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课题：

有理数的乘方

秦皇岛市第十八中学陈克霞

2011年9月28日于秦市第十八中学

教学目标

1．理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系，会进行乘方的运算。

2、在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想，体会数学的简洁美。

教学重点

乘方的相关概念及运算方法。

教学难点

理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系.

教学方法

引导发现法.

教学手段

多媒体辅助教学.

教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境，引入新课。

有一张厚度是0.1毫米的纸，依次折叠1次、2次、3次、4次，列式并计算纸张的厚度.

引导学生观察、发现纸张厚度所发生的变化是在成倍的增长.

算式：

对折1次为：

0.1×2

对折2次为：

0.1×2×2

对折3次为：

0.1×2×2×2

对折4次为：

0.1×2×2×2×2

如果一层楼有3米高，连续折叠20次会有多少层楼高？

请猜一猜。

珠穆朗玛峰是世界的最高峰，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰。

这是真的吗？

最后老师告诉学生：

连续折叠20次大概有35层楼高，连续折叠27次就超过珠穆朗玛峰的高度了，而折叠30次就有12个珠穆朗玛峰了。

我们一起来看上面的算式：

对折1次为：

0.1×2

对折2次为：

0.1×2×2

对折3次为：

0.1×2×2×2

对折4次为：

0.1×2×2×2×2

对折30次为：

问题：

观察式子的后面，它们都是什么运算？

有什么特点？

出现问题：

当相同因数相乘而因数的个数非常多时，造成乘法的算式和算法的重复和繁锁，需要创造一种简单的表达式，怎么解决这个问题呢？

二、新课讲解。

问题1：

（1）边长为a的正方形的面积是什么？

（2）棱长为b的正方体的体积是什么？

式子为：

（1）a

a=a2

（2）b

b

b=b3

请同学们用类似的方法表示下面的式子。

2×2×2×2×2=25

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=210

象这样的运算就是我们今天要学习的乘方运算。

给出乘方的定义。

乘方：

把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

定义分析

●实质：

是特殊的乘法运算

●特点：

各因数相同

幂的表示：

an读作：

a的n次方，也叫做a的n次幂，

a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。

an的意义：

表示n个a相乘。

即an=

问题2.加、减、乘、除是针对运算而言，和、差、积、商是针对运算的结果而言，那么类似地乘方运算的结果叫做幂，其中乘方是针对什么而言？

幂又是针对什么而言呢？

结论：

乘方是特殊的乘法运算，幂是乘方的结果。

问题3.在

中，底数a表示什么？

它可以取哪些数？

指数n代表什么？

它可以取哪些数？

结论：

a可以取任何有理数，

n可以取任何正整数。

特别地：

a可以看作a的一次幂，也就是说a的指数是1。

三．学以致用，巩固提高。

练习一：

填空

1．1）在25中，2是数，5是数，表示；幂是

2）的底数是，指数是，表示；幂是

3）在（-3）16中，-3是数，16是数，表示；

4）在（-a）17中，底数是；指数是；表示；

2、把下列乘法式子写成乘方的形式：

1）、3×3×3×3×3=；

2）、（－3）×（－3）×（－3）×（－3）=；

3）、=；

3、把下列乘方写成乘法的形式：

1）、（-0.9）3=；2）、=；

3）、（a-b）2=；

例题：

计算

（1）105；

（2）（-3）3；（3）；（4）-34

练习二：

计算

（1）（-1）6

（2）24（3）（-3）3

（4）（-3）4（5）105（6）（-10）4

（7）（-5）2（8）53（9）（-5）3

（10）019

问题4：

根据上面幂的正负，你能得出什么结论？

幂的符号性质：

⏹幂的底数是正数时，结果一定为正数.

⏹幂的底数是负数时，指数为正偶数则结果为正；指数为正奇数则结果为负.

⏹0的任何正整数次幂都得0

问题5：

议一议:

1．－32与（－3）2有什么不同？

结果相等吗？

2．23和32有什么区别？

各等于什么？

3．说说下列各数的意义,它们一样吗?

