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初二因式分解提高同步讲义
第09讲因式分解
温故知新
回忆:
运用之前所学的知识填空:
(1)2(x+3)=_________________;
(2)x2(3+x)=________________;
(3)m(a+b+c)=______________.
智慧乐园
探究活动:
我们已经学习了整式的乘法,知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式,反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,本节课我们一起来探究这种变形:
1、探索:
你会做下面的填空吗?
(1)2x+6=()();
(2)3x2+x3=()();
(3)ma+mb+mc=()2.
2、归纳:
“回忆”的是已熟悉的运算,而要“探索”的问题,其过程正好与“回忆”,它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是(也叫做把这个多项式)
知识要点一
因式分解
1、因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。
注意:
(1)因式分解是恒等变形,因式分解的对象是多项式;
(2)因式分解是有范围的,现阶段在有理数范围内进行;
(3)因式分解的结果要以积的形式表示,每个因式必须是整式;
(4)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
2、因式分解与整式乘法的关系
如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。
Ø典例分析
例1、将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1B.a2+a
C.a2+a﹣2D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
例2、下列从左到右边的变形,是因式分解的是( )
A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2B.(y+1)(y﹣3)=﹣(3﹣y)(y+1)
C.4yz﹣2y2z+z=2y(2z﹣yz)+zD.﹣8x2+8x﹣2=﹣2(2x﹣1)2
例3、(x+3)(2x﹣1)是多项式 因式分解的结果.
Ø举一反三
1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.6a2b2=3ab•2abB.2x2+8x﹣1=2x(x+4)﹣1
C.a2﹣3a﹣4=(a+1)(a﹣4)D.
2、多项式x2+mx+6因式分解得(x﹣2)(x+n),则m= .
3、若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为(x﹣1),那么m= .
知识要点二
因式分解的方法
一、提公因式法
1、公因式的定义:
我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
2、确定公因式的方法:
确定公因式的一般步骤:
(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符
号取“—”;
(2)确定公因式的数字因数:
当各项系数都是整数时,取多项式各项系
数的最大公约数为公因式的系数;(3)确定公因式的字母及其指数:
取多项式各项都
含有的相同字母(或因式),其指数取最低次。
3、提公因式法:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多
项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的
“逆用”。
二、公式法
1、用平方差公式因式分解
把乘法公式中的
反过来,就可得:
2、用完全平方公式因式分解
把乘法公式中的完全平方公式
反过来,就可得:
3、因式分解的一般步骤
步骤:
(1)有公因式先提公因式;
(2)没有公因式,可以尝试公式法因式分解;
(3)如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解;
(4)必须分解到最后。
Ø典例分析
例1、把a2﹣4a多项式分解因式,结果正确的是( )
A.a(a﹣4)B.(a+2)(a﹣2)
C.a(a+2)(a﹣2)D.(a﹣2)2﹣4
例2、多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
A.x﹣1B.x+1
C.x2﹣1D.(x﹣1)2
例3、把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x﹣3)2B.(x﹣9)2
C.(x+3)(x﹣3)D.(x+9)(x﹣9)
例4、把8a3﹣8a2+2a进行因式分解,结果正确的是( )
A.2a(4a2﹣4a+1)B.8a2(a﹣1)
C.2a(2a﹣1)2D.2a(2a+1)2
例5、如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式 .
例6、分解因式:
(m+1)(m﹣9)+8m= .
例7、
(1)因式分解:
(x﹣y)(3x﹣y)+2x(3x﹣y);
(2)设y=kx,是否存在实数k,使得上式的化简结果为x2?
求出所有满足条件的k的值.
若不能,请说明理由.
例8、因式分解:
(1)6xy2﹣9x2y﹣y3
(2)(p﹣4)(p+1)+3p.
Ø举一反三
1、把(x﹣a)3﹣(a﹣x)2分解因式的结果为( )
A.(x﹣a)2(x﹣a+1)B.(x﹣a)2(x﹣a﹣1)
C.(x﹣a)2(x+a)D.(a﹣x)2(x﹣a﹣1)
2、分解因式:
4x2﹣4xy+y2= .
