福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201 平行四边形的判定》预习学案无答案 华东师大版.docx
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福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201平行四边形的判定》预习学案无答案华东师大版
福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《20.1平行四边形的判定》预习学案华东师大版
激活思维
1.小明想从一个平行四边形的纸片上剪三个三角形.要求:
其中两个三角形的面积相等,第三个三角形面积是这两个三角形面积的2倍.他能实现愿望吗?
(如图20一1—1)若能,请至少画出三种;若不能,给出合理的解释.
你认为还有其他分法吗?
自己试试.
2.两组对边分别________的四边形是平行四边形.
3.平行四边形的两组对边分别___________;平行四边形的一条
对角线分平行四边形为______的两个三角形.两条对角线___________;
平行四边形的每一组对角_____________
4.现有长短不一的两根木条,如何摆放移动,使木条的四个端点所在的位置构成一个平行四边形?
小明想了想动手摆放,移动操作拼成
了如图20一l一2所示的三幅图形,并给出了部分说明.
把两根术条把两根小条一个端点把两根木条钉成
的中点固定固定成—定角度,再.∠ABC,然后移
移动,使木条片AB动使点A落在原
与原来位置上BA重来点C处,点C
合落在原点A处
你认为小明的做法正确吗?
如正确,请给出依据,如不正确,说明理由.
5.平行四边形的判别条件:
(1)两组对边分别_________;
(2)两组对角分别__________;
(3)一组对边____________;
(4)两条对角线____________
6.已知四边形ABCD,下列条件:
(1)AB∥CD;
(2)BC∥AD;(3)AB=CD;(4)BC=AD;(5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D.
任选其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有()
A.4种B.9种C.13种D.15种
提示:
在所有的组合中,逐一排查看哪一组符合平行四边形的判定条件,注意不要漏掉正确的条件.但所选条件一定要符合平行四边形的判定条件,也不能多选不符的.
信息鼠标
1.如图20一1—3所示.
2.平行
3.平行且相等
面积相等(或全等)互相平分相等
4.三者都正确.
图
(1)的依据是对角线互相平分;
图
(2)的依据是一组对边平行且相等:
(∠CBA=∠BAC',所以BC∥AC',而AC=AC').
图(3)的依据是两组对边分别相等.(变换后有AB=CB',BC=AB')
5.
(1)平行(或相等)
(2)相等
(3)平行且相等
(4)互相平分
6.B六个条件,两两组合有15种.成立的情形有:
a.
(1)与
(2)一两组对边分别平行;
b.(3)与(4)一两组对边分别相等;
c.(5)与(6)一两组对角分别相等;
d.
(1)与(3),
(2)与(4)一一组对边平行且相等;
e.
(1)与(5),
(1)与(6),
(2)与(5
),
(2)与(6)一一组对边平行,一组对角相等.
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一、平行四边形的有关概念(如图20-1-4)
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
四边形ABCD是平行四边
形
2.对角线:
平行四边形不相邻的两个顶点
连成的线段叫它的对角线.AC为对角线.
3.平行四边形的表示法:
四边形ABCD是
平行四边形,记作“ABCD'’,读作“平行四边
形ABCD”.
注意:
(1)表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写,不能颠倒位置;
(2)运用定
义和性质为证明线段或角相等提供了方便;(3)常见的辅助线是连接平行四边形的对角线,把未知问题化为三角形问题.
二、平行四边形的性质(如图20-1-5)
1.从边上看:
平行四边形两组对边分别平行;平行四边形两组对边分别相等.
在平行四边形.ABCD中:
AD∥BC.AB∥CD.
AD=BC.AB=CD.
2.从角上看:
平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补.
在平行四边形4BCD中:
∠ABC=∠CDA,∠BAD=∠BCD,
∠ABC+∠BAD=180°.
∠CDA+∠BCD=180°.
3.从对角线上看:
平行四边形的两条对角线互相平分.
在平行四边形ABCD中:
OA=OC,OB=OD.
三、平行四边形的判定方法:
1.按边:
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.。
如图20—1—6,AD∥BC,AD=BC
四边形ABCD是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如图20—l一6,AD=BC,AB=CD
四边形ABCD是平行四边形.
(3)两组对边分别平行的四边形是平行四四边形
如图20一l一6,AD∥BC,AB∥CD
四边形
ABCD是平行四边形.
2.按角:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
如图20—1—6,∠ABC=∠CDA,∠BAD=∠BCD
四边形ABCD是平行四边形.
按对角线:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图20—1—6,OA=OC,OB=0D
四边形ABCD是平行四边形.
