高等数学教材专升本.docx

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高等数学教材专升本

一、函数与极限2

1、集合的概念2

2、常量与变量3

2、函数4

3、函数的简单性态4

4、反函数5

5、复合函数6

6、初等函数6

7、双曲函数及反双曲函数7

8、数列的极限8

9、函数的极限9

10、函数极限的运算规则11

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：

a∈A，否则就说a不属于A，记作：

a

A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：

把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：

用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A

B（或B

A）。

。

⑵相等：

如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：

如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：

我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作

，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：

①、任何一个集合是它本身的子集。

即A

A

②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）

即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。

记作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、补集：

①全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

通常记作U。

②补集：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。

简称为集合A的补集，记作CUA。

即CUA＝｛x|x∈U，且x

A｝。

集合中元素的个数

⑴、有限集：

我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card来表示有限集中元素的个数。

例如A＝｛a,b,c｝，则card（A）=3。

⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有

card（A）+card（B）=card（A∪B）+card（A∩B）

我的问题：

1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。

学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。

⑴、A∪B；⑵、A∩B。

2、在平面直角坐标系中，集合C＝{（x,y）|y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={（x,y）|方程组：

2x-y=1,x+4y=5}表示什么？

集合C、D之间有什么关系？

请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。

3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|（x-1）（x-a）=0}。

试判断B是不是A的子集？

是否存在实数a使A＝B成立？

4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？

5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？

2、常量与变量

⑴、变量的定义：

我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

注：

在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。

⑵、变量的表示：

如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名称

区间的满足的不等式

区间的记号

区间在数轴上的表示

闭区间

a≤x≤b

[a，b]

开区间

a＜x＜b

（a，b）

半开区间

a＜x≤b或a≤x＜b

（a，b]或[a，b）

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[a，+∞）：

表示不小于a的实数的全体，也可记为：

a≤x＜+∞；

（-∞，b）：

表示小于b的实数的全体，也可记为：

-∞＜x＜b；

（-∞，+∞）：

表示全体实数，也可记为：

-∞＜x＜+∞

注：

其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。

⑶、邻域：

设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

2、函数

⑴、函数的定义：

如果当变量x在其变化围任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

变量x的变化围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化围叫做这个函数的值域。

注：

为了表明y是x的函数，我们用记号y=f（x）、y=F（x）等等来表示。

这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变量在定义域任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：

定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法

a）：

解析法：

用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

例：

直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：

x2+y2=r2

b）：

表格法：

将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：

在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c）：

图示法：

用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。

一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

例：

直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：

3、函数的简单性态

⑴、函数的有界性：

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界。

注：

一个函数，如果在其整个定义域有界，则称为有界函数

例题：

函数cosx在（-∞,+∞）是有界的.

⑵、函数的单调性：

如果函数在区间（a,b）随着x增大而增大，即：

对于（a,b）任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间（a,b）是单调增加的。

如果函数在区间（a,b）随着x增大而减小，即：

对于（a,b）任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间（a,b）是单调减小的。

例题：

函数=x2在区间（-∞,0）上是单调减小的，在区间（0,+∞）上是单调增加的。

⑶、函数的奇偶性

如果函数对于定义域的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域的任意x都满足=-，则叫做奇函数。

注：

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

⑷、函数的周期性

对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。

注：

我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

例题：

函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。

4、反函数

⑴、反函数的定义：

设有函数，若变量y在函数的值域任取一值y0时，变量x在函数的定义域必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.

注：

由此定义可知，函数也是函数的反函数。

⑵、反函数的存在定理：

若在（a，b）上严格增（减），其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增（减）.

注：

严格增（减）即是单调增（减）

例题：

y=x2，其定义域为（-∞,+∞），值域为[0,+∞）.对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间（-∞,+∞）上，函数不是严格增（减），故其没有反函数。

如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。

即是：

函数在此要求下严格增（减）.

⑶、反函数的性质：

在同一坐标平面，与的图形是关于直线y=x对称的。

例题：

函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。

如右图所示：

5、复合函数

复合函数的定义：

若y是u的函数：

，而u又是x的函数：

，且的函数值的全部或部分在的定义域，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。

注：

并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

例题：

函数与函数是不能复合成一个函数的。

因为对于的定义域（-∞,+∞）中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。

6、初等函数

⑴、基本初等函数：

我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。

下面我们用表格来把它们总结一下：

函数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质

指数函数

 a）:

不论x为何值,y总为正数;

 b）:

当x=0时,y=1.

对数函数

 a）:

其图形总位于y轴右侧,并过（1,0）点

 b）:

当a＞1时,在区间（0,1）的值为负；在区间（-,+∞）的值为正；在定义域单调增.

幂函数

a为任意实数

这里只画出部分函数图形的一部分。

 令a=m/n

 a）:

当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;

 b）:

当m,n都是奇数时,y是奇函数;

 c）:

当m奇n偶时,y在（-∞,0）无意义.

三角函数

（正弦函数）

 这里只写出了正弦函数

 a）:

正弦函数是以2π为周期的周期函数

 b）:

正弦函数是奇函数且

反三角函数

（反正弦函数）

这里只写出了反正弦函数

 a）:

由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.