4.2×32和（2×3）2有什么区别？

各等于什么？

问题解决：

一张厚度为0.1mm的纸连续对折20次后，厚度为多少米？

假设每层楼房平均高度为3米，这张纸对折20次后有多少层楼高？

三：

归纳小结：

1、通过本节课的学习，你有什么收获？

你还有什么疑惑？

2、总结五种已学的运算及其结果？

四：

布置作业：

1.写出1到20所有整数的平方数、1到10所有整数的立方数。

2.篮册31页第一、二题。

3．一张厚度为0.1mm的纸，连续折叠27次、折叠30次，厚度为多少米？

与珠穆朗玛峰比一比.折叠40次的厚度能否从地球到达月球？

4．收集生活中有关乘方运算的例子及趣闻故事。

列式并计算纸张的厚度.

教师创设情境，学生产生疑问

老师引导学生列式并观察式子特点。

教师提出问题

学生独立思考并回答问题

教师板书（课题）

学生理解

乘方、底数、指数、

幂、幂的意义

学生思考回答：

乘方与幂的区别

学生思考回答：

a可以取任何有理数，n可以取任何正整数

学生思考、依次回答

学生动笔操作、回答计算结果

学生独立完成

交流自己的想法。

理解幂的符号性质

学生互相交流，分清它们的区别。

师生共同小结

学生叙述可相互

补充

吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，引出课题

让学生体会到问题的存在性和引入新的表示方法-----乘方的必要性！

承上启下。

与小学所学知识联系，让学生体会乘方的表示方法的得出过程及这样表示的合理性。

为定义得出作铺垫

加深学生对乘方的理解。

让学生更进一步认识幂

加深对问题的理解

巩固有理数乘方的意义,让每一位学生体验学习数学的乐趣，找到自信。

通过不同类型的题目，提高学生的分辩能力。

培养归纳概括能力

梳理知识，使概念进一步清晰、明确。

对学生可能会提出一些疑问。

教师应给出有针对性的、具体的指导与帮助。

巩固所学

有利于学有余力的学生发展他们的数学才能。

《整式的加减》复习课

秦皇岛市第十八中学陈克霞

2011年10月26日于秦市第十九中学

教学内容：

教科书第76页，整式的加减单元复习。

教学目的和要求：

1．使学生对本章内容的认识更全面、更系统化。

2．进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能（主要是计算）的掌握。

3．通过复习，培养学生主动分析问题的习惯。

教学重点和难点：

重点：

本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。

难点：

本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。

教学方法：

分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：

一、复习引入：

1．主要概念：

（1）关于单项式，你都知道什么?

（2）关于多项式，你又知道什么?

引导学生积极回答所提问题，通过几名同学的回答，复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、同类项、次数、升降幂排列等定义。

（3）什么叫整式?

在学生回答的基础上，进行归纳、总结，用投影演示：

整式

2．主要法则：

①提问：

在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?

分别如何叙述?

