考研数一真题及解析.docx
- 文档编号:28032336
- 上传时间:2023-07-07
- 格式:DOCX
- 页数:37
- 大小:62.83KB
考研数一真题及解析.docx
《考研数一真题及解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数一真题及解析.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
考研数一真题及解析
2004年考研数学试题答案与解析(数学一)
、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线y=lnx上与直线x・y=1垂直的切线方程为y=x_1.
【分析】本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可
确定切点的坐标.
1
【详解】由/-(lnx)1,得x=i,可见切点为(1,0),于是所求的切线方程为
x
y-0=1(x-1),即y=x-1.
【评注】
本题也可先设切点为(x0,lnx0),
曲线y=lnx过此切点的导数为
1
y-0=1(x-1),即y=x-1.
1,得x0=1,由此可知所求切线方程为
X。
本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.
1
(2)已知f(ex)二xe」,且f
(1)=0,则f(x)=(lnx)2
2
【分析】
先求出f(X)的表达式,再积分即可.
【详解】
令e-1,则x-Int,于是有
IntInx
f(t),即f(x).
tx
积分得
上/、」nx,1“、2丄
f(x)dx(Inx)C.利用初始条件f
(1)=0,得c=0,故所求函数
x2
12为f(x)=(Inx).
2
【评注】本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分
(3)设L为正向圆周xy=2在第一象限中的部分,则曲线积分Lxd^2ydx的
3
值为一二.
2
【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分
22
【详解】正向圆周xy=2在第一象限中的部分,可表示为
x=^2cos日,
y=P2sinB,
xdy2ydxcos一2
cos2、2sin$2sin]d
二二刁2sin2rd:
-—
』02
【评注】本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
(4)欧拉方程x2写・4x也・2y=0(x.0)的通解为y丄弋.
dxdxxx
【分析】
欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换x=e'化为常系数线性齐次微分方
程即可.
【详解】
令…t,则齐乌史
edx
_t鱼]dy
dtxdt
d2ydx2
2
1dy1dydt
x2dtxdt2
1rd2ydy
dx
~2[2
xdt
dt],
代入原方程,整理得
d2
y
dt2
證"0,
解此方程,得通解为
y=c1e_Lc2e^2t
【评注】本题属基础题型,也可直接套用公式,
二e',则欧拉方程
可化为
ax2啤
dx
bx慕cy=f(x),
dt2
dt
_2
(5)设矩阵A=1
】0
01
0,矩阵B满足ABA^2BA^E,其中A*为A的伴随矩
1
1
阵,E是单位矩阵,则B=1.
9
【分析】可先用公式A*A=|AE进行化简
【详解】已知等式两边同时右乘A,得
ABA*A=2BA*AA,而A=3,于是有
3AB=6BA,即(3A—6E)B=A,
再两边取行列式,有3A-6E[B|=A=3,
1
而3A—6E|=27,故所求行列式为B=~.
9
【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵A*,一般均应先
利用公式AA=AA=AE进行化简.
(6)设随机变量x服从参数为入的指数分布,则P{x>JDX}=-.
e
【分析】已知连续型随机变量x的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.
1
【详解】由题设,知DX.2,于是
扎
P{X.DX}=P{X-}=「'e^dx
【评注】
本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再
1
去推算.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
IX2门X2厂备"X3
(7)把xt0时的无穷小量口=costdt,0=[tanw'tdt,丫=(sintdt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A):
.(B):
/■.(C)■/,.(D),/■.
【分析】先两两进行比较,再排出次序即可
【详解】
x2—
tantdtlim—=lim0T%T\0C0St「dt
tarx2x
x2...Pm「
2
cox
=0,可排除(C),(D)选项,
3
2
Sinx2
「lim
xx2xtanx
0tanVtdt
1x-
=—lim==:
:
,可见是比:
低阶的无穷小量,故应选(B).4x刃x2
1limlimx_0■]x_0
■-x3
0sintdt
1
2一x
【评注】
本题是无穷小量的比较问题,也可先将:
-,'-,分别与xn进行比较,再确定
相互的高低次序
(8)设函数f(x)连续,且f(0)•0,则存在:
.■0,使得
(A)f(x)在(0,.)内单调增加.
