椭圆总结全.docx

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椭圆总结全

椭圆

一．知识清单

1。

椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M=｛P｜|PF1｜+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|｝；（时为线段，无轨迹）。

其中两定点F1，F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P｜，0＜e＜1的常数。

（为抛物线;为双曲线）

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）。

2标准方程:

（1）焦点在x轴上，中心在原点：

（a＞b＞0）；

焦点F1（－c，0），F2（c，0）。

其中（一个三角形）

（2）焦点在y轴上，中心在原点:

（a＞b＞0）；

焦点F1（0，－c），F2（0,c）。

其中

注意：

①在两种标准方程中,总有a＞b＞0,并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：

Ax2+By2=1（A＞0，B＞0,A≠B）,当A＜B时,椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

3参数方程:

焦点在x轴，（为参数）

4一般方程:

5。

性质：

对于焦点在x轴上，中心在原点:

（a＞b＞0）有以下性质：

坐标系下的性质：

1范围：

｜x|≤a，|y|≤b；

2对称性：

对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）;

3顶点：

A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，—b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴｜B1B2｜=2b；

（半长轴长，半短轴长）；

椭圆的准线方程:

对于，左准线；右准线

对于，下准线;上准线

焦点到准线的距离（焦参数）

椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行,且关于短轴对称

焦半径公式：

P（x0，y0）为椭圆上任一点.|PF1｜==a+ex0,|PF2｜==a—ex0；|PF1|==a+ey0,｜PF2｜==a—ey0，左加右减，上减下加

通径:

过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=

平面几何性质：

离心率：

e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆.

焦准距；准线间距

两个最大角

焦点在y轴上，中心在原点：

（a＞b＞0）的性质可类似的给出。

6．焦点三角形应注意以下关系:

（1）定义：

r1＋r2＝2a

（2）余弦定理：

＋－2r1r2cos＝（2c）2

（3）面积：

＝r1r2sin＝·2c｜y0｜=c|y0|=

（其中P（）为椭圆上一点，｜PF1｜＝r1,|PF2|＝r2,∠F1PF2＝）

7。

共焦点的椭圆系设法：

把椭圆（a＞b＞0）的共焦点椭圆设为

8。

特别注意：

椭圆方程中的a,b，c，e与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标,与坐　　　　　　　标系有关。

因此确定椭圆方程需要三个条件:

两个定形条件a，b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

9.弦长公式:

（a,b，c为方程的系数

考点1椭圆定义及标准方程

题型1：

椭圆定义的运用

［例1］（湖北部分重点中学2009届高三联考）椭圆有这样的光学性质：

从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计）,从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

A．4aB．2（a－c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能

［解析］按小球的运行路径分三种情况：

（1），此时小球经过的路程为2（a－c）;

（2），此时小球经过的路程为2（a+c）；

（3）此时小球经过的路程为4a,故选D

【名师指引】考虑小球的运行路径要全面

【新题导练】

1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）

A。

3B。

6C.12D。

24

[解析］C。

长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12

2。

已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点,则的最小值为（）

A．5B．7C．13D．15

［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1—2=7

题型2求椭圆的标准方程

[例2]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来

[解析］设椭圆的方程为或，

则,

解之得:

b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．

［警示]易漏焦点在y轴上的情况．

【新题导练】

3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________。

［解析］（0,1）.椭圆方程化为+=1。

焦点在y轴上，则〉2,即k<1。

又k>0,∴0

4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状

［解析］当时，,方程表示焦点在y轴上的椭圆，

当时，，方程表示圆心在原点的圆,

当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆

5。

椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程。

[解析]，，所求方程为+=1或+=1。

考点2椭圆的几何性质

题型1:

求椭圆的离心率（或范围）

［例3]在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率

[解析］，

，

【名师指引】

（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定,离心率也随之确定

（2）只要列出的齐次关系式,就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

6。

如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

。

.。

。

［解析]选

7.已知m,n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为

［解析]由，椭圆的离心率为

题型2：

椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4]已知实数满足,求的最大值与最小值

【解题思路】把看作的函数

［解析]由得,

当时,取得最小值,当时,取得最大值6

【新题导练】

9。

已知点是椭圆（,）上两点,且，则=

［解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称,

10。

如图，把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点

则________________

［解析]由椭圆的对称性知:

．

考点3椭圆的最值问题

［例5］椭圆上的点到直线l:

的距离的最小值为___________．

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析］在椭圆上任取一点P,设P（）。

那么点P到直线l的距离为：

【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数,关键是要具有“函数思想”

