特殊平行四边形证明题.docx
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特殊平行四边形证明题.docx
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特殊平行四边形证明题
基础篇
特殊平行四边形之证明题
题型一:
菱形的证明
1、如图,在三角形ABC中,AB>AC,D、E分别是AB、AC上的点,△ADE沿线段DE翻折,使点A落在边BC上,记为A•若四边形ADAE是菱形,则下列说法正确的是()
a.DE是厶ABC的中位线b.AA是BC边上的中线
C.AA是BC边上的高d.AA是厶ABC的角平分线
2•已知:
如图,在YABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得厶GFC•
(1)求证:
BEDG;
(2)若B60°当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?
证明你的结论.
3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D'处,折痕为EF.
(1)求证:
△ABE^^AD'F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论.
4.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE//AB交MN于E,连结AE、
CD.
(1)求证:
AD=CE
(2)填空:
四边形ADCE的形状是
5如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BECE
(1)求证:
△ABE^Aace
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?
并说明理由
6如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△ACD.
(1)证明△AADCCB;
(2)
若ACB30°,试问当点C在线段AC上的什么位置时,四边形ABCD是菱形,并请说明理由.
7在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,AB5,AC交
BC的延长线于点E.
A
(2)点P为线段BC上的点,连接PO并延长交AD于点Q.求证:
BP
(1)求厶BDE的周长;AC
第B19
8.如图,在△ABC中,/A、/B的平分线交于点D,DE//AC交BC于点E,DF//BC交AC于点F.
(1)点D是厶ABC的心;
(2)求证:
四边形DECF为菱形.
9、如图,已知:
在四边形ABFC中,ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
⑵当A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
(特别提醒:
表示角最好用数字)
10、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F.
(1)求证:
△BOE=△DOF;
(2)当EF与AC满足什么关系时,以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形?
证明你的结论.
O
C
型二:
正方形的证明题1、四边形ABCDDEFG都是正方形,连接AECG
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想
(2)
2、把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图)•试问线段HG与线段HB相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
4、如图12,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形连接BG、DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论
(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?
若存在,请指岀,并说岀旋转过程;若不存在,
请说明理由.
5•如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE丄AG于点E,BF丄AG于点F.
(1)求证:
DE-BF=EF.
(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由.
(3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变•请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的
数量关系(不需要证明)
图②
7、已知:
如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F.
(1)求证:
△BCG^ADCE;
(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE,,判断四边形E'BGD是什么特殊四边形?
并说明理由.
9.如图:
已知在△ABC中,ABAC,D为BC边的中点,过点D作DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:
△BED=△CFD;
(2)若A90,求证:
四边形DFAE是正方形.
D
题型五:
矩形的证明题
1.如图,在厶ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。
(1)求证:
BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。
A
2.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB//DE,AF//DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与BC有何等量关系?
请说明理由;
(2)当ABDC时,求证:
YABCD是矩形.
3.如图,四边形ABCD是矩形,△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)ZPBA=/PCQ=30°
(2)PA=PQ.
D
C
4.如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是/BAC和/BAC和外角的平分线,BE丄AE.
(1)求证:
DA丄AE;
(2)试判断AB与DE是否相等?
并证明你的结论.
5、如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN//BC,设MN交/BCA的角平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:
EO=FO;
(2)当点0运动到何处时,四边形AECF1矩形?
并证明你的结论.
6、如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AFDC,连接CF.
(1)求证:
D是BC的中点;
(2)如果ABAC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
题型六:
综合证明题
2.如图所示,在Rt△ABC中,/ABC90.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60得到△DEC,点E在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180得到△ABF.连接AD.
(1)求证:
四边形AFCD是菱形;
(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:
四边形ABCG是什么特殊平行四边形?
为什么?
3•如图,△ABC中,点0是边AC上一个动点,过0作直线MN//BC,设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F.
(1)探究:
线段0E与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点0在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?
若是,请证明,若不是,则说明理由;
(3)当点0运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
CJ
5、如图15,平行四边形ABCD中,ABAC,AB1,BC.5•对角线AC,BD相交
于点0,将直线AC绕点0顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F•
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
D
提高篇
选讲四边形证明经典题
1•在口ABCD中,AC、BD交于点0,过点O作直线EFGH,分别交平行四边形的四条
E、GF、H四点,连结EG、GFFH、HE.
如图①,
如图②,
如图③,
如图④,
边于
(1)
(2)
(3)
(4)
试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;当EF丄GH时,四边形在
(2)的条件下,若在(3)的条件下,若
EGFH的形状是;
AC=BD,四边形EGFH的形状是AC丄BD,
试判断四边形EGFH的形状,并说明理由
(第1题图)
2.已知:
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
3•如图,ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点
B重合),连结AD,作BEAD,垂足为E,连结CE,过点E作EFCE,交BD于F.
(1)求证:
BFFD;
(2)A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;
1
(3)A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DG-DA,并说明理
4
由.
(1)试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.
⑵当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?
并加以证明.
⑶若⑵中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.
(第25題圏}
5•如图所示,
在厶ABC中,分别以AB、AC、BC为边在
BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE、
等边△BCF.
⑴求证:
四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题:
(只填满足的条件,不需证明)
1当△ABC满足时,四边形DAEF是矩形;
2当△ABC满足时,四边形DAEF是菱形;
3当△ABC满足时以D、A、E、F为顶点的四边形不存
在.
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(第29题图)
6•如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG丄EB于G,AG交BD于点F,贝UOE=OF,对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG丄EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。
问题一图1
7、在四边形
ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,
且AE=匹=GC
BEBFDG
AH,
=k
HD
(k>0),阅读下列材料,然后回答下面的问题:
AE_AHFC_GC
BE—HD,BF—DG
①连结AC,则EF与GH是否一定平行,答:
四边形EFGH是平行四边形;
AC和
AC和
如上图,
连结BD
•••EH//
BD,FG/BD
2当k值为时,
3在②的情形下,对角线
4在②的情形下,对角线
BD只需满足
BD只需满足
条件时,
条件时,
EFGH为矩形;
EFGH为菱形;
G
第2题图
ABCD的边AB、BC上的点,且EF/AC,在DA的延长线上取
8•如图,E、F分别是正方形
一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。
求证:
AH=AD。
9、如图,等腰梯形ABCD中,AB/CD,对角线AC、
S、
P、Q分别是OD、OA、BC的中点。
(1)求证:
△PQS是等边三角形;
(2)若AB=8,CD=6,求Spqs的值。
(3)右Spqs:
Saod=4:
5,求CD:
AB的值。
第4题图
10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑
行,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。
探究:
设A、P两点间的距离为X。
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的关系?
试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与X之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑行时,△PCQ是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出
x值;如果不可能,请说明
所有能使厶PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的理由(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。
11、如图,四边形ABCD为正方形,求证:
CE=CF.
DE//AC,AE=AC,
AE与CD相交于F.
12、如图,四边形ABCD为正方形,DE//AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证:
AE=AF.
AD
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