(B)f(x)在(-「0)内单调减少•
(C)对任意的x(0,、)有f(x)>f(0).
(D)对任意的X:
=(-、,0)有f(x)>f(0).
【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)
选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可
【详解】由导数的定义,知
f(x)-f(O)门f(o)Pm0,
根据保号性,知存在0,
当x•(-、;,0)(0,时,有
f(X)-f(0)
即当x(-、,0)时,f(x)
【评注】题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论
CO
(9)设van为正项级数,下列结论中正确的是
n=1
(A)
若limnan=0,则级数a.收敛.n&:
(B)
若存在非零常数
■,使得limnan=■,则级数ann_jpc
发散.
(C)
若级数van收敛,则limn2an=0.
n—^c
(D)
若级数van发散,则存在非零常数,,使得limnan
n—jpc
【分析】
对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到
正确选项.
【详解】
取an
,贝Ulimnan=0,但
nlnnn->:
:
n=1
发散,排除(A),(D);
nAnlnn
又取an
,排除(C),故应选(B).
1,则级数Jan收敛,但limn2a.
n*nn=
【评注】本题也可用比较判别法的极限形式,
:
=1
a
n=1
limnan=lim丄「「0,而级数'上发散,因此级数’二an也发散,故应选(B).n厂n:
1
tt
(10)设f(x)为连续函数,F(t)二dyf(x)dx,则F
(2)等于
(A)2f
(2).(B)f
(2).(C)-
(2).(D)0.[B]
【分析】先求导,再代入t=2求F
(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.
【详解】交换积分次序,得
tttxt
F(t)=[dyjyf(x)dx=[[Jf(x)dy]dx=」f(x)(x-1)dx
b(x)
[a(x)f(t)dt]=f[b(x)]b(x)—f[a(x)]a(x)
否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外
或积分线上•
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B再把B的第2列加到第3列
得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
(A)
010
(B)101.(C)
〕°°1一
011
(D)100
【°01一
【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两
个相应的初等矩阵,而Q即为此两个初等矩阵的乘积•
【详解】由题设,有
100
B011=C,
〕001一
于是,
00011
11=A100=C.
001一
可见,应选(D).
【评注】涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初
等变换的关系
(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关
(D)A的行向量组线性相关
B的行向量组线性相关
B的列向量组线性相关
B的行向量组线性相关
B的列向量组线性相关
【分析】A,B的行列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)
是否有非零解进行分析讨论•
【详解1】设A为mn矩阵,B为ns矩阵,则由AB=O知,
r(A)r(B) 又A,B为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A) 行向量组线性相关,故应选(A). 【详解2】由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,而B为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A的列向量组线性相关. 同理,由AB=O知,BTAT=0,于是有BT的列向量组,从而B的行向量组线性相关,故应选(A). 【评注】AB=0是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的: 1)AB=0二r(A)r(B): : n; 2)AB=0=B的每列均为Ax=0的解. (13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的: •(0: : : 「: : 1),数u-.满足 P{XAU』,若P{X|£X},则x等于 (A)U..(B)U...(C)Uy.(D)Uj: ..[C] 222 【分析】此类问题的求解,可通过U-.的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论. 【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{X-u一.}=,于是 1—a=1—P{X 1-a 即有P{X_x},可见根据定义有x二5_一,故应选(C). 2— 2 【评注】本题u: .相当于分位数, 2 (14)设随机变量X「X2,…,Xn(n・1)独立同分布,且其方差为二0.