【新题导练】

11。

椭圆的内接矩形的面积的最大值为

［解析]设内接矩形的一个顶点为,

矩形的面积

12。

是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值

［解析］

当时，取得最大值，

当时，取得最小值

13.已知点是椭圆上的在第一象限内的点,又、，

是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

［解析]设，则

考点4椭圆的综合应用

题型：

椭圆与向量、解三角形的交汇问题

［例6］已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式

[解析］

（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设

由条件知且，又有，解得

故椭圆的离心率为，其标准方程为：

（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（＊）

x1＋x2＝

，x1x2＝

∵

＝3

∴－x1＝3x2∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（

）2＋4

＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　

m2＝

时，上式不成立；m2≠

时，k2＝

因λ＝3∴k≠0∴k2＝

〉0,∴－1〈m〈－

或

容易验证k2〉2m2－2成立，所以（＊）成立

即所求m的取值范围为（－1，－

）∪（

，1）

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能

例7．椭圆上一点向轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且。

⑴、求该椭圆的离心率.

⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程。

[解析］⑴、，∥,△∽△，

，

又，，

而。

⑵、为准线方程，，

由．所求椭圆方程为．

【新题导练】

14。

设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点关于轴对称，为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是（）

A.B。

C。

D.

[解析]，选A.

15。

如图，在Rt△ABC中,∠CAB=90°，AB=2，AC=.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持｜PA|+｜PB｜的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程;

（2）设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：

（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）

由题设可得

∴动点P的轨迹方程为，

则

∴曲线E方程为

（2）直线MN的方程为

由

∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角

即

解得:

又M、B、N三点不共线

综上所述,k的取值范围是

二．典型例题

考点1椭圆定义及标准方程

题型1:

椭圆定义的运用

例2。

点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：

取得最值时的点坐标。

题型2求椭圆的标准方程

例3。

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程。

考点2椭圆的几何性质

题型1：

求椭圆的离心率（或范围）

例4.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

题型2：

椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

例5。

已知实数满足，求的最大值与最小值

考点3椭圆的最值问题

题型1：

动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

例6。

椭圆上的点到直线l：

的距离的最小值为___________．

题型2。

一、的最值

若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点,e是C的离心率，求的最小值.

例7。

已知椭圆内有一点A（2,1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值.

二、的最值

若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。

例8已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。

三、的最值

若A为椭圆C外一定点,为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。

例9.已知椭圆外一点A（5，6）,为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。

四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值

例10。

定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

考点4直线与椭圆相交问题

题型1直线与椭圆相交求弦长

（1）常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想.

（2）弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式,但△〉0这一制约条件不同意。

（a,b,c为方程的系数）

例11.已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。

题型2“点差法”解题.“设而不求"的思想.

当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解.

步骤：

1.设A（x1，y1）B（x2,y2）分别代入椭圆方程；

2。

设为AB的中点.两式相减，

3.得出

注：

一般的,对椭圆上弦及中点,，有

例12.已知椭圆，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程

考点五。

轨迹问题

这一问题难,但是解决法非常多，有如下几种。

1.直接法:

根据条件,建立坐标系,设动点（x,y），直接列出动点所应满足的方程。

2。

代入法：

一个是动点Q（x0，y0）在已知曲线F（x，y）=0，上运动，而动点P（x，y）与Q点满足某种关系,要求P点的轨迹。

其关键是列出P、Q两点的关系式

3。

定义法:

通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程.

4.参数法：

在x，y间的方程F（x，y）=0难以直接求得时,往往用（t为参数）来反映x，y之间的关系.常用的参数有斜率k与角等。

例13：

的一边的的顶点是B（0,6）和C（0,-6），另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：

基础训练A组

1．椭圆的焦距是（）

A．2B．C．D．

2．F1、F2是定点，|F1F2｜=6，动点M满足｜MF1｜+|MF2|=6,则点M的轨迹是（）

A．椭圆B．直线C．线段D．圆

3．P是椭圆上一点,P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点的准线距离为（）

A．B．C．D．

4．若椭圆经过原点,且焦点为F1（1，0），F2（3，0）,则其离心率为（）

A．B．C．D．

4．若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为（）

A．B．

C．D．以上都不对

6．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为___________。

7．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点（－3，２）的椭圆方程为_______________．

8.设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于_____________

9.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=________

10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．

11．已知A、B为椭圆+=1上两点,F2为椭圆的右焦点，若｜AF2｜+｜BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．

12.求椭圆的内接矩形面积的最大值

13.已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹。

14。

（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时,有成立?

