中考数学几何专题《四边形综合》四.docx
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中考数学几何专题《四边形综合》四
2021年中考数学几何专题:
《四边形综合》(四)
1.已知四边形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=4,BC=3.
(1)如图1,P为AB边上的一点,以PD、PC为边作▱PCQD,请问对角线PQ,DC能否互相垂直,为什么?
(2)如图1,P为AB边上的一点,以PD、PC为边作▱PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
(3)如图1,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作▱PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?
如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(4)如图2,若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=nPD(n为常数),再以PE、PC为边作▱PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?
如果存在,直接写出这个最小值;如果不存在,请说明理由.
2.如图1,菱形ABCD中,∠ABC=120°,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F,连接CE.
(1)证明:
△ADP≌△CDP;
(2)判断△CEP的形状,并说明理由;
(3)如图2,把菱形ABCD改为正方形ABCD,其他条件不变,直接写出线段AP与线段CE的数量关系.
3.四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点.连结DE、CF.
(1)若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图
(1).
①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度.
(2)如图
(2),若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P.探究:
当∠B与∠EPC满足什么关系时,
成立?
并证明你的结论.
4.如图,正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2
和
,对角线BD、FH都在直线L上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距.当中心O2在直线L上平移时,正方形EFGH也随平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变.
(1)计算:
O1D= ,O2F= .
(2)当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2= .
(3)随着中心O2在直线L上的平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?
并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程).
5.如图,在正方形ABCD中,点E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC边于点G,连接DF,DG.
(1)依题意补全图形,并证明∠FDG=∠CDG;
(2)过点E作EM⊥DE于点E,交DG的延长线于点M,连接BM.
①直接写出图中和DE相等的线段;
②用等式表示线段AE,BM的数量关系,并证明.
6.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满足b=
+
+18;一动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动;动点Q从点C出发在线段CO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,点P、Q分别从点A、C同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)求B、C两点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形APQO是矩形?
并求出此时P,Q两点坐标;
(3)当t为何值时,四边形PQCB是平行四边形?
并判断其是否可以成为菱形?
7.如图2,将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I,求证:
I是EG的中点.
8.如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE、BG.
(1)请写出线段BG和AE的位置关系及数量关系;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度α(0°<α<90°)时(图②),
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由;
(3)若BC=DE=4,正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α(0<α<360°)过程中,当AE为最大值时,请直接写出AF的值.
9.如图,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,点E是CD边上的一点,且DE=2cm,动点P从A点出发,以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E.设点P运动的时间为t秒.
(1)请以A点为原点,AB所在直线为x轴,1cm为单位长度,建立一个平面直角坐标系,并用t表示出点P在不同线段上的坐标.
(2)在
(1)相同条件得到的结论下,是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时,若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
10.同学们:
八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转,图形旋转过程中蕴含着众多数学规律,以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法.
【问题提出】
如图①,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,点M、N分别在边BC、CD上.求证:
MN=BM+DN.
证明思路如下:
第一步:
如图②,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE,再证明E、B、M三点在一条直线上.
第二步:
证明△AEM≌△ANM.
请你按照证明思路写出完整的证明过程.
【初步思考】
如图③,四边形ABCD和CEFG为正方形,连接DG、BE,得到△DCG和△BCE.
下列关于这两个三角形的结论:
①周长相等;②面积相等;③∠CBE=∠CDG.
其中所有正确结论的序号是 .
【深入研究】
如图④,分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形,连接EF,GH,IJ,KL.若▱ABCD的面积为8,则图中阴影部分(四个三角形)的面积之和为 .
参考答案
1.解:
(1)当对角线PQ,DC互相垂直,则▱PCQD是菱形,
故PD=PC,
当PD=PC时,此时AP=BC=3,AD=BP=1,
即当AP=BC=3,AD=BP=1时,对角线PQ,DC互相垂直;
(2)过点D作DE⊥BC于点E,
∵梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形,
∴DE=AB=4,BE=AD=1,
∴CE=BC﹣BE=2,
∴DC=2
,
∵四边形PCQD是平行四边形,
若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,
设PB=x,则AP=4﹣x,
在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(4﹣x)2+1=(2
)2,
化简得x2﹣4x+3=0,
∵△=(﹣4)2﹣4×1×3=4>0,
∴解得:
x1=1,x2=3,
∴即对角线PQ与DC可能相等,此时AP=1或3;
(3)如图2,作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
∵∠APQ=∠HQP,
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH,
∵PD∥QC,
∴∠DPQ=∠CQP,
∴∠APD=∠CQH,
在△ADP和△HCQ中,
∴△ADP≌△HCQ(AAS),
∴AD=CH=1,
∴BH=BC+CH=3+2=4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4.