⑵、初等函数：

由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

例题：

是初等函数。

7、双曲函数及反双曲函数

⑴、双曲函数：

在应用中我们经常遇到的双曲函数是：

（用表格来描述）

函数的名称

函数的表达式

函数的图形

函数的性质

双曲正弦

a）：

其定义域为:

（-∞,+∞）；

b）：

是奇函数；

c）：

在定义域是单调增

双曲余弦

a）：

其定义域为:

（-∞,+∞）；

b）：

是偶函数；

c）：

其图像过点（0,1）；

双曲正切

a）：

其定义域为:

（-∞,+∞）；

b）：

是奇函数；

c）：

其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域单调增；

我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：

双曲函数的性质

三角函数的性质

shx与thx是奇函数，chx是偶函数

sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数

它们都不是周期函数

都是周期函数

双曲函数也有和差公式：

⑵、反双曲函数：

双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a）：

反双曲正弦函数  其定义域为：

（-∞,+∞）；

b）：

反双曲余弦函数  其定义域为：

[1,+∞）；

c）：

反双曲正切函数   其定义域为：

（-1,+1）；

8、数列的极限

我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。

⑴、数列：

若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。

第n项an叫做数列的一般项或通项.

注：

我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：

an=，它的定义域是全体正整数

⑵、极限：

极限的概念是际问题的精确解答而产生的。

例：

我们可通过作圆的接正多边形，近似求出圆的面积。

设有一圆，首先作圆接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去（一般把接正6×2n-1边形的面积记为An）可得一系列接正多边形的面积：

A1，A2，A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。

我们可以发现，当接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值（圆的面积），这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…当n→∞（读作n趋近于无穷大）的极限。

注：

上面这个例子就是我国古代数学家徽（公元三世纪）的割圆术。

⑶、数列的极限：

一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε（不论其多么小），总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a.

记作：

或

注：

此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。

且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。

⑷、数列的极限的几何解释：

在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。

数列极限为a的一个几何解释：

将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间（a-ε，a+ε），如下图所示：

  因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间（a-ε，a+ε），而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。

注：

至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。

⑸、数列的有界性：

对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。

定理：

若数列收敛，那末数列一定有界。

注：

有界的数列不一定收敛，即：

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

例：

数列 1，-1，1，-1，…，（-1）n+1，… 是有界的，但它是发散的。

9、函数的极限

前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1→∞的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。

下面我们来学习函数的极限.

函数的极值有两种情况：

a）：

自变量无限增大；b）：

自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。

我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢?

下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!

⑴、函数的极限（分两种情况）

a）:

自变量趋向无穷大时函数的极限

定义：

设函数，若对于任意给定的正数ε（不论其多么小），总存在着正数X，使得对于适合不等式的一切x，所对应的函数值都满足不等式

那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：

下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：

数列的极限的定义

函数的极限的定义

存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正整数N，对于n＞N的所有都满足＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：

。

存在函数与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正数X，对于适合的一切x，都满足，函数当x→∞时的极限为A，记：

。

从上表我们发现了什么？

？

试思考之

b）:

自变量趋向有限值时函数的极限。

我们先来看一个例子.

例：

函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？

函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的围，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:

从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：

只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足＜δ定义：

设函数在某点x0的某个去心邻域有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε（不论其多么小），总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：

。

注：

在定义中为什么是在去心邻域呢？

这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。

此定义的核心问题是：

对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域的x均满足不等式。

有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A，其证明方法是怎样的呢？

    a）:

先任取ε＞0；

    b）:

写出不等式＜ε；

    c）:

解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；

   d）:

则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜ε成立，因此

10、函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则

  若已知x→x0（或x→∞）时，.

则：

   推论：

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：

求

解答：

例题：

求

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？

下面我们把它解出来。

解答：

注：

通过此例题我们可以发现：

当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子：

例：

符号函数为

对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。

定义：

如果x仅从左侧（x＜x0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：

如果x仅从右侧（x＞x0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：

注：

只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限

函数极限的存在准则

  准则一：

对于点x0的某一邻域的一切x，x0点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切x）有≤≤，且，

那末存在，且等于A

注：

此准则也就是夹逼准则.

准则二：

单调有界的函数必有极限.

注：

有极限的函数不一定单调有界

两个重要的极限

  一：

注：

其中e为无理数，它的值为：

e=2.9045...

二：

注：

在此我们对这两个重要极限不加以证明.

注：

我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.

例题：

求

解答：

令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，

则

注：

解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.

无穷大量和无穷小量

无穷大量

我们先来看一个例子：

已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。

为此我们可定义如下：

设有函数y=，在x=x0的去心邻域有定义，对于任意给定的正数N（一个任意大的数），总可找到正数δ，当

时，成立，则称函数当时为无穷大量。

记为：

（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）

同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：

设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N（一个任意大的数），总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：

无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。

定义：

设有函数，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（或正数M），使得对于适合不等式（或）的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当（或x→∞）时为无穷小量.

记作：

（或）

注意：

无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。

无穷大量与无穷小量的区别是：

前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.

关于无穷小量的两个定理

定理一：

如果函数在（或x→∞）时有极限A，则差是当（或x→∞）时的无穷小量，反之亦成立。

定理二：

无穷小量的有利运算定理

a）：

有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：

有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c）：

常数与无穷小量的积也是无穷小量.

无穷小量的比较

通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？

好！

接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

定义：

设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域不为零，

a）：

如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；

b）：

如果，则称α和β是同阶无穷小；

c）：

如果，则称α和β是等价无穷小，记作：

α∽β（α与β等价）

例：

因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；

因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；

因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。

等价无穷小的性质

设，且存在，则.

注：

这个性质表明：

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

例题：

1.求

  解答：

当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：

例题：

2.求

解答：

注：

注：

从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。

函数的一重要性质——连续性

在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性

在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量

设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：

△x即：

△x=x2-x1增量△x可正可负.

我们再来看一个例子：

函数在点x0的邻域有定义，当自变量x在领域从x0变到x0+△x时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：

这个关系式的几何解释如下图：

现在我们可对连续性的概念这样描述：

如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：

，那末就称函数在点x0处连续。

函数连续性的定义：

设函数在点x0的某个邻域有定义，如果有称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点.

下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：

设函数在区间（a,b]有定义，如果左极限存在且等于，即：

=，那末