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

综合训练B组

1．下列命题是真命题的是（）

A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

B．到定直线和定点F（c,0）的距离之比为的点的轨迹是椭圆

C．到定点F（－c，0）和定直线的距离之比为（a〉c>0）的点的轨迹是左半个椭圆

D．到定直线和定点F（c，0）的距离之比为（a〉c>0）的点的轨迹是椭圆

2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2,0）,且椭圆过点，则椭圆方程是（）

A．B．C．D．

3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）

A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1,+∞）D．（0，1）

4．设定点F1（0，－3）、F2（0,3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（）

A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段

5．椭圆和具有（）

A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴

6．已知是椭圆上的点，则的取值范围是________________．

7．已知椭圆Ｅ的短轴长为6,焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．

8.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为,点在双曲线上。

则·＝____________________

9..过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是__________

10。

（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为________

11．求中心在原点,焦点在x轴上，焦距等于4,且经过点P（3，－2）的椭圆方程.

12．已知地球运行的轨迹是长半轴长为a,离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离。

13．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0,6）和C（0，—6），另两边AB、AC的斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程.

14．过椭圆引两条切线PA、PB、A、

B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．

（1）若，求P点坐标；

（2）求直线AB的方程（用表示）；

（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）

15．椭圆＞＞与直线交于、两点，且,其中为坐标原点.

（1）求的值；

（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围

提高训练C组

1．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

2．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是（）

A．B．C．D．

3．椭圆上的点到直线的最大距离是（）

A．3B．C．D．

4．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使｜MP|+2｜MF｜的值最小，则这一最小值是（）

A．B．C．3D．4

5．过点M（－2,0）的直线m与椭圆交于P1,P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（）,直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）

A．2B．－2C．D．－

6．中心在原点，离心率为，且一条准线方程是y=3的椭圆方程是。

7．过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB,那么弦AB的长=.

8．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为。

9。

过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点，若，则椭圆的离心率为________________

10.（2009湖北卷理）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是______________________

11．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项。

（1）求椭圆的方程；

（2）若点P在第三象限,且∠＝120°，求。

12．已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率的等比中项.

（1）求椭圆方程，

（2）是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线平分?

若存在,求出直线l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.

13．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2｜FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若,求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。

基础训练A组答案:

1．A2．C3．D4．C5．C6．7．

8.解：

设切点,则切线的斜率为。

由题意有又

解得：

.

9．解：

过点B作于M，并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义，得

10．[解析］:

由，∴椭圆的方程为:

或.

11．［解析］：

设A（x1,y1），B（x2,y2），由焦半径公式有a－ex1+a－ex2=，∴x1+x2=，

即AB中点横坐标为，又左准线方程为,∴，即a=1，∴椭圆方程为x2+y2=1．

12

13解:

设点M的坐标为，则点P的坐标为。

∵P在圆上，∴，即.

∴点M的轨迹是一个椭圆

14解析：

本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：

（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为

故，

由

得，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由（Ⅰ）知C的方程为+=6.设

（ⅰ）

　C成立的充要条件是,且

整理得

故①

将

于是，=,

代入①解得，，此时

于是=，即

因此,当时，，；

当时，，。

（ⅱ）当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为.

综合训练B组答案

1.D2。

D3。

D4.A5.A6．7．

8【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或。

不妨去，则，

.∴·＝

9【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C,，则有,因．

10【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。

考察了同学们的运算能力和推理能力.

11．12。

最大距离为a（1+e）,最小距离为a（1－e）

13.解：

设顶点A的坐标为.

依题意得，

∴顶点A的轨迹方程为。

说明：

方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与（0,6）应舍去.

14．（12分）

［解析］：

（1）∴OAPB的正方形

由∴P点坐标为（）

（2）设A（x1，y1），B（x2,y2）

则PA、PB的方程分别为，而PA、PB交于P（x0，y0）

即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4,∴AB的直线方程为：

x0x+y0y=4

（3）由、

当且仅当。

15．（12分）[解析］：

设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0

又将

代入①化简得.

（2）又由

（1）知

，∴长轴2a∈[].

提高训练C组答案

1.D2.B3。

D4.C5.D6．7．8．

9【解析】因为，再由有从而可得

10【解析】易得准线方程是所以即所以方程是

联立可得由可解得

11解：

（1）由题设｜|＋｜｜＝２｜｜＝4

∴，2c=2，∴ｂ＝

∴椭圆的方程为.

（２）设∠，则∠＝60°－θ

由正弦定理得：

由等比定理得：

整理得：

故

.

12．解

（1）

对应准线方程为

∴椭圆中心在原点，则椭圆方程为

（2）假设存在直线l,且l交椭圆所得的弦MN被直线平分，∴l的斜率存在，设l：

y=kx+m。

由。

∵直线l交椭圆于不同两点M、N.

①

设M

代入①得.

∴存在满足条件的直线l1的倾斜角注：

第

（1）小题还可利用椭圆的第二定义解决

13．（14分）［解析]：

（1）由题