注意:
学习时要注意弄清什么时候用性质,什么时候用判定.用哪一个判定条件,要根据具体问题,结合给出的条件,进行全面综合分析,灵活的运用.
老师:
同学们,关于平行四边形的判定,除了我们学习过的以上方法外,还有什么其他方法吗?
小弘:
一组对边平行另一组对边相等的四边形也是平行四边形.
小哲:
一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形.
老师:
对于他们两人的说法,同学们有什么不同见解?
小文:
小弘说
得不对,小哲说的对.理由是:
如图20—1—7
(1),虽然AB∥CD,AD=BC,但是四边形ABCD显然不是平行四边形;
小哲的理由是:
在四边形ABCD中,
若AB∥CD,∠ABC=∠CDA成立,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠CDA.
∴∠CDA+∠BCD=180°.
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形
老师:
这又是一种新的判别四边形ABCD是平行四边形方法.请同学们记住。
四、平行四边形知识的应用:
1.运用平行四边形的性质求角的度数,线段的长度,证明线段相等或倍分.
如图20—1—8,小华要测量学校圆形花坛的直径AB的长,他制订了以下方
案,在AB外选一点C,连接AC、BC,再找到AC和BC的
中点,量出两中点的距离DE,就可以求出AB的长.
小华的方案具有可行性,其
依据是三角形的中位线线平行于底边,
且等于底边的一半.这一依据正是平行四边形知识的应用.
2.先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的
性质解决某些问题.右栏例4就是这一问题的体现.
本节的易错点是在判定的过程中,使用条件上的错误.
五、探究活动
我们学习了多种平行四边形的判定方法,方法越多,证题的思路越广.
问题:
在四边形中,如果有一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形吗?
分析:
要说明四边形ABCD是平行四边形,就要看两条对角线是否互相平分;若不是平行四边形就可以举出反例.
探究:
如图20一l一9,在四边形ABCD中,AB∥CD,
AC、BD交于点O,且OB=OD.在△OAB和△OCD中,
由AB∥CD,得∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO,OB=OD,
则△OAB≌△OCD,从而OA=OC,所以四边形ABCD是平
行四边形.
结论:
在四边形中,如果有一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形.
点石成金
例1.已知,如图20—1-10,四边形ABCD为平行四边形,∠A+∠C=80°,平行四边形ABCD的周长为46cm,且AB一BC=3cm,求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数.
分析:
由平行四边形的对角相等,邻角互补可求得各内角的度数;
由平行四边形的对边相等,得AB+BC=23cm,解方程组即可求出各
边的长。
解:
由平行四边形的对角相等,∠A+∠C=80°,得
∠A=∠C=40°又DC∥AB,∠D与∠A为同旁内角互补,
∴∠D=180°一∠A=180°一40°=140°.
∴∠B=140°.由平行四边形对边相等,得AB=CD,AD=BC.因周长为46am,因此AB十BC=23cm,而AB一BC=3cm,得AB=13cm,BC=10cm,
∴CD=13am.AD=10cm.
名师点金:
注意充分利用性质解题.
例2.如图20—1—11,在平行四边形ABCD中,E、F
是直线BD上的两点,且DE=BF,你认为AE=CF吗?
试
说明理由.
分析:
本题主要考查平行四边形的性质.要证明AE=CF,可
以把两线段分别放在两个三角形里,然后证明两三角形全等.
解:
AE=CF.
理由:
在平行四边形ABCD中,
∵AB=CD且AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.
∵DE=BF,∴DE+BD=BF+BD,即BE=DF:
∴△ABE≌△CDF∴AE=CF
名师点金:
利用平行四边形的性质解题时,一般要用到三角形全等等知识,此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等.
例3.如图20—l—12所示,在平行四边形ABCD中,EF∥AB。
HG∥AD。
EF与GH
相交于点O,则该图中平行四边形的个数共有()
A.7个B.8个C.9个D.11个
解析:
本题主要考查平行四边形的定义.两条平行线
把平行四边形ABCD分成8个(不合原来)四边形,看这些
四边形是否都符合平行四边形的定义,∵EF∥AB,HG∥
AD,它们的各边都平行.即有ABCD,DEOH,HOFC,
AGOE,GOFB,AGHD,GBCH,ABFE,EFCD.
答案C
名师点金:
先分清图中共有哪些四边形,然后表两定义去判断.
