相似三角形题型归纳.docx
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相似三角形题型归纳
三角形题型归纳
一、线段比例问题(构造平行)
1、下图中,E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE:
EC=1:
3,BE的延长线交CD的
延长线于G,交AD于F,求证:
BF:
FG=1:
2.
2、已知:
如图.在直角三角形ABC中,ZBAC=90°,AB二AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若ZFGE=45°,
(1)求证:
BD・BC=BG・BE:
(2)求证:
AG丄BE;(3)若E为AC的中点,求EF:
FD的值。
3.如图1,在RtAABC中,ZBAC=90°,AD丄BC于点D,点0是AC边上一点,连接B0交
理2
AD于F,0E丄0B交BC边于点E.
(1)求证:
△ABFs^cOE;
(2)当0为AC的中点,AB时,pFAC_OF
如图2,求OE的值:
(3)当0为AC边中点,请直接写出0E的值.
4、如图.四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点/?
为DE的中点.BR分别交AC,CD于点P,Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求
BP-.PQ.QR.
二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)
1>如下图,已知在AABC中,AD平分ZBAC,EM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证:
DE2=BE•CE.
2JXAABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证:
AE:
ED=2AF:
FB.
3、如果四边形ABCD的对角线交于0,过0作直线0G〃AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证:
0G2=GE-GF.
4、已知如图,CD是RtAABC斜边AB上的离,E为BC的中点.ED的延长线交CA于F。
求证:
AC-CF=BCDF
5、如图,在RtAABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上.DH丄BM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)AAED^ACBM:
(2)=ACCD
D
6、如因,BD.CE分别是ZkABC的两边上的亂过D作DG丄BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、Ho求证:
(1)DG2=BG-CG:
(2)BG・CG=GF・GH
7、已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长
PE
线.AB的延长线分别相交于点E、F、G.H.求证:
PFPG
BH
8、
(1)如图1,点尸在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延
长线于点Q,S,交肋,仞于点氏T.求证:
PQP2P&PT
(2)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线购或DE的延长线上时PQPR=P'PT是否仍然成立?
若成立,试给出证明:
若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明):
三、构造相似辅助线——A、X字型
AS=CF
1、如图:
AABC中,D是AB上一点,AD二AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
AC=DF
2、四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分ZDAB。
求证:
DECD2
E
3、如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P,交CD于Q,并交BC的延长线于R,求证:
监竺
PRPB「
4.相似类定值问题
1、如图,在等边AABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的
延长线分别交AC、AB于点E、F.
113
—+—=—求证:
CEBFHE.
丄+丄-丄
2、已知,在AABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证:
ACBCa.
3、如图,在ZiABC中,已知CD为边AB上的鬲,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
4、如图所示,uABCD中,AC与BD交于0点,E为AD延长线上一点,0E交CD于F,E0延长
5、-条直线截AABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F.求证喘嚨琲
6、已知:
P为TBC上任意-点,DP交AB的延长线于Q点,求U:
f-f
5.证明线段相等
1、在等腰MBC,AB=AC分别过点8、C作两腰的平行线,经过点力的直线与两平行线分别交于点2E,连接QGBE、QC与力0边相交于点饥处与SC边相交于点M⑴如图1,若DE//CB,写出图中所有与AM^等的线段,并选取一条给出证明。
(2)如图2,若QF与力不平行,在
(1)中与列/相等的线段中找出一条仍然与力〃相等的线段,并给出证明。
191图2
2、在面积为24的AABC中,矩形DEFG的边DE在AB上运动,点F、G分别在BC、AC上。
(1)若AE=8,DE=2EF,求GF的长:
(2)若ZACB=90°,如图2,线段DM.EN分别为△ADG和ABEF的角平分线,求证:
MG=NF:
(3)请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。
3、在中,点。
从力出发,在力0边上以每秒一个单位的速度向0运动,同时点F从8出发,在%边上以相同的速度向G运动,过点Q作QF〃〃交SC于点£运动时间为十秒.
(1)若人ff=5,BC=69当十为何值时,四边形防従为平行四边形;
(2)连接SF、CD.若
BD=DE,求证:
乙BAF=乙BCD;(3)AF艾DE于点、M,在加上取点M使MN//AC,连接別BFDN
①求证:
—=—②若>43=5,BC=6,AC=A,当胸=刖时,请直接写出f的值.
6.对应练习题
1.如下图,在Z\ABC中,D、E分别为BC的三等分点,CM为AB上的中线,CM分别交AE、
AD于F、G,则CF:
FG:
GM=5:
3:
2
2、已知:
在四边形ABCD中.AD〃BC.ZBAC=ZD,点巳F分别在BC、CD上,且ZAEF=ZACD,试探究AE与EF之间的数量关系。
(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数董关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想,并加以证明:
(3)如图3,若AB=kBC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想,并加以证明
(1)
(2)
3.在RtAABC,ZC=90°,D为AB边上一点.点M、N分别在BC.AC边上,且DM丄DN.作
MF丄AB于点F,NE丄AB于点E.
(1)特殊验证:
如图1,若AC二BC,且D为AB中点,求证:
DM二DN,AE二DF;
(2)拓展探究:
若AC=#BC・①如图2,若D为AB中点,
(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;②如图3,若BD二kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数董关系并加以证明.
图1
C
图2
4、
(1)如图1,在△/!
%中•点2E,0分别在肋,AC,BC上,乩DE〃BC、初交QF于点P.求证:
匹=巴.
(2)如图,在中,乙BAgqy,正方形Z?
£FG的四个顶点
BQQC
在ZU%的边上,连接M分别交0F于鳳"两点.①如图2,若MMCI,直接写出榊的长;②如图3,束证二DM•EN.
5、已知线段0A丄OB,C为0B上中点.D为A0上一点,连AC、BD交于P点.
(1)如图1,
PC
=-吋,
4
Ap
——的值:
(2)
求tanZBPC:
6、如图1,。
是厶ABC的BC边上的中点•过点D的一条直线交AC于F,交BA的延长线于E,AG//BC交EF于G,我们可以证明EG-DC=ED-AG成立(不要求考生证明).
(1)如图2,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于巳其它条件不变,则EG•DC=ED-AG还成立吗?
如果成立,请给出证明:
如果不成立,请说明理由:
(2)根据图2,请你找出EG、FD.ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;(3)如图3,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的反向延长线于F.其它条件不变,则
(2)得到的结论是否成立?
7、已知:
在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点•点E在线段DF的延长线上,ZBAE=ZBDF,点M在线段DF上,ZABE=ZDBM.
(1)如图仁当ZABC=45°
时,求证:
AE=V2MD:
(2)如图2,当ZABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系
为:
o(3)在
(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=2、厅,
求tanZACP的值.
8、如图13,梯形ABCD中,AD〃BC,ZABC=2ZBCD=2a,点E在AD上,点F在DC上,且ZBEF二ZA.
(1)ZBEF=(用含a的代数式表示);
(2)当AB=AD时,猜想线段EB、
EF的数量关系,并证明你的猜想:
(3)当ABHAD时,将“点E在AD上"改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB.AB=mDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图14),求EB/EF的值(用含m、n的代数式表示)。
b
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