空间直线和平面复习总结doc.docx
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空间直线和平面
(一)知识结构
(二)平行与垂直关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化:
面面平行性质//
a//b
a,b
a
b
b
a
A
a//b
a
a
b
A
a
b
b
a//
b//
a//
//
公理4
线面平行判定
面面平行判定1
面面平行性质
线线∥
线面∥
面面∥
(a//b,b//c
线面平行性质
面面平行性质1
//
a//c)
a
//
//
//
a
a
//
b
a//
a//b
2.线线、线面、面面垂直关系的转化:
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a,b
a
b
O
l
a,l
b
a
l
a
三垂线定理、逆定理
线面垂直判定1
面面垂直判定
PA,AO为PO
线线⊥
线面⊥
面面⊥
线面垂直定义
面面垂直性质,推论2
在内射影
l
a
a
b
a
则aOA
aPO
l
a
a,a
b
aPOa
AO
a
a
面面垂直定义
l,且二面角l
成直二面角
3.平行与垂直关系的转化:
a
a
a//b
//
b
a
a
线面垂直判定2
面面平行判定2
线线∥
线面⊥
面面∥
线面垂直性质2
面面平行性质3
a
//
a//b
b
a
a
4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。
”
5.唯一性结论:
(三)空间中的角与距离
1.三类角的定义:
(1)异面直线所成的角θ:
0°<θ≤90°
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(2)直线与平面所成的角:
0°≤θ≤90°
(0时,b∥或b)
(3)二面角:
二面角的平面角θ,0°≤θ≤180°
2.三类角的求法:
转化为平面角“一找、二作、三算”即:
(1)找出或作出有关的角;
(2)证明其符合定义;
(3)指出所求作的角;
(4)计算大小。
3.空间距离:
将空间距离转化为两点间距离——构造三角形,解三角形,求该线段的长。
4.点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法:
三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
简单几何体:
(一)棱柱(两底面平行,侧棱平行的多面体)
侧棱都相等
侧面是平行四边形
对角面是平行四边形
性质
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
S侧直截面周长侧棱长
V柱底面积高直截面面积侧棱长
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(二)棱锥(底面是多边形,其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体)
V锥
1S底
3
h
定理:
截面与底面平行
S截h12
则有S底h2
正棱锥的性质
侧棱都相等,侧面都是全等的等腰三角形
四个直角三角形(如上图)及元素之间的关系
Rt
SOB
h
l2
R2
hsin
lsin
Rt
SOE
h
h2
r2
l2
1a2
r
4
cos
Rt
SEB
R
l
2
h
2
r
2
1
a
2
a
4
2sin180
n
Rt
OEB
如图S1、S2是两个平行截面且O2O1
O1O
则
S2
S
)
S1
(与定比分点公式比较
1
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概率与统计
(一)散型随机变量的分布列
pi
性质:
p1
二项分布:
0i
1,2,
p2
1
~B(n,p)Cnkpkqnk
b(k,n,p),E
np,Dnpq(q1p)
x1
x2
xi
p
p1
p2
pi
若
ab
则E
E(a
b)
aE
b
D
D(a
b)
a2
D
期望:
E
x1p1
x2p2
xnpn
方差:
D
(x1
E
)2p1
(x2E)2p2
(xnE)2pn
(二)抽样方法
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
【典型例题】
例1.如图,在四面体ABCD中作截面EFG,若EG,DC的延长线交于M,FG、BC的延长线交于N,EF、DB的延长线交于P,求证M、N、P三点共线。
证明:
由已知,显然M、N、P在平面EFG上
又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上
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故也在平面BCD上
即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点∴它们必在这两个平面的交线上
根据公理2.M、N、P三点共线
例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那
么AM与CM所成角的余弦值为()
A.3
B.10
C.3
D.2
2
2
5
5
分析:
如图,取AB中点E,CC1中点F
连结B1E、B1F、EF
则B1E//AM,B1F//NC
∴∠EB1F为AM与CN所成的角
又棱长为1
B1E
5,B1F
5,EF
6
2
2
2
B1E2
B1F2
EF2
2
cosEB1F
5
2B1EB1F
∴选D
例3.已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:
①
/lm
②
l//m
③
l//m
④l
m
//
其中正确的两个命题是(
)
A.①与②
B.③与④
C.②与④
D.①与③
l
l
l
m
①正确
对于①
//
m
分析:
l
对于②
a
,如图
/l//m
m
∴②错
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l
m
对于③
③正确
l//m
m
l
对于④lm
///,如图
m
∴④错
∴①③正确,选D
例4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//面EDB。
(2)PB⊥平面EFD。
证:
(1)连AC,AC交BD于O,连EO
∵底面ABCD是正方形
∴点O是AC中点
又E为PC中点
∴EO//PA
又EO面EDB,且PA面EDB
∴PA//面EDB
(2)∵PD⊥底面ABCD
∴BC⊥PD
又BCDC且PDDCD
∴BC⊥面PDC∴BC⊥DE
又E为等直角三角形中点
DEPC且PCBCC
∴DE⊥面PBC∴DE⊥PB
又已知EFPB且EFDEE
∴PB⊥面DEF
例5.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,求证:
A1C⊥BC1。
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证明:
设E、E1分别是BC、B1C1的中点,连
AE,A1E1,B1E,E1C
则AE
面B1BCC1,A1E1
面B1BCC1及EB1//E1C
AE
面B1BCC1
EB1
BC1
E1CBC1
AB1
BC1
EB1
//E1C
A1E1
A1CBC1
面B1BCC1
注:
三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6.下列正方体中,l是一条体对角线,
M、N、P分别为其所在棱的中点,如何证明l
⊥面MNP。
(1)D1
P
C1
(2)D1
C1
(3)D1
C1
M
A1
B1
A1
B1
A1
P1B
N
l
l
N
N
l
M
D
C
D
C
D
C
P
M
A
B
A
B
A
B
分析:
①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直
MPl,MNll面MNP
②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直l面MNP
③如图,取棱A1A、DC、B1C1的中点,分别记为E、F、G,显然EMFNGP为平面图形,而D1B与该平面垂直
∴l⊥面MNP
例7.如图,斜三棱柱ABCA'B'C'中,AC'A'B,AA'AC8,AB10,
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∠ACB=90°,侧棱与底面成60°的角。
(1)求证:
面AA'C'C面ABC;
(2)求侧面AA'B'B的面积。
分析:
要证明面AA'C'C
面ABC,只要证明BC面AA'C'C,又BCAC,只要
证明BC
AC',故只要证明AC'平面A'BC。
证明:
(1)∵AA'C'C为菱形
AC'A'C
又AC'A'B
AC'
面A'BC
AC'BC
又∠ACB=90°,即AC⊥BC
BC面AA'C'C
又BC面ABC
面ABC
面AA'C'C
(2)作A'DAC于D
面AA'C'C面ABC,AC为交线
A'D面ABC
∠A'AD为侧棱AA与底面成的角,即A∠'AC60°过D作DEAB于E,连结A'E,则A'EAB
又AD8cos604,A'D8sin6043
∴D为AC中点
在RtABC中
DE
AD
DE
4
6
12
BC
AB
10
5
A'E
A'D2
DE2
(4
3)2
(12)2
821
5
5
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S平行四边形A'ABB'ABA'E
108211621
5
例8.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,沿
(1)C到A’D的距离;
(2)D到平面A’BC的距离;
(3)A’D与平面A’BC所成角的正弦值。
解:
(1)∵二面角A’-DE-B是直二面角
又A’E⊥ED,CE⊥ED
∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED
作EF⊥A’D于F,连结CF,则CF⊥A’D
∴CF即为C点到直线A’D的距离在Rt△A’ED中,EF·A’D=A’E·ED
4
3
12
EF
5
5
FC
EF2
EC2
(
12
)2
42
434
5
5
(2)DE//BC,BC面A'BC,DE/面A'BC
∴DE//面A’BC
∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离过E作EM⊥A’C于M
∵ED⊥面A’EC
又BC//ED
∴BC⊥面A’EC
∴BC⊥EM
∴EM⊥面A’BC
∴EM为E点到平面A'BC的距离即为D点到面A'BC的距离且EM=22
或者用体积法:
由VDA'BCVA'BCD
即1SA'BCh
1SBCDA'E
3
3
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SBCDA'E
1BCCEA'E
2
22
h
1
SA'BC
BCA'C
2
(3)设A'D与平面A'BC所成角为
又由
(2)知D点到面A'BC的距离为h22及A'D5
h
22
sin
5
A'D
如图,直三棱柱ABC
ABC中,∠ACB
°,AC
,CB
2
,侧棱
例9.
