高考数学理3卷答案.docx

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高考数学理3卷答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学3卷

（试题及答案解析）

一、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合

22

A（x,y）xy1，B（x,y）yx，则AB中元素的个数为（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】A表示圆

22

xy1上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，

故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，

故选B.

2．设复数z满足（1i）z2i，则z（）

A．

1

2

B．

2

2

C．2D．2

【答案】C

【解析】由题，

2i2i1i2i2

z，则z12122，故选C.

i1

1i1i1i2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016

年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

-1-

2014年2015年2016年

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．

5

（xy）（2xy）的展开式中

33

xy的系数为（）

A．B．C．40D．80

【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含

33

xy的项为

2332

2333

xC2xyyC2xy40xy，则

55

33

xy的系数为40，故选C.

22

xy

5．已知双曲线C：

221（a0，b0）的一条渐近线方程为

ab

22

xy

1有公共焦点．则C的方程为（）

123

222222

xyxyxy

A．1B．1C．1

8104554

【答案】B

5

yx，且与椭圆

2

D．

22

xy

43

1

5b5

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为yx，则

①2a2

22

xy

2229又∵椭圆

1与双曲线有公共焦点，易知c3，则

abc②

123

22

xy

1

由①②解得a2,b5，则双曲线C的方程为，故选B.

45

-2-

6．设函数

π

f（x）cos（x），则下列结论错误的是（）

3

A．f（x）的一个周期为2πB．yf（x）的图像关于直线

8π

x对称

3

C．f（x）的一个零点为

π

xD．f（x）在

6

π

（,π）

2

单调递减

【答案】D

【解析】函数

π

fxcosx的图象可由ycosx向左平移

3

π

个单位得到，

3

如图可知，fx在

π

π

2

上先递减后递增，D选项错误，故选D.

y

Ox

-

6

7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）

A．5

B．4

C．3

D．2【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

SM初始状态01001第1次循环结束100102

第2次循环结束9013

此时S9091首次满足条件，程序需在t3时跳出循环，即

N2为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积

为（）

A．πB．

3π

4

C．

π

２

D．

π

4

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径

2

213

r1，

22

则圆柱体体积

23π

Vrh，故选B.

π

4

-3-

9．等差数列an的首项为1，公差不为0．若

（）

a，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为

2

A．24B．3C．3D．8

【答案】A

【解析】∵an为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为.

则

2

aaa，即

326

2

a12da1da15d

又∵a11，代入上式可得

又∵d0，则d2

220

dd

6565

Sad，故选A.

616224∴61

22

10．已知椭圆C

22

xy

:

1

（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径

22

ab

的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（）

6

A．

3

【答案】A

B．

3

3

C．

2

３

D．

1

3

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切，∴圆心到直线距离等于半径，

∴

2ab

da

22

ab

又∵a0,b0，则上式可化简为a23b2

2

2

c

222

2322

∵bac，可得aac，即

a

2

3

∴

e

c

a

6

3

，故选A

11．已知函数

2x1x1

fxxxa有唯一零点，则a（）

（）2（ee）

A．

1

２

B．

1

3

C．

1

2

D．1

【答案】C

【解析】由条件，

2x1x1

f（x）x2xa（ee），得：

22x1（2x）1

f（2x）（2x）2（2x）a（ee）

21xx1

x4x442xa（ee）

2x1x1

x2xa（ee）

∴f（2x）f（x），即x1为f（x）的对称轴，

由题意，f（x）有唯一零点，

∴f（x）的零点只能为x1，

即

21111

f

（1）121a（ee）0，

-4-

解得

1

a．

2

12．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

APABAD，则的最大值为（）

A．3B．22C．5D．2

【答案】A【解析】由题意，画出右图．

设BD与C切于点E，连接CE．

以A为原点，AD为轴正半轴，

AB为轴正半轴建立直角坐标系，

则C点坐标为（2,1）．

∵|CD|1，|BC|2．

∴BD12225．

∵BD切C于点E．

∴CE⊥BD．

∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．

1

2|BC||CD|

2S222

△BCD

|EC|5

|BD||BD|55

即C的半径为

2

5

5

．

∵P在C上．

224

（x2）（y1）

∴P点的轨迹方程为

5

．

设P点坐标（x0,y0），可以设出P点坐标满足

y

Pg

C

B的参数方程如下：

x

0

y

0

2

25cos

5

2

15sin

5

E

AODx

（）

而

AP（x,y），AB（0,1），AD（2,0）．

00

∵APABAD（0,1）（2,0）（2,）

∴

152

x1cos，y015sin．

0

5

25

两式相加得：

25

15sin1cos

55

255

22

2（）（）sin（）

55

2sin（）≤3

（其中sin

5

5

，

cos

25

5

）

当且仅当

π

2

2kπ，kZ时，取得最大值3．

-5-

二、填空题：

（本题共4小题，每小题5分，共20分）

xy≥0,

xy2≤0,则z3x4y的最小值为________．

13．若x，y满足约束条件

y0,

≥

【答案】1

【解析】由题，画出可行域如图：

3z

目标函数为z3x4y，则直线yx纵截距越大，值越小．

44

由图可知：

在A1,1处取最小值，故

zmin31411．

xyy

20

A

（1,1）

xB

（2,0）

xy0

14．设等比数列an满足

【答案】8

a1a21，a1a33，则

a________．

4

【解析】an为等比数列，设公比为．

aa

12

aa

13

1

3

，即

aaq

11

aaq

11

2

1

3

①

②

，

显然q1，a10，

②

得1q3q2a1

，即，代入①式可得

，

1

①

3

3

aaq128

．

41

15．设函数

f（x）

xx≤

1,0,

x

2,x0,

则满足

1

f（x）f（x）1的x的取值范围是________．

2

【答案】

1

4

【解析】fx

xx≤

1,0

x

2,x0

，

1

fxfx1，即

2

1

fx1fx

2

由图象变换可画出

1

yfx与y1fx的图象如下：

2

y

1

yf（x）

2

11

（,）

44

11x

22

y1f（x）

-6-

由图可知，满足

1

fx1fx的解为

2

1

4

.

