2+4≥4,∵〔y+2〕2≥0即〔y+2〕2的最小值为0,
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程,求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值.
参考答案:
1.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕,从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=〔a+b〕2.
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】根据提示可知1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形,利用面积和列出等式即可求解.
【解答】解:
两个正方形的面积分别为a2,b2,两个长方形的面积都为ab,组成的正方形的边长为a+b,面积为〔a+b〕2,
所以a2+2ab+b2=〔a+b〕2.
【点评】此题考察了运用完全平方公式分解因式,关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系.
2.如图,有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各假设干,如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形,通过计算说明三类卡片各需多少?
【考点】多项式乘多项式.
【分析】根据长乘以宽,表示出大长方形的面积,即可确定出三类卡片的数.
【解答】解:
∵〔2a+b〕〔a+2b〕=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2,
∴需要A类卡片2,B类卡片2,C类卡片5.
3.a、b、c是△ABC的三条边,且满足a2+bc=b2+ac,那么△ABC是〔 〕
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
【考点】因式分解的应用.
【分析】等式左边分解因式后,利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b,即可确定出三角形形状.
【解答】解:
等式变形得:
〔a+b〕〔a﹣b〕﹣c〔a﹣b〕=0,即〔a﹣b〕〔a+b﹣c〕=0,
∵a+b﹣c≠0,
∴a﹣b=0,即a=b,
那么△ABC为等腰三角形.
应选:
C.
4.在日历上,我们发现某些数会满足一定的規律,比方2021年1月份的日历,我们设计这样的算法:
任意选择其中的2×2方框,将方框中4个位置上的数先平方,然后穿插求和,再相减请你按照这个算法完成以下计算,并答复以下问题
[2021年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
〔1〕计算:
〔12+92〕﹣〔22+82〕=14,﹣=14,自己任选一个有4个数的方框进展计算14
〔2〕通过计算你发现什么规律,并说明理由.
【考点】整式的混合运算.
【分析】〔1〕先算乘法,再合并即可;
〔2〕设最小的数字为n,那么其余三个分别为n+8,n+1,n+7,根据题意得出算式[n2+〔n+8〕2]﹣[〔n+1〕2+〔n+7〕2],求出即可.
【解答】解:
〔1〕〔12+92〕﹣〔22+82〕=1+81﹣4﹣64=14,
﹣=100+324﹣121﹣289=14,
〔32+112〕﹣〔42+102〕=9+121﹣16﹣100=14,
故答案为:
14;
〔2〕计算结果等于14,
理由是:
设最小的数字为n,那么其余三个分别为n+8,n+1,n+7,
所以[n2+〔n+8〕2]﹣[〔n+1〕2+〔n+7〕2]
=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49
=14.
5.〔x+y〕2=25,xy=
,求x﹣y的值.
【考点】完全平方公式.
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
【解答】解:
∵〔x+y〕2=x2+2xy+y2,
∴25=x2+y2+
,
∴x2+y2=
∵〔x﹣y〕2=x2﹣2xy+y2,
∴〔x﹣y〕2=
﹣
=16
∴x﹣y=±4
6.
,那么〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2的值为1.
考点:
因式分解-运用公式法.
分析:
首先利用完全平方公式展开进而合并同类项,再将代入求出即可.
解答:
解:
∵〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2
=〔a2+2ab+b2〕﹣〔a2﹣2ab+b2〕
=4ab,
∴将
,代入上式可得:
原式=4ab=4×
×
=1.
故答案为:
1.
点评:
此题主要考察了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键.
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2,这个多项式为2m﹣2m2+2m3.
②6x2+5x﹣6÷〔2x+3〕=〔3x﹣2〕.
③小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报一个被除式,小丽报一个除式,要求商必须是3ab.假设小玉报的是3a2b﹣ab2,那么小丽报的是a﹣b;假设小丽报的是9a2b,那么小玉报的整式是27a3b2.
④如图甲、乙两个农民共有4块地,今年他们决定共同投资搞饲养业,为此他们准备将这4块地换成宽为〔a+b〕cm的地,为了使所换到的面积与原来地的总面积相等,交换之后的地的长应为a+cm.
考点:
整式的混合运算.
分析:
①利用2m乘1﹣m+m2计算即可;
②把除式和商相乘即可;
③根据被除式÷商=除式,被除式=除式×商列式计算即可;
④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等,而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,得到4块土地换成一块地后面积为〔a2+bc+ac+ab〕米,又此块地的宽为〔a+b〕米,根据矩形的面积公式得到此块地的长=〔a2+bc+ac+ab〕÷〔a+b〕,把被除式分解后再进展除法运算即可得到结论.
解答:
解:
①2m〔1﹣m+m2〕=2m﹣2m2+2m3;
②〔2x+3〕〔3x﹣2〕=6x2+5x﹣6;
③〔3a2b﹣ab2〕÷3ab=a﹣b,
3ab•9a2b=27a3b2;
④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,
∴将这4块土地换成一块地后面积为〔a2+bc+ac+ab〕米,
而此块地的宽为〔a+b〕米,
∴此块地的长=〔a2+bc+ac+ab〕÷〔a+b〕
=〔a2+ac+bc+ab〕÷〔a+b〕
=[a〔a+c〕+b〔a+c〕÷〔a+b〕]
=〔a+b〕〔a+c〕÷〔a+b〕
=a+c.
故答案为:
2m﹣2m2+2m3;6x2+5x﹣6;a﹣b,27a3b2;a+c.
点评:
此题考察整式的混合运算,掌握计算方法是解决问题的关键.
8.阅读下面的解答过程,求y2+4y+8的最小值.
解:
y2+4y+8=y2+4y+4+4=〔y+2〕2+4≥4,∵〔y+2〕2≥0即〔y+2〕2的最小值为0,
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程,求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值.
考点:
因式分解的应用.
专题:
阅读型.
分析:
〔1〕多项式配方后,根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最小值;
〔2〕多项式配方后,根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最大值.
解答:
解:
〔1〕m2+m+4=〔m+〕2+
,
∵〔m+〕2≥0,
∴〔m+〕2+
≥
.
那么m2+m+4的最小值是
;
〔2〕4﹣x2+2x=﹣〔x﹣1〕2+5,
∵﹣〔x﹣1〕2≤0,
∴﹣〔x﹣1〕2+5≤5,
那么4﹣x2+2x的最大值为5.
点评:
此题考察了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解此题的关键.
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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