令 (A)Cov(X1,Y)=— n 2 (B)Cov(X「Y)-. (C)D(XiY)j. n (D)D(X「Y)二卫1二2. n 【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有: 【详解】 Cov(Xi,Y)=Cov(Xi」'Xi) ny CovX’Xj)=0,i=2,3,n. JCov(Xi,Xi)丄、Cov(Xi,Xi)n 11_2 =DX1. nn 【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到: 如 D(Xi 1 --Xn) 2 (1n) n-1 D(X1—Y)二D(n1X1-丄X2- nn An) n (n-1)2「2 2 n -1 —— 2n n-2n2n-22 =2 nn (15)(本题满分12分) 设e: : a: : b: : e2,证明In2b—In2a£(b—a). e 【分析】根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】对函数ln2x在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得 22 lnbTna= 2ln■ (b—a),a: : : : b. 设e晋,则〈)二耳, 当t>e时,: (t): : 0,所以: (t)单调减少,从而•「(e2),即 In Ine2 e2 故In2b一In2ag(b一a).e 【证法2】设「(x)=1n2x-耸x,则 e (x)二2 Inx x (x)二2 所以当x>e时,「(x): : : 0,故: (x)单调减少,从而当e: : : x: : : e2时, 244 (x).「(e2—-飞=0, ee 2 即当e: : : x: : : e时,(x)单调增加. 因此当e■■■■.x: : : e2时,「(b): (a), 2424 即Inb^bIna2a, ee 4 故Inb-Ina2(b-a). e 【评注】本题也可设辅助函数为(x)=In2x-ln2a-4(x-a),e: : : a: : : x: : : e2或 e (x)=In2b「In2x-$(b「x),e: : : x: be2,再用单调性进行证明即可. e (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下 现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注kg表示千克,km/h表示千米/小时. 【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用,列出关系式后再解微分方程即可. 【详解1】由题设,飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度v0=700km/h.从飞 机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t). 根据牛顿第二定律,得 dvm—dt =-kv. dv dv dxdv 又 v- dt dx dtdx 由以上两式得 dxdv,k 积分得x(t)vC.由于v(0)=v0,x(0)=0,故得Cv0,从而 kk x(t)「m(…t)). 当v⑴>0时,心k mv°9000700 6.0106 =1.05(km). 所以,飞机滑行的最长距离为 1.05km. 【详解2】根据牛顿第二定律,得 dv m一 dt 所以 dv kdt. vm 两端积分得通解v=Ce ,代入初始条件 J%解得— k 故v(t)二v°em.飞机滑行的最长距离为 X=0v(t)dt mv° 咼mv0 0=1.05(km).k k dxt =v0em,知x(t) t 0v0e k t mdt k kv£(e^t-1),故最长距离为当t> 时, x(t)>也 m =1.05(km). 【详解3】根据牛顿第二定律,得 d2x m—2" dt -kdx dt d2xdt2 K^=0, dt 其特征方程为 k +—九=0,解之得人=0,几2m, _kt 故^C1C2em 得C1 =0,v dx tz0 7dt t=0 m 由x mvo t厂Vo, 曰疋 -C2k x(t)= 当t—•: *时,x(t)—;m^=1.05(km). k 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【评注】本题求飞机滑行的最长距离,可理解为t—•-■或v(t)>0的极限值,这种 条件应引起注意. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分 332 I二2xdydz2ydzdx3(z-1)dxdy, Z 其中v是曲面z=1-x2-y2(z_0)的上侧. 【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面,应用高斯公式求解,而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可. 22 【详解】取'1为xoy平面上被圆xy=1所围部分的下侧,记门为由7与71围成的空间闭区域,贝U I二2x3dydz2y3dzdx3(z2-1)dxdy -2x3dydz2y3dzdx3(z2-1)dxdy. 由高斯公式知 33222 2xdydz2ydzdx3(z-1)dxdy6(xyz)dxdydz '八1-J 2 2二11-42 =6.0dodrp(zr)rdz 11 =12二.°[? r(1-r2)2r3(1-r2)]dr=2; 而112x3dydz2y3dzdx3(z2-1)dxdy---3dxdy二3二, 、1x2y2-i1 故I二2恵一3二一-二. 