16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与

，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与成60角时，AB与成30角；②当直线AB与成60角时，AB与成60角；

③直线AB与所成角的最小值为45；④直线AB与所成角的最大值为60．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|1，AB2，

斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．

以C为坐标原点，以CD为轴正方向，CB为轴正方向，

CA为轴正方向建立空间直角坐标系．

则D（1,0,0），A（0,0,1），

直线的方向单位向量a（0,1,0），|a|1．

B点起始坐标为（0,1,0），

直线的方向单位向量b（1,0,0），|b|1．

设B点在运动过程中的坐标B（cos,sin,0），

其中为BC与CD的夹角，[0,2π）．

那么AB'在运动过程中的向量AB（cos,sin,1），|AB|2．

设AB与所成夹角为

则

π

[0,]

2

，

（cos,sin,1）（0,1,0）22

cos|sin|[0,]

22

aAB

．

故

ππ

[,]

42

，所以③正确，④错误．

设AB与所成夹角为

π

[0,]

2

，

cos

ABb

bAB

（cos,sin,1）（1,0,0）

.

bAB

2

2

|cos|

当AB与夹角为60时，即

π

，

3

12

sin2cos2cos2

322

．

∵

22

cossin1，

-7-

∴|cos|2

2

．

∴

21

cos|cos|

22

．

∵

π

[0,]

2

．

∴

=

π

，此时AB与夹角为60．

3

∴②正确，①错误．

三、解答题：

（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考

题，考生根据要求作答）

（一）必考题：

共60分．

17．（12分）

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3cosA0，a27，b2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．

【解析】

（1）由sinA3cosA0得

π

2sinA0，

3

即

π

AkkZ，又A0,π，

π

3

∴

π

Aπ，得

3

2π

A.

3

由余弦定理

222

abcbcA.又∵

2cos

1

a27,b2,cosA代入并整理得

2

2

c125，故c4.

（2）∵AC2,BC27,AB4，

22227abc

由余弦定理cosC.

2ab7

∵ACAD，即△ACD为直角三角形，

则ACCDcosC，得CD7.

由勾股定理

22

ADCDAC3.

又

2π

A，则

3

2πππ

DAB，

326

1π

S△ADABsin3.

ABD

26

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶

6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，

每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；

如果最高气温位于区间20，25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数

分布表：

最高气温10，1515，2020，2525，3030，3535，40

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

-8-

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元）．当六月份这种酸奶一天的进

货量（单位：

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【解析】⑴易知需求量可取200,300,500

PX200

2161

3035

PX300

362

3035

25742

PX500.

3035

则分布列为：

X200300500

P

2

5

2

5

⑵①当n≤200时：

Yn642n，此时

Ymax400，当n200时取到.

②当200n≤300时：

41

Y2n2002n2002

55

88002n6n800

n

555

此时Ymax520，当n300时取到.

③当300n≤500时，

122

Y2002n20023002n3002n2

555

32002n

5

此时Y520.

④当n≥500时，易知一定小于③的情况.

综上所述：

当n300时，取到最大值为520.

19（．12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?

ABD?

CBD，

AB=BD．

（1）证明：

平面ACD^平面ABC；

D

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC

把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二

面角D-AE-C的余弦值．

C

E

B

D

【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；A

ABC为等边三角形

∴BOAC

∴ABBC

ABBC

C

E

O

BDBD

ABDCBD.

B

ABDDBC

∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC

A为直角又O为底边AC中点

-9-

∴DOAC

令ABa，则ABACBCBDa

23

易得：

ODa，OBa

22222

∴

ODOBBD

由勾股定理的逆定理可得

DOB

2

即ODOB

ODAC

ODOB

z

ACOBO

ACABC

平面

OD平面ABC

D

OBABC

平面

又∵OD平面ADC

CE

由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC

⑵由题意可知VV

DACEBACE

O

By

即B,D到平面ACE的距离相等

即E为BD中点

A

以O为原点，OA为轴正方向，OB为轴正方向，

x

OD为轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，

aa

则O0,0,0，,0,0

A，D0,0,，

22

3

B0,a,0，

2

3a

E0,a,

44

易得：

a3aaaa

AE,a,，AD,0,，OA,0,0

244222

设平面AED的法向量为

n，平面AEC的法向量为

1

n，

2

则

AEn

1

ADn

1

0

0

，解得n13,1,3

AEn

2

OAn

2

0

0

，解得n20,1,3

若二面角DAEC为，易知为锐角，

则

cos

nn

12

nn

12

7

7

20．（12分）已知抛物线

段AB为直径的圆．

2

C:

y=2x，过点（2，0）的直线交C于A，B两点，圆M是以线

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线与圆M的方程．

【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．