②在学生回答的基础上，进行归纳总结：

整式的加减

二、讲授新课：

1．例题：

例1：

找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。

，4xy，

，

，x2+x+

，0，

，m，―2.01×105

解：

单项式有4xy，

，0，m，―2.01×105；多项式有

；

整式有4xy，

，0，m，-2.01×105，

。

此题由学生口答，并说明理由。

通过此题，进一步加深学生对于单项式、多项式、整式的定义的理解。

例2：

指出下列单项式的系数、次数：

ab，―x2，

xy5，

。

解：

ab：

系数是1，次数是2；―x2：

系数是―1，次数是2；

xy5：

系数是

，次数是6；

：

系数是―

，次数是9。

此题在学生回答过程中，及时强调“系数”及“次数”定义中应注意的问题：

系数应包括前面的“+”号或“―”号，次数是“指数之和”。

例3：

指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？

解：

是三次五项式，最高次项有：

a3、―a2b、―ab2、b3，常数项是―1。

例4：

化简，并将结果按x的降幂排列：

（1）（2x4―5x2―4x+1）―（3x3―5x2―3x）；　　　　　　　　

（2）―［―（―x+

）］―（x―1）；

（3）―3（

x2―2xy+y2）+

（2x2―xy―2y2）。

解：

（1）原式=2x4―3x2―x+1；

（2）原式=―2x+

；（3）原式=―

x2+

xy―4y2。

通过此题强调：

（1）去括号（包括去多重括号）的问题；

（2）数字与多项式相乘时分配律的使用问题。

例5：

化简、求值：

5ab―2［3ab―（4ab2+

ab）］―5ab2，其中a=

，b=―

。

解：

化简的结果是：

3ab2，求值的结果是

。

例6：

一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―

，y=

时，这个多项式的值。

解：

此多项式为3x3―5x2y―2y3；值为―

。

3．课堂练习：

课本p76―77：

1，2，3⑴⑶⑸，4⑴⑶⑸⑺，5，7

四、课堂作业：

课本76―77：

3⑵⑷⑹，4⑵⑷⑹⑻，6，8，9

板书设计：

《整式的加减复习课》

1．基本知识：

2．例：

………例：

…………

……………………………………………………

……………………………………………………

学生练习：

…………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

实际问题与一元一次方程（商品销售）的教学设计

秦皇岛市第十八中学韩立莉

2011年11月14日于秦市第十八中学

　　设计理念《数学课程标准》要求“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”，基于这一理念，我在本节课教学中应用数学建模思想及有关的数学知识解决生活中的实际问题，使学生进一步体会生活中处处有数学，培养学生用数学的视角来观察生活的意识.数学教学应培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的精神及合作交流和创新意识.本节课的教学采用自主建构、合作交流的学习方式.通过让学生编题互问互检，学生间的相互评价，拓展学生思维，给学生创造一个合作交流和表现发挥的舞台，让学生充分体验成功后的喜悦.

　　教学流程图

　　知识与技能目标：

　　１.掌握商品销售问题中有关量的基本关系式，并会寻求等量关系列方程求解.

　　２.再次体会用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.

　　过程与方法目标：

　　经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会并认识到方程是刻画现实世界的一个很有效的数学模型，渗透数学建模思想.

　　情感态度价值观目标：

　　１.通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系.感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情.

　　２.体会在解决问题的过程中同学之间交流合作的重要性.

　　教学重点：

理解成本、标价、售价、利润及利润率的含义，并能根据题意建立一元一次方程解决实际问题.

　　教学难点：

基本关系式的变形及灵活应用.

　　课前准备：

　　１.教师组织学生进行课前社会调查，准备好相关教学课件.

　　２.学生开展相关社会调查活动，并写出调查总结.

教学过程：

　　一、回顾概念整合知识

以提问的方式引出本节课的教学内容：

　　问题１通过调查你对商品的标价、售价、进价和利润、利润率这些概念清楚了吗？

你能列出它们之间的关系式吗？

　　学生板书写出三个基本关系式

　　教师引导得出变形关系式：

利润＝进价×利润率.

　　设计意图通过调查使学生对商品销售过程所涉及的基本量、基本关系式有初步的了解，为后续的学习作好铺垫.

　　二、强化练习巩固概念

　　问题２运用基本关系式来做一组练习．

　　１．如果足球的进价是每个ａ元，超市按进价提高３０％后标价，则标价是多少元？

　　２．如果足球的进价是每个ａ元，标价是每个１５０元，现7折优惠，则每个足球的利润是多少元？

　　３．如果足球的进价是每个ａ元，卖出后盈利２５％，则每个足球的利润是多少？

　　４．如果足球的进价是每个ａ元，卖出后亏损２５％，则每个足球的利润是多少？

　　设计意图通过题组练习使学生熟练掌握进价、标价、利润、利润率之间的关系，进而促使学生理解概念.

　　三、实践应用合作交流

　　问题３解决学生结合自己的调查编写的商品销售方面的有关问题.

　　设计意图通过让学生编题互问互检，学生间的相互评价，拓展学生思维，给学生创造一个合作交流和表现发挥的舞台，让学生充分体验成功后的喜悦.

　　四、联系实际探究新知

　　问题４某商店在某一时间以每件６０元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利２５％，另一件亏损２５％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

　　教师在学生独立思考几分钟后让学生估算并简单说出估算的理由，估算对否不给予评判，告诉学生估算对不对还要进行计算.如何计算学生先独立思考，然后同桌交流，最后请一名同学到黑板板演利用一元一次方程解决此实际问题全部过程，其他同学在底下完成.完成后同学间相互评价.最后教师指出解决问题的关键——寻找等量关系，教师再进一步用估算方法分析亏损的原因.

　　设计意图：

在学生基本掌握解决有关商品销售问题的基础上对所学内容进行拓展，延伸.设计开放性问题的目的是通过本题的讲解使学生灵活运用本节的知识解决生活中的实际问题，也使全体学生在获得必要发展的前题下，不同的学生获得不同的体验.

