考点整合与训练第七章不等式 第3节 基本不等式及其应用.docx
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考点整合与训练第七章不等式第3节基本不等式及其应用
第3节 基本不等式及其应用
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识梳理
1.基本不等式:
≤
(1)基本不等式成立的条件:
a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:
当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:
和定积最大).
[微点提醒]
1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0,b>0).
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+的最小值是2.( )
(3)函数f(x)=sinx+的最小值为4.( )
(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.( )
解析
(1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
不等式≥成立的条件是a≥0,b≥0.
(2)函数y=x+的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.
(3)函数f(x)=sinx+没有最小值.
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(必修5P99例1
(2)改编)若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为( )
A.9B.18C.36D.81
解析 因为x+y=18,所以≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.
答案 A
3.(必修5P100练习T1改编)若x<0,则x+( )
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
解析 因为x<0,所以-x>0,-x+≥2=2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
答案 D
4.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)=,则f(x)在上的最小值为( )
A.B.C.-1D.0
解析 f(x)==x+-2≥2-2=0,当且仅当x=,即x=1时取等号.
又1∈,所以f(x)在上的最小值为0.
答案 D
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为xm,宽为ym.则x+2y=30,
所以S=xy=x·(2y)≤=,当且仅当x=2y,
即x=15,y=时取等号.
答案 15
6.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.
解析 由题设知a-3b=-6,又2a>0,8b>0,所以2a+≥2=2·2=,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.故2a+的最小值为.
答案
考点一 利用基本不等式求最值
多维探究
角度1 通过配凑法求最值
【例1-1】(2019·乐山一中月考)设0 解析 y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)] ≤2=, 当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立. ∵∈,∴函数y=4x(3-2x)的最大值为. 答案 角度2 通过常数代换法求最值 【例1-2】(2019·潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,则+的最小值为________. 解析 ∵曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1, ∴A(1,1). 将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0), 可得m+n=1, ∴+=·(m+n)=2++≥2+2=4, 当且仅当=且m+n=1(m>0,n>0),即m=n=时,取得等号. 答案 4 规律方法 在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有: 折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0,b>0且2a+b=4,则的最小值为( ) A.2B.C.4D. (2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为______. 解析 (1)因为a>0,b>0,故2a+b≥2(当且仅当2a=b时取等号). 又因为2a+b=4, ∴2≤4⇒0 ∴≥,故的最小值为(当且仅当a=1,b=2时等号成立). (2)因为x<,所以5-4x>0, 则f(x)=4x-2+=-+3 ≤-2+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立. 故f(x)=4x-2+的最大值为1. 答案 (1)B (2)1 考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【例2】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位: 千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式; (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t=(h), y=×2×+14×,x∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100] (或y=+x,x∈[50,100]). (2)y=+x≥26, 当且仅当=x, 即x=18时等号成立. 故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是________万元. 解析 由题意知t=-1(1 当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元. 答案 37.5 考点三 基本不等式的综合应用 【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________. 解析 (1)∵a3=7,a9=19, ∴d===2, ∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1, ∴Sn==n(n+2), 因此== ≥×2=3, 当且仅当n=2时取等号.故的最小值为3. (2)法一 依题意画出图形,如图所示. 易知S△ABD+S△BCD=S△ABC, 即csin60°+asin60°=acsin120°, ∴a+c=ac,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9, 当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 法二 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0),∵AB=c,BC=a, ∴A,C. ∵A,D,C三点共线,∴∥. ∴+c=0, ∴ac=a+c,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9, 当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 答案 (1)3 (2)9 规律方法 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点. 2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立,完成后续问题. 