数学建模大作业.docx
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数学建模大作业
《数学实验》报告
实验名称数学建模与MATLAB学院材料学院
专业班级材料1014
姓名徐萌孔德成戴思雨学号410710464103040041030399
2012年6月
一、问题的提出。
传染病是当今世界最严重的疾病之一,2009年4月26日世界卫生组织以确认,美国和墨西哥发生了甲型H1N1流感,随后疫情迅速蔓延,截止8月中旬,全球感染人数约5万人。
因此,运用传染病的数学模型来描述传染病甲型H1N1流感的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止甲型H1N1蔓延的手段是值得关注的。
二、模型的建立。
考查中国内地疫情变化,在疾病传播期间不考虑人口的出生率和死亡率,人口总数不变,为常量。
中国的疫情研究发现易感染人数多为20~50岁的青壮年,故保守估计在此传染病系统的人数N=50000人。
甲型HINI流感的传播途径是与病源的直接接触,患者与健康者接触时,都使健康者感染病变.故将人群分为3类:
健康者(易感染者人群、患者(已被感染人群、治愈者(研究期间6月14日~8月14日间中国内地感染病毒死亡人数为0,故此处不考虑死亡者.三者在总人数中的比例分别为:
s(t,i(t,r(t且s(t+i(t+r(t=1,io,So分别为患者人数,健康人数的比例初始值.
设每个患者每日感染健康者的平均人数为日感染率,记为λj,则
λj=j日新增病例数/(j-1日(累计确诊人数-累计出院人数;
每日被治愈的患者人数占其总数的比例为日治愈率,记为μj,则
Μj=j日被治愈的人数/j日累计确诊病人数;
定义整个传染期内每个患者有效接触的平均人数为接触数σ,
由s(t+i(t+r(t=1可知,对于病愈免疫的治愈者而言应有dr/dt=μi,因此考虑SIR传染模型,该模型的方程为
2
λsi-μi;
λsi(1
三、模型的求解
1、数值运算
由于在方程(1中无法求出s(t和i(t的解析解,故先做数值运算.
据来自中国卫生部网站公布的2009年6月14日~8月14日的疫情数据(见表1[包括日累计确诊病例、日累计治愈病例等.其中缺失的部分数据,将以通过给定的数据拟合得到.
表1疫情原始数据
日期新增病例确诊病例累计治愈累计新增治愈数
6月14日2018573
6月15日412268613
6月16日112379711
6月17日2726411417
6月18日3329713521
6月19日3132816025
6月20日2835618525
6月21日5841419914
6月22日2744122728
6月23日4949025124
6月24日3852827524
6月25日4257032146
6月26日4861833817
6月27日6067837335
6月28日5172940128
6月29日3776644544
6月30日4481049651
7月1日5686655458
7月2日4991561258
7月3日4596066048
7月4日40100070444
3
7月5日401040749457月6日571097793447月7日541151870777月8日361187927577月9日361223985587月10日4012631035507月11日3913021085507月12日2613281110257月13日2613541134247月14日4513991166327月15日4514441197317月16日4114851230337月17日5215371263337月18日4415811293307月19日4416251323307月20日4316681355327月21日5217201404497月22日5217721454507月23日3818101529757月24日4218521604757月25日2618781663597月26日2619041722597月27日2619301781597月28日3719671817367月29日3620031853367月30日4320461883307月31日4420901912298月1日2021101937258月2日2121311962258月3日2121521988268月4日2921812031438月5日2922102074438月6日2722372098248月7日2722642122248月8日2822922137158月9日2823202152158月10日2823482167158月11日3823862203368月12日3924252240378月13日5724822261218月14日552537228322
注:
2009年疫情效据见文献[8]
4
以6月15日为基日,当日累计确诊病例226例,累计出院者86例,故
s(0=(50000-226+86/50000=0.9972;
I(0=(226-86/50000=0.0028;
在研究期间,平均日感染率λ和平均日治愈率μ由每天相应数据平均求得.设计程序为:
新增病例A确诊病例累计B治愈累计C新增治愈数D
>>A=[41112733312858274938424860513744564945404057543636
403926264545415244444352523842262626373643442021212929272728282838395755]
>>B=[226237264297328356414441490528570618678729766810866915960
100010401097115111871223126313021328135413991444148515371581162516681720177218101852187819041930196720032046209021102131215221812210223722642292232023482386242524822537]