　　五、巩固练习当堂反馈

　　问题５若某商品因库存积压，准备打折出售，如果按定价的7.5折出售将赔２５元，而按定价的9折出售将赚２０元．该商品定价是多少元？

　　（同学们思考后各自独立完成，然后同学互判）

　　设计意图：

本节课对学生来说是一个难点，因此设计反馈这一环节很有必要，便于教师掌握学生学习的情况.

　　六、反思小结体验收获

　　通过本节课的学习

　　我学会了……

　　使我感触最深的是……

　　设计意图：

知识的小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，为学生搭建共同交流的平台.

　　七、布置作业课后延伸

　　１．基础落实作业：

课后习题第一百零八页第四题.２．能力提高题：

一家专卖店将某种服装按成本价提高４０％标价后，推出一项优惠政策，即买一件送５０元现金，按此办法，你知道这家商店在这批服装的销售中是盈利还是亏损吗？

　　３．实践探究题：

“消费返券”与“打折销售”是商家常用的两种促销手段，利用课余时间去商场调查，并应用自己所学的数学知识探究它们之间的联系与区别.

　　设计意图：

第一部分题是基础题，旨在加深学生对知识的巩固；第二部分是提高题，旨在满足不同层次学生的需要；第三部分是实践题，是课堂教学内容的延伸.教学设计说明

教学反思

秦皇岛市第十八中学韩立莉

真正走进课堂，真正上一个班的课，方知知识连续性、总结的重要性。

我给自己定下了目标，每天尽管工作很多、自己很累，都要至少听一节课，然后请教老师应该怎么上。

其中可以分为以下几个方面：

（1）如何将一章的内容划分课时。

我记得刚开学的时候就帮指导老师制作了一份课程进度表，我当时完全是按照课本的顺序编排的。

但是到讲一元一次方程才知道可以把应用题划分为五大类：

行程问题、工程问题、分配问题、商品买卖问题、付费问题。

应用题是重点，每个问题几乎都要用两个课时来讲解，这样讲解，可以让学生的知识结构清晰明了。

（2）如何讲解应用题。

首先要教会学生解题方法：

①问什么，就设什么；②找出题中的不变量；③根据不变量关系列方程；④解方程；⑤检验后，答数。

然后让学生按照这些方法进行做题，用这样的方法指导学生做题。

（3）根据学生的水平选择题目讲解，如果出得太容易，很多学生都不想做，而出得太难呢，他们又知难而退了，进而对数学不感兴趣了。

（4）如何设置课堂的题目。

设置课堂的题目很讲究技巧，如果是重点的题目，讲完一道例题，至少要加一道练习题，让学生尝试去解决。

时间允许的话最好做到举一反三，使学生更透彻理解这种类型的题目。

以上是在听课中学到的东西，而在教学上也有一些感悟，对于水平一般的学生，他们也许会对数学感兴趣，也许由于课堂台枯燥慢慢对数学不感兴趣了。

刚走进2班的时候，我发现其实大部分的学生还是喜欢数学的，但是当他们遇到数学难题的时候就不喜欢数学了，为此我总是想办法让每节课的课堂气氛活跃点，例如我周四下午上分配问题的应用题中，有这么一道题：

1400元奖学金按两项奖项分给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，求获得一、二等奖的人数。

我问学生：

“你们想不想拿奖学金？

”他们都回答想，我接着说：

“如果想拿奖学金，就得努力学好各科，考上大学，大学里面的奖学金很丰厚，到时候你们就可以拿到不止这个奖学金的金额了。

”插了一点题外话，吸引了学生的注意力，他们听课不再死气沉沉了。

总的来说，这段时间在教学方面收获很多。

4.3.3余角和补角

秦皇岛市第十八中学韩立莉

[教学目的]

1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题；

2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力；

3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。

[教学重点与难点]

1、教学重点：

互为余角、互为补角的概念；

2、教学难点：

应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。

[教学工具]

多媒体课件、纸板、三角尺

[教学步骤]

