多边形与平行四边形.docx
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多边形与平行四边形
8.(2014•浙江湖州,第10题3分)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是( )
A.
B.
C.
D.
分析:
分别构造出平行四边形和三角形,根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较,即可判断.
解:
A选项延长AC、BE交于S,∵∠CAE=∠EDB=45°,∴AS∥ED,则SC∥DE.
同理SE∥CD,∴四边形SCDE是平行四边形,∴SE=CD,DE=CS,
即乙走的路线长是:
AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;
B选项延长AF、BH交于S1,作FK∥GH,
∵∠SAB=∠S1AB=45°,∠SBA=∠S1BA=70°,AB=AB,∴△SAB≌△S1AB,
∴AS=AS1,BS=BS1,∵∠FGH=67°=∠GHB,∴FG∥KH,
∵FK∥GH,∴四边形FGHK是平行四边形,∴FK=GH,FG=KH,
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,∵FS1+S1K>FK,
∴AS+BS>AF+FK+KH+HB,即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB,
8.(2014•湘潭,第7题,3分)以下四个命题正确的是( )
A.
任意三点可以确定一个圆
B.
菱形对角线相等
C.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.
平行四边形的四条边相等
考点:
命题与定理
分析:
利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案.
解答:
解:
A、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误;
B、菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误;
C、正确;
D、平行四边形的四条边不一定相等.
故选C.[来源:
Z,xx,k.Com]
点评:
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质,难度一般.
10.(2014•株洲,第7题,3分)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.
选①②
B.
选②③
C.
选①③
D.
选②④
考点:
正方形的判定;平行四边形的性质.
分析:
要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形.
解答:
解:
A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意;
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD是正方形,错误,故本选项符合题意;
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意;
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意.
故选B.
11.(2014•孝感,第8题3分)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,则▱ABCD的面积是( )
A.
absinα
B.
absinα
C.
abcosα
D.
abcosα
新*课*标*第*一*网
考点:
平行四边形的性质;解直角三角形.新课标第一网
分析:
过点C作CE⊥DO于点E,进而得出EC的长,再利用三角形面积公式求出即可.
解答:
解:
过点C作CE⊥DO于点E,
∵在▱ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,AC=a,BD=b,
∴sinα=
,
∴EC=COsinα=
asinα,
∴S△BCD=
CE×BD=
×
asinα×b=
absinα,
∴▱ABCD的面积是:
absinα×2=
absinα.
故选;A.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形,得出EC的长是解题关键.
二.填空题
1.(2014•安徽省,第14题5分)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是 ①②④ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=
∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
分析:
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA),得出对应线段之间关系进而得出答案.
解答:
解:
①∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在▱ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=
∠BCD,故此选项正确;
延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDE,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=FM,故②正确;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵MC>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,
∴∠EFC=180°﹣2x,
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,
∵∠AEF=90°﹣x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.
故答案为:
①②④.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,得出△AEF≌△DME是解题关键.
2.(2014•广东,第13题4分)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE= 3 .
考点:
三角形中位线定理.
分析:
由D、E分别是AB、AC的中点可知,DE是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理可求出DE.
解答:
解:
∵D、E是AB、AC中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴ED=
BC=3.
故答案为3.
点评:
本题用到的知识点为:
三角形的中位线等于三角形第三边的一半.
3.(2014•毕节地区,第19题5分)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计),则这个平行四边形的最小内角为30度.
考点:
矩形的性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的性质.
分析:
根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=
AB,则符合要求,进而得出答案.
解答:
解:
过点A作AE⊥BC于点E,
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计),
∴当AE=
AB,则符合要求,此时∠B=30°,
即这个平行四边形的最小内角为:
30度.
故答案为:
30.
4.(2014•襄阳,第17题3分)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2
,则▱ABCD的周长等于 12或20 .
考点:
平行四边形的性质.
专题:
分类讨论.