>>C=[8697114135160185199227251275321338373401445496554612660
704749793870927985103510851110113411661197123012631293132313551404145415291604166317221781181718531883191219371962198820312074209821222137215221672203224022612283]
>>D=[13111721252514282424461735284451585848444544775758
505025243231333330303249507575595959363630292525264343242415151536372122]
>>E=A./(B-C%日感染率
>>e=sum(E/61%平均日感染率
>>F=D./(B-C%日治愈率
>>f=sum(F/61%平均日治愈率
运行结果:
A=
Columns1through16
41112733312858274938424860513744
Columns17through32
56494540405754363640392626454541
5
52444443525238422626263736434420Columns49through61
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B=
Columns1through8
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Columns9through16
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21312152218122102237226422922320Columns57through61
23482386242524822537
C=
Columns1through8
8697114135160185199227Columns9through16
251275321338373401445496Columns17through24
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9851035108511101134116611971230Columns33through40
12631293132313551404145415291604Columns41through48
16631722178118171853188319121937Columns49through56
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21672203224022612283
D=
Columns1through16
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58584844454477575850502524323133
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Columns49through61
25264343242415151536372122
e=
0.173970451885603%平均日感染率λ=0.173970451885603f=
0.164030384929960%平均日治愈率μ=0.164030384929960接触数:
σ=λ/μ=0.173970451885603/0.164030384929960=1.060598936958463可得模型方程为:
;
然后用Matlab软件编程,解常微分方程做出患者人数比例i(t--时间t/d关图,健康者比例s(t--时间t/d关系图,患者人数比例i-健康者比例s图。
采用常微分方程数值求解的方法,预测之后的疫情,并绘制出曲线。
设计程序为:
M文件
functionwo=bean(t,x
wo=[-0.17397045*x(20;0.17397045*x(2-0.16403038]*x;
命令:
[t,x]=ode45('bean',[0,460],[0.9972,0.0028]
t=
Columns1through6
05.314510.629015.943521.258032.7580Columns7through12
44.258055.758067.258078.758090.2580101.7580Columns13through18
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182.2580193.7580205.2580216.7580228.2580239.7580Columns25through30
251.2580262.7580274.2580285.7580297.2580308.7580Columns31through36
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389.2580400.7580412.2580423.7580435.2580441.4435Columns43through45
447.6290453.8145460.0000
x=
Columns1through3
[0.9972,0.0028][0.9946,0.0020][0.9918,0.0031]
Columns4through6