一、引入

1、带领同学们领略意大利的比萨斜塔的壮观景象，并思考：

斜塔与地面所成的角度和它与竖直方向所成的角度相加为多少度？

（课件演示）

2、（动手操作1）拿出一个直角纸板，将直角剪成两个角，

∠1和∠2，问：

∠1和∠2的和为多少度呢？

∠1+∠2=90o，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余，

其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。

请同学们根据老师的演示试着说出余角的定义。

（设计意图：

通过比萨斜塔的现实情境和剪纸这一实际操作引出余角概念，既调起学生的兴趣，又直观易懂。

）

二、新知探究

1、余角的定义：

如果两个角的和为90o（直角），我们就称这两个角互为余角，简称互余。

2、（动手操作2）

（1）拿出和的两个角的纸板拼成一个直角，问：

“这两个角互余吗？

”

把其中一个角移开，“这两个角还互余吗？

”

注意事项1：

两角互余只与度数有关，与位置无关。

继续提问：

直角三角板的和的两个角互为余角吗？

老师在前面黑板上画一个的角，班长在后面黑板上画一个的角，这两个角互为余角吗？

（2）拿出一个直角纸板，将其剪成三个角，分别标上∠1、∠2、∠3，问：

“∠1、∠2、∠3是互为余角吗？

为什么？

”

注意事项2：

互余是两角间的关系。

（设计意图：

余角的两个注意事项，通过举例、现场操作，让学生说出错误观点，然后以纠错的方法得出，让学生的印象更为深刻。

）

3、补角的定义：

如果两个角的和为（平角），我们就称这两个角互为补角，简称互补。

4、游戏一：

找朋友

环节一：

老师把事先准备的标有度数的角的卡片发给一些同学，并介绍了游戏规则：

当老师拿出一张卡片，说要找余角（补角）朋友时，拿到它的余角（补角）的同学请立刻起立，并说：

“我是一个____度的角，我是你的余角（补角）朋友！

”

环节二：

将班级同学分成左右两个大组，参与的同学可以向另外一组的同学提出考验：

“_____度的余（补）角是多少度？

”另一组的同学要立刻回答，比一比，看一看哪个小组答得又快又正确！

（设计意图：

通过轻松愉快的游戏过程拉近师生之间的距离，并让学生学会熟练地求解一个角的余角和补角。

）

三、例题精讲

已知：

如图，点O为直线AB上一点，∠COB=，求：

（1）图中互余的角是__________与___________.

（2）图中互补的角是_______与_______;_______与________.

（3）图中相等的角是________与_________。

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。

分析：

若设这个角是，则它的补角是（），余角是（），再依据题设中的等量关系“补角=4余角”，便可列出方程求解。

解：

设这个角是，则根据题意得:

解得：

答：

这个角的度数是。

点评：

解决这类问题的关键是找出问题中的等量关系，运用方程的观点列方程求解。

【变式】一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？

四、能力拓展

（小组探究）思考：

小明在计算角的补角比它的余角大多少时，由于粗心大意，将看成来计算，这对计算结果有影响吗？

为什么？

（提示）1、算一算：

的补角比余角大______度；

的补角比余角大_______度；

所以，这对计算结果_________影响。

3、思考：

如果小明把看成来计算，对计算结果有影响吗？

4、再思考：

一般地，的补角比它的余角大_______度，你能证明吗？

【牛刀小试】：

1、已知一个角的余角为，则这个角的补角为___________；

2、已知一个角的补角为，则这个角的余角为__________；

3、已知一个角的余角与它的补角的和为，则这个角的余角是多少度？

（设计意图：

本探究及其3道配套练习题主要目的是拓展学生思维，让学生在合作交流中完成由特殊到一般的探究和演绎推理。

）

五、收获广谈

这节课我学会了……

六、课后作业布置

（设计意图：

本节课的课后作业布置分为巩固与复习、综合运用和拓广探索三组分层练习，目的在于使每个学生都得到最佳巩固发展。

）

§4.3.3余角和补角课后作业布置

（要求：

全班同学做到第8题，学有余力的同学争取做到第10题。

）

一、巩固与复习:

1、已知，则的余角为_______，的补角为_________；

2、已知∠A=62°23′，则∠A的余角为_______，∠A的补角为________；

3、若∠1=，则∠1的余角为____________，补角为_____________。

4、若一个角的余角为，则它的补角大小为_________；

5、若一个角比它的余角大，则这个角为________度。

二、综合运用：

6、如图，点O在直线上，∠1与∠2互余，，则的度数是（）

A、B、C、D、

7、若互为补角的两个角度数比为3：

2，则这两个角是（）

A、B、C、D、

8、已知一个角的补角与这个角的余角