分析:
根据题意分别画出图形,BC边上的高在平行四边形的内部和外部,进而利用勾股定理求出即可.
解答:
解:
如图1所示:
∵在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2
,
∴EC=
=2,AB=CD=5,
BE=
=3,
∴AD=BC=5,
∴▱ABCD的周长等于:
20,
如图2所示:
∵在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2
,
∴EC=
=2,AB=CD=5,
BE=
=3,
∴BC=3﹣2=1,
∴▱ABCD的周长等于:
1+1+5+5=12,
则▱ABCD的周长等于12或20.
故答案为:
12或20.
5.(2014•四川自贡,第13题4分)一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°,则它的边数是 9 .
考点:
多边形内角与外角
分析:
多边形的内角和比外角和的3倍多180°,而多边形的外角和是360°,则内角和是1360度.n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.
解答:
解:
根据题意,得
(n﹣2)•180=1360,
解得:
n=9.
则这个多边形的边数是9.
故答案为:
9.
点评:
考查了多边形内角与外角,此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程即可求解.
6.(2014•泰州,第9题,3分)任意五边形的内角和为 540° .
考点:
多边形内角与外角.
分析:
根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°计算即可.
解答:
解:
(5﹣2)•180°=540°.
故答案为:
540°.
点评:
本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键,是基础题.
7.(2014•扬州,第13题,3分)如图,若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的,则图中的∠1= 67.5° .
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识,利用分类讨论得出是解题关键.
(第2题图)
考点:
等腰梯形的性质;多边形内角与外角xkb1.com
分析:
首先求得正八边形的内角的度数,则∠1的度数是正八边形的度数的一半.
解答:
解:
正八边形的内角和是:
(8﹣2)×180°=1080°,
则正八边形的内角是:
1080÷8=135°,
则∠1=
×135°=67.5°.
故答案是:
67.5°.
点评:
本题考查了正多边形的内角和的计算,正确求得正八边形的内角的度数是关键.
三.解答题
1.(2014•安徽省,第23题14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N.
(1)①∠MPN= 60° ;
②求证:
PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON,求证:
OM=ON;
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?
并说明理由.
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解,
(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明,
(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.,
解答:
解:
(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
又∴PM∥AB,PN∥CD,
∴∠BPM=60°,∠NPC=60°,
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°,
故答案为;60°.
②如图1,作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中,PM∥AB,作PN∥CD,
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°,
∴GM=
AM,HL=
BP,PL=
PM,NK=
ND,
∵AM=BP,PC=DN,
∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a,
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A.
(2)如图2,连接OE,
∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,
∴AM=BP=EN,
又∵∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,
在△ONE和△OMA中,
∴△OMA≌△ONE(SAS)
∴OM=ON.
(3)如图3,连接OE,
由
(2)得,△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON,
∵EF∥AO,AF∥OE,
∴四边形AOEF是平行四边形,
∴∠AFE=∠AOE=120°,
∴∠MON=120°,
∴∠GON=60°,
∵∠GON=60°﹣∠EON,∠DON=60°﹣∠EON,
∴∠GOE=∠DON,
∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,
在△GOE和∠DON中,
∴△GOE≌△NOD(ASA),
∴ON=OG,
又∵∠GON=60°,
∴△ONG是等边三角形,
∴ON=NG,
又∵OM=ON,∠MOG=60°,XKB1.COM
∴△MOG是等边三角形,
∴MG=GO=MO,
∴MO=ON=NG=MG,
∴四边形MONG是菱形.
点评:
本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.
2.(2014•广西贺州,第21题7分)如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的点,∠1=∠2.
(1)求证:
BE=DF;
(2)求证:
AF∥CE.
考点:
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)利用平行四边形的性质得出∠5=∠3,∠AEB=∠4,进而利用全等三角形的判定得出即可;
(2)利用全等三角形的性质得出AE=CF,进而得出四边形AECF是平行四边形,即可得出答案.
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