3、先化简,再求值:
(1)已知a+b=2,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值.
(2)求(2x﹣y)(2x+y)﹣(2y+x)(2y﹣x)的值,其中x=2,y=1.
课堂闯关
Ø初出茅庐
建议用时:
10分钟
1、下列各式从左到右的变形中,为因式分解的是( )
A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1)D.ax+by+c=x(a+b)+c
2、对多项式3x2﹣3x因式分解,提取的公因式为( )
A.3B.x
C.3xD.3x2
3、下列因式分解正确的是( )
A.x2+9=(x+3)2B.a2+2a+4=(a+2)2
C.a3﹣4a2=a2(a﹣4)D.1﹣4x2=(1+4x)(1﹣4)
4、下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )
①x2﹣10x+25;②4a2+4a﹣1;③x2﹣2x﹣1;④
;⑤
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5、把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m+n的值为 .
6、如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m),那么m= ,n= .
7、分解因式:
2a(b+c)﹣3(b+c)= .
8、分解因式:
x2﹣4x+4= .
Ø优学学霸
建议用时:
15分钟
1、在实数范围内分解因式:
x2﹣5.
2、阅读理解题:
我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,
即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢?
当然可以,而且也很简单.
如:
(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3);
(2)x2﹣4x﹣5=x2+(1﹣5)x+1×(﹣5)=(x+1)(x﹣5).
请你仿照上述方法,把多项式分解因式:
x2﹣7x﹣18.
3、若a、b、c为△ABC的三边.
(1)判断代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值与0的大小关系,并说明理由;
(2)满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,试判断△ABC的形状.
考场直播
1、【2016春•祁阳县期末】下列从左到右的变形:
是因式分解的个数是( )
(1)15x2y=3x•5xy;
(2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;
(3)a2﹣2a+1=(a﹣1)2;(4)x2+3x+1=x(x+3+
)
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、【2014秋•瑞金市期末】若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x﹣1)(x﹣3),则k+b的值为 .
3、【2017春•萧山区校级月考】分解因式:
x2﹣(x﹣3)2= .
自我挑战
建议用时:
30分钟
1、下列各式从左到右的变形,是因式分解的是( )
A.x2﹣9+6x=(x+3)(x﹣3)+6xB.(x+5)(x﹣2)=x2+3x﹣10
C.x2﹣8x+16=(x﹣4)2D.6ab=2a•3b
2、若(x﹣3)(x+5)是x2+px+q的因式,则p为( )
A.﹣15B.﹣2C.8D.2
3、把多项式a2﹣9a分解因式,结果正确的是( )
A.a(a﹣9)B.a(a+3)(a﹣3)
C.(a+3)(a﹣3)D.(a﹣3)2﹣9
4、因式分解2x+x3的正确结果是( )
A.2(x+x3)B.x(2+x2)
C.2x(1+x)D.x(2+x3)
5、下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是( )
A.x2+y2+2x+2yB.x2+y2+2xy﹣2
C.x2﹣y2+4x+4yD.x2﹣y2+4y﹣4
6、分解因式:
16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)B.(x﹣4)(x+4)
C.(8+x)(8﹣x)D.(4﹣x)2
7、下列分解因式正确的是( )
A.﹣ma﹣m=﹣m(a﹣1)B.a2﹣1=(a﹣1)2
C.a2﹣6a+9=(a﹣3)2D.a2+3a+9=(a+3)2
8、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则a+b= .
9、如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的一个因式,则m的值 .
10、因式分解:
x2﹣2x= .
11、把下列各式分解因式:
(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m);
(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3.
12、已知:
x+y=2,xy=7,求x3y+xy3的值.
13、已知x2+y2﹣4x+6y+13=0,求x2﹣6xy+9y2的值.
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- 关 键 词:
- 初二 因式分解 提高 同步 讲义