例4.如图20一1一13,△ABC中,AB=6,AC=4.AD
是BC边上的中线,则AD的取值范围是_________
分析:
本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系.要确定
AD的取值范围,联想用三角形三边关系,但又不能把AD和AB与
AC放在同一三角形里,故不能直接利用三角形三边关系,由AD是
中线,可联想倍长中线,得到平行四边形,将已知条件.AC和AB实行
转化,与未知量AD集中到三角形中来求解.延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE,∵BD=CD,∴四边形ABEC是平行四边形.∴CE=AB=6.在△ACE中,6—4<AE<6+4,即2 答案1 名师点金: 当题中有三角形的中线时,常常延长中线,构造平行四边形,这种作辅助线的方法在解题中经常用到,要注意掌握. 例5.现有一个四边形的木框,若想知道它是否为平行四边形,只给你一把刻度尺,你能有几种方法来测量? 分析: 可从平行四边形的判定方法来考虑. (1)可量两组对边长,若分别相等,则这个木框是平行四边形,否则不是; (2)把木框的对角线连接起来.看对角线是否平分,若互相平分,则为平行四边形. 名师点金: 注意可操作性. 例6.如图20—1一14,已知六边形ABCDEF的每一 个内角都是120°且AB=l,DE=2,BC+CD=8,求这个六 边形的周长. 分析: 要求其周长,只要求出AF与EF的和即可 如何求? 考虑到特殊角,结合三角形知识,可将六边形 化归为平行四边形来解. 解: 如图20一1—14,延长FA、CB相交于点G,延长 CD、FE相交于点B,由已知,△ABG和△DEH都是等边三 角形.所以∠G=∠B=60°.因为∠C=∠F=120°,则四边 形CGFH为平行四边形, GF+FH=CH+CG=CD+DH+CB+BG=CD+BC+DE+AB=8+1+2=11. 所以AF+FE=11—1—2=8. 则该六边形的周长为: 8+8+1+2=19. 名师点金: 解题关键是作辅助线,将不规则的六边形变成平行四边形. 例7.如图20—1—15,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点,当E、F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形() A.AE=CFB.DE=BF C.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB 解析: 由AE=CF,OA=OC,得OE=OF.∵OD=OB,∴四边形 DEBF是平行四边形;由∠ADE= ∠CBF,或∠AED=∠CFB,都能 推出△ADE≌△CBF,∴AE=CF. ∴四边形DEBF是 平行四边形. 答案B 名师点金: 本题所用方法叫“排除法”.在做选择题时经常用到,要注意总结. 例8.如图20—1—16,AB∥CD,AC、BD交于点O,且 OB=OD.已知S△OBC=1,求四边形ABCD的面积. 要求四边形ABCD的面积,就要找到其与AOBC的关系,考虑四边形ABCD是否为特殊四边形,即平行四边形,而从题中条件,利用左栏探究结果,问题得解. 解: 因为AB∥CD,且OB=OD,据左栏探究结论可得: 四边形ABCD为平行四边形.利用平行四边形的性质,可 得四边形ABCD的面积=4S△OBC=4. 名师点金: 左栏的探究结论,我们也可以作为平行四边形的 一个判定,可直接应用, 同步升级演练 基础巩固题 1.在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的性质是() A.对角相等B.对边平行且相等C.对角线相等D.对角线互相平分 2.如图20—l_17,在平行四边形一4BCD中,AC、BD相 交于点O,作OE上BD于O,交CD于E,连接BE, 若△BCE的周长为6,则平行四边形ABCD的周长 为() A.6B.12c.18D.不确定 3.下列条件中,能判别一个四边形是平行四边形的 是() A.一组对边相等B.一组对边平行 C.两条对角线相等D.两组 对角分别相等 4.已知四边形ABCD,以下四个条件: (1)∠A=∠B,∠C=∠D; (2)AB=CD,AD=BC;(3)AB=CD,AB∥CD;(4)AB∥CD,AD∥BC.其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有() A.1个B .2个c.3个D.4个’ 5.已知四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.OA=OC.OB=OD B.∠ABD=∠BDC.∠CBD=∠ADB C.AB=CD,OB=OD,∠ABD=∠BDC D.OA=OB.OC=OD 6.如图20—1一18,在△ABC中,∠B=90°,D、 E分别是 AB、AC的中点,DE=2,AC=5,则AB的长为() A.2B.3C.4D.5 7.在四边形ABCD中,已知AB=CD,再添一个条件________,就可以判定四边形ABCD是平行四边形. 8.如图20—1—19,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O, 请写出图中相等的线段_______,图中全等三角形有__________对。 9.如图20—1-20,在平行四边形ABCD中,已知对角线AC、BD 相交于点O,且AC+BD=20,△AOB的周长为15,则CD=______。 10.如图20—1-20,在平行四边形ABCD中,O是AC上一点, 过点O的任一直线交AB 于E,交CD于F,要想保证OE=OF, 需满足条件: _________________(填出一个你认为正确的一个条件 即可)。 