[0.9889,0.0032][0.9859,0.0034][0.9790,0.0036]
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[0.9717,0.0039][0.9640,0.0041][0.9560,0.0042]
Columns10through12
[0.9479,0.0043][0.9398,0.0043][0.9318,0.0042]
Columns13through15
[0.9240,0.0041][0.9166,0.0039][0.9096,0.0037]
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Columns31through33
[0.8601,0.0004][0.8594,0.0004][0.8588,0.0003]
Columns34through36
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Columns43through45
[0.8562,0.0001][0.8562,0.0001][0.8561,0.0001]
>>i=x(:
2;
>>plot(t,i,'g-'
>>xlabel('时间t/d',ylabel('患者比例i'
>>title('i-t关系图'
>>s=x(:
1;
>>plot(t,s,'k-'
>>xlabel('时间t/d',ylabel('健康者比例s'
>>title('s-t关系图'
>>plot(s,i,'r-'
>>xlabel('健康者比例s',ylabel('患者比例i'
>>title('i-s关系图'
>>y=dsolve('Dy=1/x/1.06058937-1','y(0.9972=0.0028','x'
y=
(235717995174701779256942769471657*log(x/250000000000000000000000000000000-(235717995174701779256942769471657*log(2493/2500/250000000000000000000000000000000-x+1
即为i=1/σ*ln(s/s0-s+s0+i0
=1/1.06059894*ln(s/0.9972-s+1
图一患者比例i-时间t关系图图二健康者比例s-时间t关系图
图三i-s关系图由以上分析可知:
(1不论初始条件So、io如何,患者人数终将消失,即i∞=0.从相轨线图形上看,无论从哪一点出发,i(t终将与s轴相交(t充分大.(2最终未感染者的比例是S∞,在式(3中令i=0,得到S∞是方程(So+io一S∞+1/σ*lnS∞/So=0(4在(0,1/σ内的根,在图形上S∞是相轨线与s轴在(0,1/σ内交点的横坐标,此例中S∞约为0.85.(3若So>1/σ,则i(t先增加,当S=1/σ时,i(t达到最大值I(max=So+io-1/σ(1+InσSo(5然后i(t减小且趋于0,s(t则单调减小至S∞;若So<=1/σ,则i(t单调减小至0,s(t单调减小至S∞.11
可以看出,如果仅当患者比例i(t有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ一个定值,当S>1/σ时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ即提高定值1/σ,使得知So<=1/σ,传染病就不会蔓延.即使So>1/σ,从式(4、式(5可以看出,σ减小时,S∞增加,I(max降低,也控制了蔓延的程度.另外,s=λs/μ是传染期内的一个患者传染的健康者的平均数,σ称为交换数,其含义是一个患者被σs个健康者交换.所以当So<=1/σ,即σSo<=1,必有σs<=1.既然交换数不超过1,患者比例i(t绝不会增加,传染病不会蔓延.四,模型预测结果分析由以上模型分析甲型H1N1流感疫情的结果可知,预计疫情在基日后的76日至103日达到峰值,即整个9月份疫情将达到高峰期;在450日后即约2010年9月基本消除.查阅资料可得,该模型与实际疫情情况基本相符.2009年9月以来,中国内地31个省区市已全部报告甲型HINl流感确诊病例.面对如此严峻的疫情,卫生部调整了疫情防控策略,已研制出甲流疫苗并计划将于2009年9月底全国范围内接种,相信此举会对疫情的控制起到积极的作用.由以上分析可知,要想控制传染病的蔓延,有二条途径:
(1提高1/σ,即要对患者进行隔离,减少患者与健康人的接触,提高卫生水平,降低日接触率;提高医疗水平,对患者进行有效的治疗,尽早研发出治疗甲型H1N1流感的药品,提高日治愈率.(2降低So,可以通过预防接种使群体免疫的方法控制传染病的传播.忽略患者比例的初始值io,有So=1一ro,于是传染病不会蔓延的条件So<=1/σ可以表示为ro≥1-1/σ,只要群体免疫使初始时刻的移出者比例(即免疫者比例ro满足上式,就可以制止传染病的蔓延.12
五,结语通过对甲型H1N1流感病例数据和模型进行分析和预测,研究甲型H1N1流感在国内的传播趋势及相应预防措施对疾病流行的影响,使我们对实际问题转化为数学模型并通过matlab进行解题分析有了更深入的了解,觉得这类问题的关键在于首先要明确所要解决的问题是什么,然后就是分析所需的每个步骤和相应的问题与数学函数之间的转换,最后就是运用matlab将数学函数以及图像进行适当的处理,最终得到问题的解决方案。
参考文献:
《MATLAB与数学实验》《甲型H1N1流感正在袭来》艾冬梅李艳晴张丽静刘琳编著刘静编著刘云忠宣慧玉林国玺SARS传染病数学建模及预防、控制机理研究[期刊论文]13
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