【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-∞,2-1) C.(-1,2-1)D.(-2-1,2-1) (2)在各项都为正数的等比数列{an}中,若a2018=,则+的最小值为________. 解析 (1)由f(x)>0得32x-(k+1)3x+2>0,解得k+1<3x+. 又3x+≥2(当且仅当3x=,即x=log3时,等号成立). 所以k+1<2,即k<2-1. (2)∵{an}为等比数列,∴a2017·a2019=a=. ∴+≥2=2=4. 当且仅当=,即a2019=2a2017时,取得等号. ∴+的最小值为4. 答案 (1)B (2)4 [思维升华] 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y=x+(m>0)的单调性. [易错防范] 1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 基础巩固题组 (建议用时: 35分钟) 一、选择题 1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由a>b>0,可知a2+b2>2ab,充分性成立,由ab<,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立. 答案 A 2.下列结论正确的是( ) A.当x>0且x≠1,lgx+≥2 B.<1(x∈R) C.当x>0时,+≥2 D.当0 解析 对于A,当0 对于B,当x=0时,有=1,不等式不成立; 对于C,当x>0时,+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立; 对于D,当0 答案 C 3.(2018·绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lgx,2,lgy成等差数列,则x+y有( ) A.最小值20B.最小值200 C.最大值20D.最大值200 解析 由题意得2×2=lgx+lgy=lg(xy),所以xy=10000,则x+y≥2=200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y有最小值200. 答案 B 4.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( ) A.16B.9C.4D.2 解析 在(1,+∞)上,x+=(x-1)++1 ≥2+1=2+1(当且仅当x=1+时取等号). 由题意知2+1≥5.所以a≥4. 答案 C 5.(2019·太原模拟)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为( ) A.2B.2C.4D.4 解析 由题意知∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4, ∴≤=2(当且仅当|PA|=|PB|时取等号), ∴|PA|+|PB|≤2,∴|PA|+|PB|的最大值为2. 答案 B 6.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件B.80件 C.100件D.120件 解析 设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是元,总的费用是元,由基本不等式得+≥2=20,当且仅当=,即x=80时取等号. 答案 B 7.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( ) A.B.2C.2D.4 解析 依题意知a>0,b>0,则+≥2=, 当且仅当=,即b=2a时,“=”成立. 因为+=,所以≥, 即ab≥2(当且仅当a=2,b=2时等号成立), 所以ab的最小值为2. 答案 C 8.(2019·衡水中学质检)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.[3,+∞)B.(-∞,3] C.(-∞,6]D.[6,+∞) 解析 因为a>0,b>0,+=1, 所以a+b=(a+b)=10++≥16, 当且仅当=,即a=4,b=12时取等号. 依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立. 又x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6. 答案 D 二、填空题 9.正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________. 解析 ∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2+3(当且仅当a=b=3时等号成立),解得≥3,即ab≥9. 答案 [9,+∞) 10.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位: 万元)与机器运转时间x(单位: 年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 解析 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元. 答案 8 11.(2019·合肥调研)设x,y满足约束条件若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为35,则a+b的最小值为________. 解析 可行域如图所示,当直线abx+y=z(a>0,b>0)过点B(2,3)时,z取最大值2ab+3. 于是有2ab+3=35,ab=16. 所以a+b≥2=8,当且仅当a=b=4时等号成立, 所以(a+b)min=8. 答案 8 12.已知直线mx+ny-2=0经过函数g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定点,其中mn>0,则+的最小值为________. 解析 因为函数g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定点(1,1)在直线mx+ny-2=0上, 所以m+n-2=0,即+=1. 所以+==1++ ≥1+2=2, 当且仅当=,即m=n=1时取等号, 所以+的最小值为2. 答案 2 能力提升题组 (建议用时: 15分钟) 13.(2018·江西师范大学附属中学月考)若向量m=(a-1,2),n=(4,b),且m⊥n,a>0,b>0,则loga+log3有( ) A.最大值log3B.最小值log32 C.最大值logD.最小值0 解析 由m⊥n,得m·n=0,即4(a-1)+2b=0, ∴2a+b=2,∴2≥2,∴ab≤(当且仅当2a=b时,等号成立). 又loga+log3=loga+logb=logab≥log=log32, 故loga+log3有最小值为log32. 答案 B 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,若△ABC的三边长分别为a,b,c,则+的最小值为( ) A.2B.2+C.4D.2+2 解析 因为△ABC的面积为1,内切圆半径也为1, 所以(a+b+c)×1=1,所以a+b+c=2, 所以+=+=2++≥2+2, 当且仅当a+b=c,即c=2-2时,等号成立, 所以+的最小值为2+2. 答案 D 15.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________. 解析 ∵a,b∈R,ab>0, ∴≥=4ab+≥2=4, 当且仅当即时取得等号. 答案 4 16.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________. 解析 对任意x∈N*,f(x)≥3, 即≥3恒成立,即a≥-+3. 设g(x)=x+,x∈N*,则g(x)=x+≥4, 当x=2时等号成立,又g (2)=6,g(3)=, ∵g (2)>g(3),∴g(x)min=.∴-+3≤-, ∴a≥-,故a的取值范围是. 答案
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