(4)如图3,作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
∵AB∥QH,
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH.
∵以PE,PC为边作▱PCQE,
∴PE∥CQ,
∴∠DPQ=∠PQC,
∴∠APD=∠CQH,
∴Rt△ADP∽Rt△QHC.
∴
=
,即
=
,
∵DE=nPD,
∴
=
,
∵AD=1,
∴HC=n+1,
∵BC=3,
∴BH=3+n+1=n+4.
∴由图知,当PQ⊥AB时,PQ的长最小值为n+4,
2.解:
(1)在菱形ABCD中,AD=CD,∠ADP=∠CDP,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ADP≌△CDP(SAS),
(2)由
(1)得:
△ADP≌△CDP
∴PA=PC,∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD,
∴∠CPF=∠CDF
∵∠ABC=∠ADC=120°,
∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°,
∴△CPE是等边三角形,
(3)CE=
,
证明如下:
如前同理可证:
PC=PE,∠EPC=∠CDE,
∵在正方形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠EPC=∠CDE=90°,
∴△CPE是等腰直角三角形三角形,
∴CE=
=
3.解:
(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠ADC=90°.
∵AD=12,CD=10,
∴BC=12,AB=10.
∵点E是AB的中点,
∴AE=
AB=5.
②∵DE⊥CF,
∴∠DPC=∠DPF=90°,
∴∠DFC+∠DCF=90°,∠DFC+∠FDP=90°,
∴∠DCF=∠FDP.
∵∠A=∠ADC,
∴△CFD∽△DEA,
∴
.
在Rt△AED中,由勾股定理,得
ED=13.
∴
,
∴CF=
.
答:
CF的长度为
;
(2)当∠B+∠EPC=180°时,
成立.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EPC=180°,
∴∠A=∠EPC=∠FPD,
∵∠FDP=∠EDA,
∴△DFP∽△DEA,
∴
,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EPC=180°,∠EPC+∠DPC=180°,
∴∠CPD=∠CDF,
∵∠PCD=∠DCF,
∴△CPD∽△CDF,
∴
,
∴
∴
,
即当∠B+∠EPC=180°时,
成立.
4.解:
(1)O1D=2
×
÷2=2;O2F=
×
÷2=1.
故答案为:
2,1;
(2)点D、F重合时有一个公共点,O1O2=2+1=3.
故答案为:
3;
(3)两个正方形的边长有两个公共点时,1<O1O2<3;
无数个公共点时,O1O2=1;
1个公共点时,O1O2=3;
无公共点时,O1O2>3或0≤O1O2<1.
5.解:
(1)依题意补全图形如图1,
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°,
∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,
∴∠DFG=90°,
在Rt△DFG和Rt△DCG中,
∵
,
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴∠FDG=∠CDG;
(2)①DE=EM.
∵∠ADE=∠FDE,∠FDG=∠CDG,
∴∠EDG=
∠ADC=45°,
∵EM⊥DE,
∴∠MED=90°,
∴∠EMD=∠EDM=45°,
∴DE=EM;
②BM=
AE.
证明如下:
如图2,过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N,连接BM,
∵∠AED+∠NEM=90°,∠AED+∠ADE=90°,
∴∠NEM=∠ADE,
又∵∠EAD=∠MNE=90°,DE=EM,
∴△DAE≌△ENM(AAS),
∴AE=MN,AD=EN,
∵AD=AB,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=MN,
∴△BNM是等腰直角三角形,
∴BM=
MN=
AE.
6.解:
(1)由题意得,
,
∴a=21,
∴b=18,
∴B点坐标为(21,12),点C的坐标为(18,0);
(2)由题意
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