11.用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形,使平行四边形的两 邻边之比为3: 2,这个平行四边形最长边为___________。 12.已知四个角都是 直角的四边形叫做矩形。 如图20—1—21 是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片,现他沿垂直于BC的线段AE 剪下△ABE,然后放到△DCF处,使AB与CD重合,此 时测得四边形AEFD是矩形.那么小张剪出的原四边形ABCD 是_________形.判定的依据是_____________. 13.在四边形ABCD中,∠A=60,要使四边形 ABCD成为平行四边形,则∠B=_________, ∠C_____________。 14.如图20—1—22是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC,其中AB=AC,他把∠B沿EM折叠使点 B落在点D上,把∠C沿FN折叠使点C也落在 点D上,则小明就说四边形AEDF是平行四边形,请你帮他说明理由; 小明又量出AB=9cm,则四边形AEDF的周长是多少? 15.如图20—1—23,把两把相同的角尺(两边互枉垂 直)的一边紧靠在木板同一侧的边缘上,再看木 板另一边缘(也为直线)在两把角尺上的刻度是 否相等,木工师傅就可以判断木板的两个边缘是 否平行,你能说出其中的道理吗? 探究提高题 16.过平行四边形ABCD的钝角顶点A,作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长 为40,则其面积为() A.48B.40C.35D.30 17.如图20-1-24,平行四边形ABCD中,A的平分线AE 交CD于E,AB=5,BC=3,则EC的长为() A.1B.1.5C.2D.3 18.平行四边形ABCD中,若其中三边长分别为(x-2)cm,(x+1)cm,6cm,则该平行四边形的周长为____________。 19.在一个平行四边形中,若其一边长为a,两条对角线的长分别为3和9,则a的取值范围为____________。 20.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则该四边形一定是____________(形状)。 21.如图20—1—25,在四边形ABCD中,∠A=130°,∠B =50°,∠D=50°,AB=9cm,BC=6cm,则四边形 ABCD的周长为___________。 22.如图20—1—26,平行四边形ABCD中,AC是对角 线,DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,连接BF、DE,你 认为四边形BEDF是平行四边形吗? 给出合理的解释. 23..如图20—1—27,P为等边三角形ABC内一点,PD∥AB。 PE∥BC.PF∥AC.求证: PD+PE+PF为定值. 2 4.如果把平行四边形ABCD纸片沿EF折起,如图20一1—28①,当折痕EF满足什么条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形(如图②)仍是平行四边形? 试述理由. 25.如图20—1—29,在平行四边形ABCD中,Pl,P2,P3,P4,P5是 对角线BD上的六等分点,你能否可以从这五个分点中选出两点,使得以这两点及点A、点C为顶点的四边形是平行四边形? 如果可以,请写出一个这样的平行四边形,并加以证明;如果不可以,请说明理由. 拓展延伸题 26.有一块形状为平行四边形的铁皮,如图20一l-30,用AB、CD 表示其较长边,AD、BC表示其较短边.如果CD=2AD,现在想用这块 铁皮截一个直角三角形,要求以AB为斜边,直角顶点M在CD边上. 你认为能截出符合要求的直角三角形吗? 如果能,请说明怎样截,并加 以说明;不能,说明理由. 27.如图20—1—31,将形状为等腰直角三角形的铁片, 改制成有一个内角为45°的平行四边形,怎样做才 能使材料的利用率最高? (接缝的损失不计) 28.有一块如图20—1—32所示的四边形木板,它的一 个角DEF已损坏,现在只知道AB=60cm。 BC= 80cm,∠A=120°,∠B=60°,∠C=150°,你能根 据这些计算出AD的长及四边形ABCD的面积吗? (精确到0.1) 中考模拟题 29.(2006·江苏南京)已知: 如图20—1—33,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是() A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2) 30.(2006·湖南长沙)如图20一l一34,四边形ABCD中, AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形.则应添加的条件是 ___________(添加一个条件即可) 31.(2006·广东)如图20—1—35,在ABCD中. ∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上 且AE=AD.CF=CB. (1)求证: 四边形AFCE是平行四边形; (2)若去掉已知条件的“DAB=60”’,上述的结论还成立吗? 若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
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