【评注】本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧),再就是 在'1上直接投影积分时,应注意符号Ci取下侧,与z轴正向相反,所以取负号). (18)(本题满分11分) 设有方程xn•nx一1=0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证 明当〉1时,级数Vx]收敛• n4 【分析】利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性•而正项级数的敛散性可用 比较法判定• 【证】记fn(x)二xn•nx-1.由fn(0)=-1: : : 0,fn (1)=n・0,及连续函数 的介值定理知,方程xnnx-1=0存在正实数根xn•(0,1). 当x>0时,fn(x)二nxnJ1•n.0,可见fn(x)在[0,=)上单调增加,故方程 xn5X-1=0存在惟一正实数根xn• 由xn•nx-1=0与Xn0知 1_xn1.1- 0■xn二—-: : : 一,故当〉-1时,0: : : xn< (一): nnn oO1co 而正项级数7—收敛,所以当: 1时,级数7X;收敛• n二nnT 【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性,题型设计比较新颖,但难度 并不大,只要基本概念清楚,应该可以轻松求证 (佃)(本题满分12分) 设z=z(x,y)是由x2-6xy•10y2-2yz-z2T8=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值 点和极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【详解】因为x2-6xyT0y2-2yz-z2T8=0,所以czcz 2x-6y-2y2z0, ■x: X czcz -6x20y-2z-2y2z0. cycy : zc 0 x「3y二0,3x10y-z=0, x=3y, z=y. 将上式代入 x2「6xy10y2「2yz「z218=0,可得 由于 =3, x=-9, y~-3 z=-3. 2-2yj : x -2 -2z5=0 2 x 一6一2—二 ex z—-2z ;: x xy dz 20-: : z : y -2 cz -2y2■y ;z 2() ■y ;: 2z -2z—2=0, ;: 2z 所以A=2 .x 故AC-B2 (9,3,3) ;: 2z (9,3,3) 从而点 丄,C仝 y2 (9,3,3) (9,3)是z(x,y)的极小值点, 极小值为 z(9,3)=3. 类似地, ;: 2z A\2 ;: 2z .: x: y JC二 (』,d2,寸 (-9,」,」) 5 _3, 可知AC-B2二丄0,又A= 36 --0,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点,极大值为 6 z(-9,-3)=-3. 【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程. (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组 阵直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,可• 【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 由此对参数 a的可能取值进行讨论即 有 一1+a 1 1・・L 1亠 -2a a 0… 0 =B. _na 0 0… a (1a)%x2亠亠焉=0, (n_2) 2x1(2a)x2川…川‘2x二0, nx2卷…卷(na)xn=0, 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解 【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩n,进而判断是否有非零解;或直接 当a=0时,r(A)=1 花X2Xn=0, 由此得基础解系为 1=(-1,1,0,,0)T,2=(-1,0,1,,0)T,,n」=(-1,0,0,,1)T, 于是方程组的通解为 kn4 其中k1,…,kn」为任意常数 当a=0时,对矩阵B作初等行变换, - 1+a 1 1BBL 1 Bt -2 1 0… 0 - _n 0 0… 1 有 - 崇叶1) 0 0… 0〕 2 T -2 1 0… 0 -n 0 0… 1 可知a= n(n1) 2 时, r(A)二n-1: : : n,故方程组也有非零解,其同解方程组为 -2x1+X2=0, -3x1xa=0, -nx「Xn=0, 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 x=k,其中k为任意常数. 【详解2】 方程组的系数行列式为 a=0或a= 当a=0时,对系数矩阵 一1 2 叫」时 2, A作初等行变换, ■1 0 方程组有非零解• 1【 2 「° 1【 0 故方程组的同解方程组为 X1X2Xn =0, 由此得基础解系为 1=(-1,1,0,,0)T,2 =(一1,0,1,,0)T,, n」=(-1,0,0,…,1)T, 于
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数一真题 解析
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)