1
1
1
90
1
AA11,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M。
(1)求证:
CD
平面BDM;
(2)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。
(1)证明:
连结CA1,则CA1
2
BC
又D为A1B中点
CDBD
①
易知AC面BB1C1C
CB1是CD在底面BB1C1C上射影
故只要BM
CB1
设BMCB1
E
在RtCBB和RtBBM中CB
2
1
BB1
1
1
BB1
1
2
MB1
又∠CBB1
∠BB1M90°
2
RtCBB1~RtBB1M
∠BCB1
∠B1BM
又∠B1BM
∠CBM
90°
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∠BCB∠CBM90°
∠CEB90°
1
BMCB1
BMCD
②
由①②知CD
面BDM
AB1
2
1
2
(2)解:
3
B1DBDBB1
1
即△B1DB为正三角形,取BD中点F,则B1FBD
又取BC中点N,连结NF
NF
//1
CD
2
又CD
BD
NFBD
∠NFB1为所求二面角的平面角
又B1N
2)12
6,CD
BC2
BD2
2
(
212
1
2
2
NF
1,B1F
3
2
2
在△DCB1中由余弦定理
1
)
2
3
)
2
6
)
2
FN
2
2
2
(
(
(
3
cos∠NFB1
FB1
NB1
2
2
2
2FN
FB
1
3
3
2
2
2
3
所求二面角为arccos
3
例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验,如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时,则称为这次试验成功。
(1)求一次试验成功的概率;
(2)在试验成功的所有情况中,以表示两次抛掷的骰
子出现的点数和,求的概率分布列及数学期望。
解:
(1)两次抛掷出现点数之和大于9的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),
(6,6)
一次成功的概率为p
6
1
6
6
6
(2)在成功的条件下,
ξ=10,11,12
且P(
10)
3
1,P(
11)
2
1,P(
12)
1
6
2
6
3
6
∴ξ的概率分布列为
ξ
10
11
12
p
1
1
1
2
3
6
E
10
1
11
1
12
1
32
2
3
6
3
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【模拟试题】
一.选择题
1.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线(
A.成异面直线B.相交C.平行D.平行或相交
)
2.已知直线a,b,平面,,,有下列四个命题
①a//,a//
//;
②//,/
//;
③a,a
//;
④a,b
,a//b
//
其中正确的命题有(
)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.以上都不对
3.边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,
BC
1a
B-AD-C的大小为(
2,这时二面角
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.
设a,b是两条异面直线,
P是a,b外的一点,则下列结论正确的是(
)
A.过P有一条直线和a,b都平行
B.过P有一条直线和a,b都相交
C.过P有一条直线和a,b都垂直
D.过P有一个平面与a,b都平行
5.若a,b是异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AD=AC,BD=BC,
则直线a,b所成的角为(
)
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
二.
填空题
6.
设正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为
1,则
D
C
A
B
D1
C1
A1B1
(1)A点到CD1的距离为_____________
(2)A点到BD1的距离为_____________
(3)A点到面BDD1B1的距离为_____________
(4)A点到面A1BD的距离为_____________
(5)AA1与面BB1D1D的距离为_____________
6.如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC中点,现沿AE、AF、EF把它折成一
个四面体,使B、D、C三点重合于G,则VAGEF=_____________。
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8.把边长为a的正三角形
_________________。
ABC
沿高线
AD
折成
60°的二面角,则点
A到
BC
的距离为
9.如图PA⊥⊙O面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB,
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